5. (2025甘肃期中)已知$x,y,m,n$是成比例的线段，其中$x=2,y=1,m=6$,则线段$n$的长是。

5. 3

【分析】
本题考查成比例线段的相关计算，解题思路如下：首先明确成比例线段的定义，若四条线段按顺序a,b,c,d为成比例线段，则满足比例关系$a:b=c:d$；结合题目给出的x,y,m,n为成比例线段的排列顺序，列出对应的比例式，再根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）代入已知数值，即可求出n的长度。
【解析】
∵x,y,m,n是成比例的线段
∴根据成比例线段的定义可得：$\frac{x}{y}=\frac{m}{n}$
根据比例的基本性质“内项积等于外项积”，可得$x· n = y· m$
将$x=2,y=1,m=6$代入上式：
$2n = 1×6$
解得$n=3$
【答案】
3
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确把握成比例线段的排列顺序，避免因顺序混淆导致列式错误，熟练掌握比例的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.如图,有矩形ABCD和矩形A'B'C'D',AB=8 cm,BC=12 cm,A'B'=4 cm,B'C'=6 cm.
(1)求$\frac{A'B'}{AB}$和$\frac{B'C'}{BC}$的值；
(2)线段A'B',AB,B'C',BC是成比例的线段吗？

解:(1)$\frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(2)$\because\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$线段$A'B'$,$AB$,$B'C'$,$BC$是成比例的线段。

【分析】
(1)求线段的比值时，直接将题目给出的对应线段长度代入比值表达式，约分后即可得到结果；(2)判断四条线段是否为成比例线段，依据成比例线段的定义：若四条线段中前两条线段的比值等于后两条线段的比值，则这四条线段是成比例线段，因此只需验证第(1)问算出的两个比值是否相等即可得出结论。
【解析】
解：(1)已知$AB=8\ \mathrm{cm}$，$A'B'=4\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，$B'C'=6\ \mathrm{cm}$，代入得：
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
$\frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(2)由(1)的计算结果可得$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$，符合成比例线段的定义，因此线段$A'B'$,$AB$,$B'C'$,$BC$是成比例的线段。
【答案】
(1)$\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{1}{2}$；
(2)线段$A'B'$,$AB$,$B'C'$,$BC$是成比例的线段。
【知识点】
线段比值计算，成比例线段判定
【点评】
本题是基础题型，重点考查成比例线段概念的应用，掌握成比例线段的定义、准确计算线段比值即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

7. 如果$△ ABC$的三边$a,b,c$满足$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}$，且三角形的周长是12 cm，那么$△ ABC$的形状是（）

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

7. C

【分析】
遇到连等的比例式时，我们通常采用设参数k的方法，将三个未知的边长a、b、c都用含k的代数式表示，再结合三角形周长为12cm的条件，列方程求出k的值，进而得到三边的具体长度，最后用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。
【解析】
设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k(k≠0)$，则可得：
$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$
已知△ABC的周长为12cm，即$a+b+c=12$，代入上述表达式得：
$(3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12$
合并同类项得：$9k-15=12$
解得：$k=3$
将k=3代回边长表达式，计算得：
$a=3×3-4=5\mathrm{cm}$，$b=2×3-3=3\mathrm{cm}$，$c=4×3-8=4\mathrm{cm}$
验证三边关系：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$b^2+c^2=a^2$，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质，三角形周长，勾股定理的逆定理
【点评】
本题核心是掌握用设k法处理连等比例式的技巧，结合三角形周长求出三边长度后，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状，整体解题思路清晰，是比例与三角形性质结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7

8.如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置(靠近车头)，如果车头与倒车镜的水平距离为2 m，则该车车身总长为m.

8. $3+\sqrt{5}$

【分析】
解题首先要明确黄金分割的定义：长度为$x$的线段，若一个分割点把线段分为较长段和较短段，且较长段与总长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为黄金分割点。题目中倒车镜在靠近车头的黄金分割点，说明车头到倒车镜的距离为较短段（长度2m），倒车镜到车尾的距离为较长段。我们可以设车身总长为$x$ m，先求出较短段占总长的比例，再结合已知的较短段长度列方程求解即可。
【解析】
设该车车身总长为$x$ m。
根据黄金分割的性质，较长段长度为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，则靠近车头的较短段（车头到倒车镜的距离）为：
$x-\frac{\sqrt{5}-1}{2}x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$
已知车头与倒车镜的水平距离为2m，因此列方程：
$\frac{3-\sqrt{5}}{2}x=2$
解得：
$x=\frac{4}{3-\sqrt{5}}$
对分母有理化，分子分母同乘$3+\sqrt{5}$：
$x=\frac{4(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5}=3+\sqrt{5}$
【答案】
$3+\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割；二次根式运算
【点评】
本题将黄金分割的知识点和实际生活结合，解题的核心是准确判断黄金分割点对应的长短线段关系，再通过列方程、二次根式化简得到结果，能很好地考查学生对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.6

9. 邻边比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫作“黄金矩形”，“黄金矩形”给我们以协调、匀称的美感. 如图，若要将一张边长为2的正方形纸片ABCD剪出一个以AB为边的“黄金矩形”ABMN，小松同学的作法如下：
①作AB的垂直平分线分别交AB，CD于点E，F；
②连接AF，作∠BAF的平分线，交BC于点M；
③过点M作MN⊥AD于点N，矩形ABMN即为所求.

(1)根据上述作图过程，补全图形；
(2)小松证明四边形ABMN是“黄金矩形”的思路如下：过点M作MP⊥AF于点P，连接MF，设BM=x.
根据角平分线的性质，可知MP=BM=x.
根据条件，可求得AF的长度为________，AP的长度为________.
在Rt△MPF和Rt△CMF中，由勾股定理可得$MP^2 + PF^2 = MF^2 = MC^2 + CF^2$.
由此可列关于x的方程为________，解得BM=x=______.
所以$\frac{BM}{AB} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形ABMN是“黄金矩形”.
将上述证明过程补充完整.

(1) 补全的图形如图。
(2) $\sqrt{5}$ 2 $x^2+(\sqrt{5}-2)^2=(2-x)^2+1^2$ $\sqrt{5}-1$

【分析】
(1) 补全图形按照题中给出的作图步骤操作即可：先作∠BAF的平分线交BC于点M，再过点M作MN垂直AD，垂足为N，按作图规范补全图形；
(2) 解题时先利用正方形性质确定相关线段长度：正方形ABCD边长为2，EF是AB的垂直平分线，因此F是CD中点，DF=1，在Rt△ADF中用勾股定理可求出AF的长度；再根据角平分线的性质，结合HL全等可证AP=AB；最后观察Rt△MPF和Rt△CMF共用斜边MF，分别用含x的式子表示两个三角形的直角边，根据勾股定理列方程求解即可得到BM的长度。
【解析】
(1) 按照步骤：作∠BAF的平分线与BC交于点M，过M作MN⊥AD于点N，补全图形如参考图所示。
(2) 已知正方形ABCD边长为2，EF是AB的垂直平分线，因此F为CD中点，即DF=FC=1。
①在Rt△ADF中，AD=2，DF=1，由勾股定理得：$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
②因为AM是∠BAF的平分线，MB⊥AB，MP⊥AF，由角平分线性质得MB=MP，又AM为公共边，因此Rt△ABM≌Rt△APM（HL），故AP=AB=2；
③PF=AF-AP=$\sqrt{5}-2$，MC=BC-BM=2-x，CF=1，因为Rt△MPF和Rt△CMF共用斜边MF，因此$MP^2 + PF^2 = MC^2 + CF^2$，代入数值可列方程：$x^2+(\sqrt{5}-2)^2=(2-x)^2+1^2$；
④解方程：
展开得$x^2+5-4\sqrt{5}+4=4-4x+x^2+1$，
消去$x^2$整理得$4x=4\sqrt{5}-4$，解得$x=\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) 补全的图形如图。
(2) $\sqrt{5}$；2；$x^2+(\sqrt{5}-2)^2=(2-x)^2+1^2$；$\sqrt{5}-1$
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；黄金矩形定义
【点评】
本题结合“黄金矩形”的新定义，考查了基本作图、几何性质与方程思想的综合应用，解题的关键是找准线段间的等量关系，利用勾股定理建立方程求解，能较好地考查学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7