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【例3】(2025娄底期末)一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感.如图，若将AB抽象地看成一条线段，点P为线段AB的黄金分割点(AP＞PB)，下列各式正确的是 (
A. $\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$
B. $\frac{BP}{AB}=\frac{AP}{BP}$
C. $\frac{BP}{AB}=\frac{AB}{AP}$
D. $\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{BP}$
规律总结 判断黄金分割的方法
(1)看比值:较短线段与较长线段的比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
(2)看关系式:较长线段²=较短线段×整段线段.
A
)A. $\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$
B. $\frac{BP}{AB}=\frac{AP}{BP}$
C. $\frac{BP}{AB}=\frac{AB}{AP}$
D. $\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{BP}$
规律总结 判断黄金分割的方法
(1)看比值:较短线段与较长线段的比值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
(2)看关系式:较长线段²=较短线段×整段线段.
答案
A
解析
【分析】
解决这道题的核心是牢记黄金分割的定义，首先明确线段的长短关系：题目已知AP＞PB，因此AP是线段AB被点P分割后的较长线段，PB是较短线段，AB是整条线段。根据黄金分割的定义，较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，对应这个比例关系去匹配选项即可。
【解析】
解：
∵点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴根据黄金分割的定义可得：较长线段与全线段的比等于较短线段与较长线段的比，
即$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，
对比各选项，只有A选项符合该关系。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对黄金分割比例关系的理解，解题时需先明确较长线段、较短线段和整条线段的对应关系，避免混淆比例的前后项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是牢记黄金分割的定义，首先明确线段的长短关系：题目已知AP＞PB，因此AP是线段AB被点P分割后的较长线段，PB是较短线段，AB是整条线段。根据黄金分割的定义，较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，对应这个比例关系去匹配选项即可。
【解析】
解：
∵点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴根据黄金分割的定义可得：较长线段与全线段的比等于较短线段与较长线段的比，
即$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$，
对比各选项，只有A选项符合该关系。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对黄金分割比例关系的理解，解题时需先明确较长线段、较短线段和整条线段的对应关系，避免混淆比例的前后项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
【变式1】某校音乐社团购买了一种乐器，如图所示.乐器上的一根弦$AB=60\ \mathrm{cm}$，两个端点$A,B$固定在乐器面板上，支撑点$C$是靠近点$B$的黄金分割点，支撑点$D$是靠近点$A$的黄金分割点，则$C,D$之间的距离为（
A.$(30\sqrt{5}-30)\ \mathrm{cm}$
B.$(60\sqrt{5}-30)\ \mathrm{cm}$
C.$(100-30\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
D.$(60\sqrt{5}-120)\ \mathrm{cm}$
D
）A.$(30\sqrt{5}-30)\ \mathrm{cm}$
B.$(60\sqrt{5}-30)\ \mathrm{cm}$
C.$(100-30\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
D.$(60\sqrt{5}-120)\ \mathrm{cm}$
答案
D
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：一条线段的黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整条线段的长度比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时先根据支撑点C、D的位置，确定对应的较长线段分别是AC、BD，分别求出AC和BD的长度，再根据线段和差关系：$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据黄金分割的定义，较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ 点C是靠近点B的AB的黄金分割点，
∴ AC是较长线段，
则 $AC = AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = 60×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=30(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
∵ 点D是靠近点A的AB的黄金分割点，
∴ BD是较长线段，
则 $BD = AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=30(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
∴ $CD = AC + BD - AB$
$=30(\sqrt{5}-1)+30(\sqrt{5}-1)-60$
$=30\sqrt{5}-30+30\sqrt{5}-30-60$
$=(60\sqrt{5}-120)\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的实际应用，解题的关键是根据黄金分割点的位置准确判断出较长线段，再结合线段的和差关系列式计算，注意不要混淆较长线段对应的端点位置。
【难度系数】
0.6
首先回忆黄金分割的定义：一条线段的黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整条线段的长度比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时先根据支撑点C、D的位置，确定对应的较长线段分别是AC、BD，分别求出AC和BD的长度，再根据线段和差关系：$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据黄金分割的定义，较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ 点C是靠近点B的AB的黄金分割点，
∴ AC是较长线段，
则 $AC = AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2} = 60×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=30(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
∵ 点D是靠近点A的AB的黄金分割点，
∴ BD是较长线段，
则 $BD = AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=30(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
∴ $CD = AC + BD - AB$
$=30(\sqrt{5}-1)+30(\sqrt{5}-1)-60$
$=30\sqrt{5}-30+30\sqrt{5}-30-60$
$=(60\sqrt{5}-120)\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的实际应用，解题的关键是根据黄金分割点的位置准确判断出较长线段，再结合线段的和差关系列式计算，注意不要混淆较长线段对应的端点位置。
【难度系数】
0.6
【变式2】如图,以长为2的线段AB为边,作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取一点F,使$PF=PD$.求证:点A是线段BF的黄金分割点.
答案
证明:在正方形 ABCD 中,$AD=AB=2,∠ BAD=90°$。
$\because P$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore AP=BP=1$，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ PAD$ 中,$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
而 $PF=PD=\sqrt{5}$，
$\therefore AF=PF-PA=\sqrt{5}-1,BF=PF+BP=\sqrt{5}+1$，
$\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\therefore$ 点 $A$ 是线段 $BF$ 的黄金分割点。
$\because P$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore AP=BP=1$，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ PAD$ 中,$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
而 $PF=PD=\sqrt{5}$，
$\therefore AF=PF-PA=\sqrt{5}-1,BF=PF+BP=\sqrt{5}+1$，
$\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\therefore$ 点 $A$ 是线段 $BF$ 的黄金分割点。
解析
【分析】
要证明点A是线段BF的黄金分割点，需根据黄金分割的定义，验证$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可。解题时首先利用正方形的性质得到边长和直角条件，结合P是AB中点求出AP的长度，再用勾股定理计算PD的长度，由PF=PD得到PF的长度，进而求出AF、BF的长度，最后计算比值验证是否符合黄金分割的判定条件。
【解析】
证明：在正方形ABCD中，$AD=AB=2$，$∠ BAD=90°$。
∵P为AB的中点，
$\therefore AP=BP=1$，
∴在$\mathrm{Rt}△ PAD$中，$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\because PF=PD=\sqrt{5}$，
$\therefore AF=PF-PA=\sqrt{5}-1$，$BF=PF+BP=\sqrt{5}+1$，
$\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{AB}{BF}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的定义。
【答案】
点A是线段BF的黄金分割点。
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；黄金分割的定义
【点评】
本题是黄金分割判定的基础应用，结合了正方形性质和勾股定理的知识，解题关键是牢记黄金分割的判定条件，准确计算各线段长度后验证对应比值即可。
【难度系数】
0.7
要证明点A是线段BF的黄金分割点，需根据黄金分割的定义，验证$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可。解题时首先利用正方形的性质得到边长和直角条件，结合P是AB中点求出AP的长度，再用勾股定理计算PD的长度，由PF=PD得到PF的长度，进而求出AF、BF的长度，最后计算比值验证是否符合黄金分割的判定条件。
【解析】
证明：在正方形ABCD中，$AD=AB=2$，$∠ BAD=90°$。
∵P为AB的中点，
$\therefore AP=BP=1$，
∴在$\mathrm{Rt}△ PAD$中，$PD=\sqrt{AP^2+AD^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\because PF=PD=\sqrt{5}$，
$\therefore AF=PF-PA=\sqrt{5}-1$，$BF=PF+BP=\sqrt{5}+1$，
$\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{AB}{BF}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BF}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的定义。
【答案】
点A是线段BF的黄金分割点。
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；黄金分割的定义
【点评】
本题是黄金分割判定的基础应用，结合了正方形性质和勾股定理的知识，解题关键是牢记黄金分割的判定条件，准确计算各线段长度后验证对应比值即可。
【难度系数】
0.7
1. 下列四组线段是成比例的线段的是（
A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm
C.5 cm,6 cm,7 cm,8 cm
D.7 cm,8 cm,9 cm,10 cm
B
）A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm
C.5 cm,6 cm,7 cm,8 cm
D.7 cm,8 cm,9 cm,10 cm
答案
1. B
解析
【分析】
要判断四组线段是否为成比例线段，首先明确判断方法：先将每组的四条线段按长度从小到大排序，再根据比例的基本性质（若a:b=c:d，则ad=bc），验证最小线段与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，相等则为成比例线段，逐一验证四个选项即可。
【解析】
成比例线段的定义为：若四条线段a、b、c、d满足a:b = c:d（即ad=bc），则这四条线段为成比例线段。
对各选项逐一分析：
A. 线段按从小到大排序为1cm，2cm，3cm，4cm，计算得1×4=4，2×3=6，4≠6，故不是成比例线段；
B. 线段按从小到大排序为2cm，3cm，4cm，6cm，计算得2×6=12，3×4=12，12=12，满足成比例线段的要求，故是成比例线段；
C. 线段按从小到大排序为5cm，6cm，7cm，8cm，计算得5×8=40，6×7=42，40≠42，故不是成比例线段；
D. 线段按从小到大排序为7cm，8cm，9cm，10cm，计算得7×10=70，8×9=72，70≠72，故不是成比例线段。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】
本题考查成比例线段的基础判断，使用“首尾乘积等于中间两数乘积”的方法验证比直接计算比值更简便，注意判断前先将线段按大小排序可避免出错。
【难度系数】
0.9
要判断四组线段是否为成比例线段，首先明确判断方法：先将每组的四条线段按长度从小到大排序，再根据比例的基本性质（若a:b=c:d，则ad=bc），验证最小线段与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，相等则为成比例线段，逐一验证四个选项即可。
【解析】
成比例线段的定义为：若四条线段a、b、c、d满足a:b = c:d（即ad=bc），则这四条线段为成比例线段。
对各选项逐一分析：
A. 线段按从小到大排序为1cm，2cm，3cm，4cm，计算得1×4=4，2×3=6，4≠6，故不是成比例线段；
B. 线段按从小到大排序为2cm，3cm，4cm，6cm，计算得2×6=12，3×4=12，12=12，满足成比例线段的要求，故是成比例线段；
C. 线段按从小到大排序为5cm，6cm，7cm，8cm，计算得5×8=40，6×7=42，40≠42，故不是成比例线段；
D. 线段按从小到大排序为7cm，8cm，9cm，10cm，计算得7×10=70，8×9=72，70≠72，故不是成比例线段。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】
本题考查成比例线段的基础判断，使用“首尾乘积等于中间两数乘积”的方法验证比直接计算比值更简便，注意判断前先将线段按大小排序可避免出错。
【难度系数】
0.9
2. 在比例尺是$1:2000000$的地图上，量得甲、乙两城相距$12.5\ \mathrm{cm}$，一辆汽车以$80\ \mathrm{km/h}$的速度匀速行驶，从甲城开往乙城需要的时间是（
A.$2.35\ \mathrm{h}$
B.$3.5\ \mathrm{h}$
C.$3.25\ \mathrm{h}$
D.$3.125\ \mathrm{h}$
D
）A.$2.35\ \mathrm{h}$
B.$3.5\ \mathrm{h}$
C.$3.25\ \mathrm{h}$
D.$3.125\ \mathrm{h}$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时需要分两步进行：第一步先利用比例尺公式计算甲、乙两城的实际距离，注意计算后要统一单位为千米；第二步结合行程问题的“时间=路程÷速度”公式，代入数值计算即可得到行驶时间，最后对应选项选出答案。
【解析】
1. 计算甲、乙两城的实际距离：
根据比例尺公式$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，可得$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}$。
已知图上距离为$12.5\ \mathrm{cm}$，比例尺为$1:2000000$，代入得：
实际距离$=12.5÷\frac{1}{2000000}=12.5×2000000=25000000\ \mathrm{cm}$
单位换算：因为$1\ \mathrm{km}=100000\ \mathrm{cm}$，所以$25000000\ \mathrm{cm}=250\ \mathrm{km}$。
2. 计算行驶时间：
根据行程公式$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，已知速度为$80\ \mathrm{km/h}$，路程为$250\ \mathrm{km}$，代入得：
时间$=250÷80=3.125\ \mathrm{h}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
比例尺的应用，长度单位换算，行程问题计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，将比例尺知识和行程问题结合考查，解题的关键是注意图上距离与实际距离的单位换算，牢记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时需要分两步进行：第一步先利用比例尺公式计算甲、乙两城的实际距离，注意计算后要统一单位为千米；第二步结合行程问题的“时间=路程÷速度”公式，代入数值计算即可得到行驶时间，最后对应选项选出答案。
【解析】
1. 计算甲、乙两城的实际距离：
根据比例尺公式$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，可得$\mathrm{实际距离}=\mathrm{图上距离}÷\mathrm{比例尺}$。
已知图上距离为$12.5\ \mathrm{cm}$，比例尺为$1:2000000$，代入得：
实际距离$=12.5÷\frac{1}{2000000}=12.5×2000000=25000000\ \mathrm{cm}$
单位换算：因为$1\ \mathrm{km}=100000\ \mathrm{cm}$，所以$25000000\ \mathrm{cm}=250\ \mathrm{km}$。
2. 计算行驶时间：
根据行程公式$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，已知速度为$80\ \mathrm{km/h}$，路程为$250\ \mathrm{km}$，代入得：
时间$=250÷80=3.125\ \mathrm{h}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
比例尺的应用，长度单位换算，行程问题计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，将比例尺知识和行程问题结合考查，解题的关键是注意图上距离与实际距离的单位换算，牢记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. (2025金华期末)如图，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，AB=2，则AP的长为 (
A.$\sqrt{5}+1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}-2$
B
)A.$\sqrt{5}+1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}-2$
答案
3. B
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：如果线段上一点把线段分为两条线段，使得较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这个点就是线段的黄金分割点。本题明确给出$AP＞BP$，说明AP是较长的分割线段，因此直接用AB的长度乘黄金比即可算出AP的长度。
【解析】
∵点P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$
∴较长线段AP与原线段AB的比值为黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB=2$，代入公式可得：
$AP=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.黄金分割
2.线段长度计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记黄金分割的固定比值，同时做题时要注意区分较长线段和较短线段，避免因混淆线段关系出错。
【难度系数】
0.8
首先回忆黄金分割的定义：如果线段上一点把线段分为两条线段，使得较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，这个点就是线段的黄金分割点。本题明确给出$AP＞BP$，说明AP是较长的分割线段，因此直接用AB的长度乘黄金比即可算出AP的长度。
【解析】
∵点P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$
∴较长线段AP与原线段AB的比值为黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB=2$，代入公式可得：
$AP=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.黄金分割
2.线段长度计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记黄金分割的固定比值，同时做题时要注意区分较长线段和较短线段，避免因混淆线段关系出错。
【难度系数】
0.8
4.已知线段$AB=2.5\ \mathrm{m}$，线段$CD=400\ \mathrm{cm}$，则线段$AB$与线段$CD$的比为
5:8
。答案
4. 5:8
解析
【分析】
要求线段AB与CD的比，首先明确线段的比是两条线段长度的比值，计算前必须先统一单位，单位不同无法直接求比。统一单位后将两条线段的长度作比，再化简为最简整数比即可得到结果。
【解析】
第一步：统一单位，因为1m=100cm，所以AB=2.5m=2.5×100cm=250cm。
第二步：求两条线段的比，已知CD=400cm，因此$AB:CD=250\mathrm{cm}:400\mathrm{cm}$。
第三步：化简比，给比的前项和后项同时除以最大公因数50，可得$250÷50:400÷50=5:8$。
【答案】
5:8
【知识点】
线段的比、单位换算、比的化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查线段比的计算，解题核心是先统一两条线段的长度单位再化简比，常见错误是忽略单位统一，直接用原数值计算导致结果出错。
【难度系数】
0.8
要求线段AB与CD的比，首先明确线段的比是两条线段长度的比值，计算前必须先统一单位，单位不同无法直接求比。统一单位后将两条线段的长度作比，再化简为最简整数比即可得到结果。
【解析】
第一步：统一单位，因为1m=100cm，所以AB=2.5m=2.5×100cm=250cm。
第二步：求两条线段的比，已知CD=400cm，因此$AB:CD=250\mathrm{cm}:400\mathrm{cm}$。
第三步：化简比，给比的前项和后项同时除以最大公因数50，可得$250÷50:400÷50=5:8$。
【答案】
5:8
【知识点】
线段的比、单位换算、比的化简
【点评】
本题属于基础题型，重点考查线段比的计算，解题核心是先统一两条线段的长度单位再化简比，常见错误是忽略单位统一，直接用原数值计算导致结果出错。
【难度系数】
0.8
