1. 线段的比
一般地,如果两条线段$AB,A'B'$的长度分别为$m,n$,那么把它们的长度的比$\frac{m}{n}$叫作这两条线段$AB$与$A'B'$的,记作$\frac{AB}{A'B'}=$.
2. 成比例的线段
在四条线段中,如果其中两条线段的比另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例的线段.
3. 黄金分割比
将一条线段$AB$分成不相等的两部分,使较短线段$BC$与较长线段$AC$的比等于较长线段$AC$与原线段$AB$的比,即使得$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$成立,此时称线段$AB$被点$C$,点$C$叫作线段$AB$的,较长线段$AC$与原线段$AB$的比叫作黄金分割比,并且黄金分割比的数值为(约等于).

1. 比 $\frac{m}{n}$
2. 等于
3. 黄金分割 黄金分割点 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 0.618

【分析】
本题是对比例线段相关基础概念的考察，解题时只需回忆对应概念的内容，逐空匹配填写即可。①第一问对应线段的比的定义，直接依据定义内容填空；②第二问对应成比例线段的定义，抓住定义中“比值相等”的核心特征即可；③第三问对应黄金分割的相关概念，依次回忆分割的名称、分割点的名称、黄金分割比的准确值和近似值填写即可。
【解析】
1. 根据线段的比的定义：若两条线段$AB$、$A'B'$的长度分别为$m$、$n$，它们长度的比$\frac{m}{n}$叫作这两条线段的比，记作$\frac{AB}{A'B'}=\frac{m}{n}$，因此依次填对应内容。
2. 根据成比例线段的定义：四条线段中，若其中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段是成比例线段，因此填对应内容。
3. 根据黄金分割的定义：满足$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$时，称线段$AB$被点$C$黄金分割，点$C$叫作线段$AB$的黄金分割点，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，约等于0.618，因此依次填对应内容。
【答案】
1. 比 $\frac{m}{n}$
2. 等于
3. 黄金分割 黄金分割点 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 0.618
【知识点】
线段的比的定义；成比例线段的定义；黄金分割的定义
【点评】
本题为基础概念识记类题目，主要考察对比例线段相关核心概念的掌握情况，牢记教材中的基础定义就能轻松解答，这类概念是后续学习相似相关知识的重要基础。
【难度系数】
0.9

【例1】若线段$a=20\ \mathrm{mm}, b=8\ \mathrm{cm}$，则$\frac{a}{b}=$（）

A.$\frac{1}{4}$
B.$4$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{5}{2}$

A

【分析】
求两条线段的比值时，首要前提是两条线段的长度单位必须统一，不能直接用不同单位的数值计算。解题时先将两个线段的单位换算为一致，再代入$\frac{a}{b}$化简计算即可得到结果。
【解析】
首先统一长度单位：
$\because 1\mathrm{cm}=10\mathrm{mm}$，$\therefore b=8\mathrm{cm}=8×10=80\mathrm{mm}$
已知$a=20\mathrm{mm}$，代入计算比值：
$\frac{a}{b}=\frac{20\mathrm{mm}}{80\mathrm{mm}}=\frac{1}{4}$
【答案】
A
【知识点】
线段的比；单位换算
【点评】
本题属于基础题，易错点是忽略单位统一的要求，直接用20和8计算得到错误结果，解题时牢记先统一单位再求比值即可规避错误。
【难度系数】
0.7

【例2】已知线段$a,b,c,d$是成比例的线段，其中$a=4,b=5,c=10$,求线段$d$的长.

解:已知 a,b,c,d 是成比例的线段，
根据定义,得 ad=bc，
代入 a=4,b=5,c=10,解得 $d=\frac{25}{2}$。

【分析】
首先回忆成比例线段的定义：若四条线段a,b,c,d成比例，则满足$a:b = c:d$，且四条线段的顺序是固定的，不可随意调换。接下来根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，将比例式转化为等积式$ad=bc$，最后把已知的a、b、c的数值代入等积式，即可求解d的长度。
【解析】
解：
∵线段$a,b,c,d$是成比例的线段，
根据成比例线段的定义可得：$a:b = c:d$，
由比例的基本性质得：$ad = bc$，
将$a=4,b=5,c=10$代入上式，得：
$4d = 5×10$，
即$4d=50$，
解得：$d=\frac{25}{2}$。
【答案】
$\frac{25}{2}$
【知识点】
成比例线段的定义、比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是明确成比例线段具有顺序性，要严格按照给定的线段顺序写比例式，不可随意调换线段位置，否则会出现计算错误。
【难度系数】
0.8

【变式1】(2025池州期中)下面四组线段中，
成比例的是 （）

A.$a=2,b=3,c=4,d=5$
B.$a=1,b=2,c=2,d=4$
C.$a=4,b=6,c=8,d=10$
D.$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3},c=3,d=\sqrt{3}$

B

【分析】
要判断四条线段是否成比例，首先回忆成比例线段的定义：若四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段为成比例线段。为了快速验证，我们可以先把每组的四条线段按照从小到大的顺序排列，再计算最小线段与最大线段的乘积、中间两条线段的乘积，如果两个乘积相等，说明这四条线段成比例，否则不成比例。
【解析】
我们采用“排序+乘积验证法”逐个分析选项：
选项A：将线段从小到大排序为2,3,4,5，计算得$2×5=10$，$3×4=12$，$10≠12$，故四条线段不成比例；
选项B：将线段从小到大排序为1,2,2,4，计算得$1×4=4$，$2×2=4$，乘积相等，即$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$，故四条线段成比例；
选项C：将线段从小到大排序为4,6,8,10，计算得$4×10=40$，$6×8=48$，$40≠48$，故四条线段不成比例；
选项D：将线段从小到大排序为$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{3},3$，计算得$\sqrt{2}×3=3\sqrt{2}$，$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，$3\sqrt{2}≠3$，故四条线段不成比例。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定，比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判断的基础题型，核心解题技巧是先排序再用乘积法验证，避免因排序混乱导致判断错误，熟练掌握方法后可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

【变式2】如图，在$△ ABC$中，$AB=12\ \mathrm{cm}$，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，$AE=6\ \mathrm{cm}$，$EC=4\ \mathrm{cm}$，且$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$。
(1)求$DB$的长；
(2)试说明线段$AD$，$DB$，$AE$，$EC$是不是成比例的线段。

(1) 设 $DB=x\ \mathrm{cm}$。
$\because \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC},\therefore \frac{12}{x}=\frac{6+4}{4}$,解得 $x=4.8,\therefore AD=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because \frac{AD}{DB}=\frac{12-4.8}{4.8}=\frac{3}{2},\frac{AE}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
$\therefore$ 线段 $AD,DB,AE,EC$ 是成比例的线段。

【分析】
(1) 求解DB的长度可利用题干给出的比例关系$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，首先先通过$AC=AE+EC$求出AC的总长度，再设DB长为$x\ \mathrm{cm}$，将已知线段长度代入比例式，通过解比例方程即可得到DB的长度。
(2) 判断四条线段是否为成比例线段，只需验证四条线段按顺序的比值是否相等。先计算出AD的长度（$AD=AB-DB$），再分别计算$\frac{AD}{DB}$和$\frac{AE}{EC}$的比值，若二者相等即可说明四条线段成比例。
【解析】
(1) 先计算AC的长度：$AC=AE+EC=6\ \mathrm{cm}+4\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{cm}$。
设$DB=x\ \mathrm{cm}$，根据题意$\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{EC}$，代入已知数值得：
$\frac{12}{x}=\frac{10}{4}$
交叉相乘得$10x=12×4$，解得$x=4.8$，即$DB=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2) 计算AD的长度：$AD=AB-DB=12\ \mathrm{cm}-4.8\ \mathrm{cm}=7.2\ \mathrm{cm}$。
分别计算两组线段的比值：
$\frac{AD}{DB}=\frac{7.2}{4.8}=\frac{3}{2}$，$\frac{AE}{EC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，因此线段AD，DB，AE，EC是成比例的线段。
【答案】
(1) $DB=4.8\ \mathrm{cm}$
(2) 线段$AD,DB,AE,EC$是成比例的线段。
【知识点】
成比例线段，比例的基本性质，线段长度计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查成比例线段的判定和相关计算，解题时只需准确代入已知条件，结合比例的性质求解和验证即可，注意代入数值时不要混淆各线段的长度。
【难度系数】
0.8