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1.如图,已知$a// b// c$,直线$m$分别交直线$a$,$b$,$c$于点$A$,$C$,$E$,直线$n$分别交直线$a$,$b$,$c$于点$B$,$D$,$F$.若$\frac{AC}{CE}=\frac{1}{2}$,则$\frac{BD}{DF}$等于（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$1$
B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$1$
答案
1. B
解析
【分析】
当题目中出现多条平行线截两条直线的情况时，首先想到运用平行线分线段成比例定理解题。本题中三条平行线$a$、$b$、$c$截直线$m$、$n$，截得的线段中$AC$与$BD$是对应线段，$CE$与$DF$是对应线段，根据定理可知对应线段的比值相等，结合已知的$\frac{AC}{CE}=\frac{1}{2}$，即可直接求出$\frac{BD}{DF}$的值。
【解析】
解：$\because a// b// c$，直线$m$、$n$分别被$a$、$b$、$c$所截，
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，
又$\because \frac{AC}{CE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{BD}{DF}=\frac{1}{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础题型，直接考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确找到对应成比例的线段，避免对应关系混淆即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
当题目中出现多条平行线截两条直线的情况时，首先想到运用平行线分线段成比例定理解题。本题中三条平行线$a$、$b$、$c$截直线$m$、$n$，截得的线段中$AC$与$BD$是对应线段，$CE$与$DF$是对应线段，根据定理可知对应线段的比值相等，结合已知的$\frac{AC}{CE}=\frac{1}{2}$，即可直接求出$\frac{BD}{DF}$的值。
【解析】
解：$\because a// b// c$，直线$m$、$n$分别被$a$、$b$、$c$所截，
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，
又$\because \frac{AC}{CE}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{BD}{DF}=\frac{1}{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题属于基础题型，直接考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确找到对应成比例的线段，避免对应关系混淆即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
2. (2025常德期中)如图,在△ABC中,DE//BC,$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}$,若AB=8,则BD的长为 (
A.$\frac{8}{7}$
B.$\frac{16}{7}$
C.$\frac{24}{7}$
D.$\frac{32}{7}$
D
)A.$\frac{8}{7}$
B.$\frac{16}{7}$
C.$\frac{24}{7}$
D.$\frac{32}{7}$
答案
2. D
解析
【分析】
已知DE平行于BC，首先根据平行于三角形一边的直线截两边，对应线段成比例的性质，可得到AD与BD的比值和AE与EC的比值相等。再结合AB的总长度为8，设参数代入比例关系求解，即可算出BD的长度。
【解析】
解：
∵ $DE// BC$，由平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$
又
∵ $\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}$，
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{3}{4}$
设$AD=3k$，$BD=4k$（$k≠0$），已知$AB=8$，且$AB=AD+BD$
∴ $3k+4k=8$，解得$k=\frac{8}{7}$
∴ $BD=4k=4×\frac{8}{7}=\frac{32}{7}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用平行线得到成比例的线段，再结合线段和的关系列式求解，掌握平行线分线段成比例的对应线段关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
已知DE平行于BC，首先根据平行于三角形一边的直线截两边，对应线段成比例的性质，可得到AD与BD的比值和AE与EC的比值相等。再结合AB的总长度为8，设参数代入比例关系求解，即可算出BD的长度。
【解析】
解：
∵ $DE// BC$，由平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$
又
∵ $\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}$，
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{3}{4}$
设$AD=3k$，$BD=4k$（$k≠0$），已知$AB=8$，且$AB=AD+BD$
∴ $3k+4k=8$，解得$k=\frac{8}{7}$
∴ $BD=4k=4×\frac{8}{7}=\frac{32}{7}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用平行线得到成比例的线段，再结合线段和的关系列式求解，掌握平行线分线段成比例的对应线段关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知$AB// CD// EF$，$AD=3$，$BC=4$，$DF=5$，则$CE$的长为 （
A.$6$
B.$\dfrac{20}{3}$
C.$7$
D.$\dfrac{27}{5}$
B
）A.$6$
B.$\dfrac{20}{3}$
C.$7$
D.$\dfrac{27}{5}$
答案
3. B
解析
【分析】
首先观察到题目给出三条互相平行的直线，联想到平行线分线段成比例定理。我们先确定两条被平行线所截的直线，找到与未知线段CE对应的成比例线段，再将已知线段长度代入比例式，通过解比例即可求出CE的长度。
【解析】
∵ $AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$
将$AD=3$，$BC=4$，$DF=5$代入上式，得：
$\frac{3}{5}=\frac{4}{CE}$
交叉相乘得：$3CE=4×5=20$
解得：$CE=\frac{20}{3}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例式求解
【点评】
本题核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是准确识别对应线段，列出正确的比例式，熟练掌握定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.7
首先观察到题目给出三条互相平行的直线，联想到平行线分线段成比例定理。我们先确定两条被平行线所截的直线，找到与未知线段CE对应的成比例线段，再将已知线段长度代入比例式，通过解比例即可求出CE的长度。
【解析】
∵ $AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$
将$AD=3$，$BC=4$，$DF=5$代入上式，得：
$\frac{3}{5}=\frac{4}{CE}$
交叉相乘得：$3CE=4×5=20$
解得：$CE=\frac{20}{3}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例式求解
【点评】
本题核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是准确识别对应线段，列出正确的比例式，熟练掌握定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.7
4. (2025合肥期末)五线谱是通用的一种记谱法，由等距离的五条平行横线组成，如图，同一条直线$l$上的三个点$A$，$B$，$C$都在横线上。若线段$AB=7$，则线段$BC$的长是（
A.$\frac{7}{2}$
B.$\frac{2}{7}$
C.$\frac{7}{3}$
D.$\frac{3}{7}$
A
）A.$\frac{7}{2}$
B.$\frac{2}{7}$
C.$\frac{7}{3}$
D.$\frac{3}{7}$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先抓住题目的关键条件：五线谱的五条横线是等距离的平行直线，由此可联想到运用平行线分线段成比例定理求解。先观察A、B、C三点所在横线的位置，得到AB、BC两段线段对应的平行线间距的比值，再结合已知AB的长度，代入比例关系即可计算出BC的长度。
【解析】
解：设五线谱相邻两条平行横线之间的距离为d。
由图可知，点A到点B的垂直距离为2d，点B到点C的垂直距离为d。
根据平行线分线段成比例定理，同一条直线截等距平行线，所得对应线段的比等于平行线间距的比，因此有：
$\frac{AB}{BC}=\frac{2d}{d}=2$
已知$AB=7$，代入得$\frac{7}{BC}=2$，解得$BC=\frac{7}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中常见的五线谱背景考查几何定理的应用，难度不大，解题的核心是从题干中提取出“等距平行线”的隐含条件，再结合平行线分线段成比例的性质建立比例式计算即可，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题目的关键条件：五线谱的五条横线是等距离的平行直线，由此可联想到运用平行线分线段成比例定理求解。先观察A、B、C三点所在横线的位置，得到AB、BC两段线段对应的平行线间距的比值，再结合已知AB的长度，代入比例关系即可计算出BC的长度。
【解析】
解：设五线谱相邻两条平行横线之间的距离为d。
由图可知，点A到点B的垂直距离为2d，点B到点C的垂直距离为d。
根据平行线分线段成比例定理，同一条直线截等距平行线，所得对应线段的比等于平行线间距的比，因此有：
$\frac{AB}{BC}=\frac{2d}{d}=2$
已知$AB=7$，代入得$\frac{7}{BC}=2$，解得$BC=\frac{7}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中常见的五线谱背景考查几何定理的应用，难度不大，解题的核心是从题干中提取出“等距平行线”的隐含条件，再结合平行线分线段成比例的性质建立比例式计算即可，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.7
5.如图,
,在△ODC中,点A,B分别在边CO,DO的延长线上,AB//CD,如果DO=6,AO:CO=1:2,那么BO的长为
,在△ODC中,点A,B分别在边CO,DO的延长线上,AB//CD,如果DO=6,AO:CO=1:2,那么BO的长为3
。答案
5. 3
解析
【分析】
首先观察到AB//CD，结合图形可先判定△OAB与△OCD相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AO与CO的比值、DO的长度，即可求出BO的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴△OAB∽△OCD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$（相似三角形对应边成比例）
已知$\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$，$DO=6$，代入得：
$\frac{1}{2}=\frac{BO}{6}$
解得$BO=3$
【答案】
3
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础的相似三角形应用题型，解题关键是通过平行线得到角的等量关系，证明三角形相似，再利用相似的比例关系求解未知线段，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先观察到AB//CD，结合图形可先判定△OAB与△OCD相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AO与CO的比值、DO的长度，即可求出BO的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴△OAB∽△OCD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$（相似三角形对应边成比例）
已知$\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$，$DO=6$，代入得：
$\frac{1}{2}=\frac{BO}{6}$
解得$BO=3$
【答案】
3
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础的相似三角形应用题型，解题关键是通过平行线得到角的等量关系，证明三角形相似，再利用相似的比例关系求解未知线段，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. (2025 邵阳期中)如图，这是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线互相平行，则点P表示的数是
3
。答案
6. 3
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解。首先观察图形，原点为公共端点，数轴和斜放的直尺为两条射线，两条平行虚线截这两条射线，截得的对应线段成比例，即数轴上线段的长度比等于直尺上对应线段的长度比，找到对应刻度的数值代入比例式即可求出点P表示的数。
【解析】
解：根据平行线分线段成比例定理，两条平行线截由原点出发的两条射线，截得的对应线段成比例。
观察图形可知，数轴上长度为9的线段，对应直尺上长度为3的刻度段，因此数轴实际长度与直尺刻度的比值为$9÷3=3$。
点P在直尺上对应的刻度为1，因此点P表示的数为$1×3=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合实际作图场景考查几何定理的应用，解题关键是准确识别图形中的平行关系和对应线段，结合比例关系计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线分线段成比例定理求解。首先观察图形，原点为公共端点，数轴和斜放的直尺为两条射线，两条平行虚线截这两条射线，截得的对应线段成比例，即数轴上线段的长度比等于直尺上对应线段的长度比，找到对应刻度的数值代入比例式即可求出点P表示的数。
【解析】
解：根据平行线分线段成比例定理，两条平行线截由原点出发的两条射线，截得的对应线段成比例。
观察图形可知，数轴上长度为9的线段，对应直尺上长度为3的刻度段，因此数轴实际长度与直尺刻度的比值为$9÷3=3$。
点P在直尺上对应的刻度为1，因此点P表示的数为$1×3=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合实际作图场景考查几何定理的应用，解题关键是准确识别图形中的平行关系和对应线段，结合比例关系计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
7. 如图，D是$△ ABC$的边BC上一点，连接AD，过AD上的点E作$EF // DB$，交AB于点F，过点F作$FG // AC$，交BC于点G。已知$\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$，$BG=4$，求CG的长。
答案
7. 解:$\because EF// DB,\therefore \frac{AF}{FB}=\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$.
$\because FG// AC,\therefore \frac{BG}{CG}=\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$.
又$\because BG=4,\therefore CG=6$.
$\because FG// AC,\therefore \frac{BG}{CG}=\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$.
又$\because BG=4,\therefore CG=6$.
解析
【分析】
本题可根据平行线分线段成比例的性质逐步求解：首先由EF平行于DB，可得到△ABD中对应线段的比例关系，求出AF与FB的比值；再由FG平行于AC，得到△ABC中BG与CG的比值和BF与AF的比值相等，最后代入已知的BG长度，就能求出CG的长。解题时需注意比例中各线段的对应关系，避免写反比例项。
【解析】
解：$\because EF// DB$，根据平行线分线段成比例的性质，平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{AF}{FB}=\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$，
$\because FG// AC$，同理可得，
$\therefore \frac{BG}{CG}=\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$，
又$\because BG=4$，将其代入比例式得$\frac{4}{CG}=\frac{2}{3}$，
解得$CG=4×\frac{3}{2}=6$。
【答案】
$CG=6$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行线分线段成比例性质的应用，解题的关键是准确找到两组平行线对应的比例线段，只要理清线段的对应关系，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
本题可根据平行线分线段成比例的性质逐步求解：首先由EF平行于DB，可得到△ABD中对应线段的比例关系，求出AF与FB的比值；再由FG平行于AC，得到△ABC中BG与CG的比值和BF与AF的比值相等，最后代入已知的BG长度，就能求出CG的长。解题时需注意比例中各线段的对应关系，避免写反比例项。
【解析】
解：$\because EF// DB$，根据平行线分线段成比例的性质，平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例，
$\therefore \frac{AF}{FB}=\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$，
$\because FG// AC$，同理可得，
$\therefore \frac{BG}{CG}=\frac{BF}{AF}=\frac{2}{3}$，
又$\because BG=4$，将其代入比例式得$\frac{4}{CG}=\frac{2}{3}$，
解得$CG=4×\frac{3}{2}=6$。
【答案】
$CG=6$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行线分线段成比例性质的应用，解题的关键是准确找到两组平行线对应的比例线段，只要理清线段的对应关系，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
8. (2025广东期中)如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，DE//BC，EF//AB，已知$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则$\frac{EN}{AC}=$
$\frac{3}{20}$
。答案
8. $\frac{3}{20}$
解析
【分析】
解题时先结合平行线条件推导相似三角形和平行四边形，得到线段比例关系：①由$DE// BC$和$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，得$△ ADE ∽ △ ABC$，推出$AE$和$AC$的比例；②由$DE// BC$、$EF// AB$判定四边形$BDEF$是平行四边形，得到$EF=BD$，结合$M$是$EF$中点求出$EM$与$AB$的比值；③由$EF// AB$证$△ NEM ∽ △ NAB$，得到$EN$与$AN$的比例，最后结合$AE$和$AC$的关系求出$\frac{EN}{AC}$的比值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，即$AE=\frac{1}{4}AC$
$\because DE// BC$，$EF// AB$
$\therefore$四边形$BDEF$是平行四边形，$\therefore EF=BD$
设$AD=a$，则$BD=3a$，$AB=AD+BD=4a$，$\therefore EF=3a$
$\because M$是$EF$的中点，$\therefore EM=\frac{1}{2}EF=\frac{3a}{2}$
$\because EF// AB$
$\therefore ∠ NEM=∠ A$，$∠ NME=∠ NBA$
$\therefore △ NEM ∽ △ NAB$
$\therefore \frac{EN}{AN}=\frac{EM}{AB}=\frac{\frac{3a}{2}}{4a}=\frac{3}{8}$
设$EN=3k$，则$AN=8k$，$\therefore AE=AN-EN=5k$
$\because AE=\frac{1}{4}AC$，$\therefore AC=4AE=20k$
$\therefore \frac{EN}{AC}=\frac{3k}{20k}=\frac{3}{20}$
【答案】
$\frac{3}{20}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，核心是通过平行线推导相似关系，结合参数法表示各线段长度，进而求出线段比值，对比例运算的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先结合平行线条件推导相似三角形和平行四边形，得到线段比例关系：①由$DE// BC$和$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，得$△ ADE ∽ △ ABC$，推出$AE$和$AC$的比例；②由$DE// BC$、$EF// AB$判定四边形$BDEF$是平行四边形，得到$EF=BD$，结合$M$是$EF$中点求出$EM$与$AB$的比值；③由$EF// AB$证$△ NEM ∽ △ NAB$，得到$EN$与$AN$的比例，最后结合$AE$和$AC$的关系求出$\frac{EN}{AC}$的比值。
【解析】
解：$\because DE// BC$，$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，即$AE=\frac{1}{4}AC$
$\because DE// BC$，$EF// AB$
$\therefore$四边形$BDEF$是平行四边形，$\therefore EF=BD$
设$AD=a$，则$BD=3a$，$AB=AD+BD=4a$，$\therefore EF=3a$
$\because M$是$EF$的中点，$\therefore EM=\frac{1}{2}EF=\frac{3a}{2}$
$\because EF// AB$
$\therefore ∠ NEM=∠ A$，$∠ NME=∠ NBA$
$\therefore △ NEM ∽ △ NAB$
$\therefore \frac{EN}{AN}=\frac{EM}{AB}=\frac{\frac{3a}{2}}{4a}=\frac{3}{8}$
设$EN=3k$，则$AN=8k$，$\therefore AE=AN-EN=5k$
$\because AE=\frac{1}{4}AC$，$\therefore AC=4AE=20k$
$\therefore \frac{EN}{AC}=\frac{3k}{20k}=\frac{3}{20}$
【答案】
$\frac{3}{20}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，核心是通过平行线推导相似关系，结合参数法表示各线段长度，进而求出线段比值，对比例运算的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
