一、选择题
1. 下列二次根式是最简二次根式的是()

A.$\sqrt{0.2}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{13}$

1. D

【分析】
要判断最简二次根式，首先需牢记最简二次根式的两个判定条件：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需对照这两个条件逐一排查四个选项，排除不符合条件的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们结合最简二次根式的判定条件逐一分析选项：
选项A：$\sqrt{0.2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，被开方数含有分母，不符合最简二次根式的要求，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数是分数，含有分母，不符合最简二次根式的要求，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}$，被开方数含有能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式的要求，不是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{13}$的被开方数13是质数，既不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的要求，是最简二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对最简二次根式判定规则的运用，解题时需注意先将被开方数中的小数转化为分数，再判断是否含分母，避免遗漏判定条件。
【难度系数】
0.9

2. 下列各数中，与$\sqrt{3}$的积为有理数的是()

A.$\sqrt{15}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{24}$
D.$\sqrt{27}$

2. D

【分析】
解题时首先明确题目要求：需找到与$\sqrt{3}$相乘后结果为有理数的选项。回忆二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），若乘积为有理数，则乘积化简后不含根号，即乘积的被开方数为完全平方数。因此我们可以逐个计算各选项与$\sqrt{3}$的乘积，化简后判断是否为有理数即可得出答案。
【解析】
根据二次根式乘法法则逐一计算：
A选项：$\sqrt{15} × \sqrt{3} = \sqrt{15 × 3} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$，$3\sqrt{5}$是无理数，不符合要求；
B选项：$\sqrt{18} × \sqrt{3} = \sqrt{18 × 3} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$，$3\sqrt{6}$是无理数，不符合要求；
C选项：$\sqrt{24} × \sqrt{3} = \sqrt{24 × 3} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$，$6\sqrt{2}$是无理数，不符合要求；
D选项：$\sqrt{27} × \sqrt{3} = \sqrt{27 × 3} = \sqrt{81} = 9$，9是有理数，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式乘法运算
2. 二次根式化简
3. 有理数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的运算与化简能力，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法法则，准确对运算结果进行化简，进而判断结果是否为有理数。
【难度系数】
0.8

3. 下列计算正确的是()

A.$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$
B.$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{21}$
C.$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

3. A

【分析】
本题考查二次根式的除法运算及分母有理化的相关知识，解题思路是逐个计算每个选项的结果，再与选项给出的结果对比判断对错。首先回忆二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）；对于分母含有根号的式子，可通过分子分母同乘分母的有理化因式完成分母有理化，再判断结果是否正确。
【解析】
我们逐一计算各选项：
选项A：根据二次根式除法法则，$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{12}{2}}=\sqrt{6}$，计算结果与选项一致，该选项正确。
选项B：$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{24}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}≠\sqrt{21}$，该选项错误。
选项C：对$\frac{1}{\sqrt{3}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$得$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠\frac{1}{3}$，该选项错误。
选项D：对$\frac{1}{\sqrt{5}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$得$\frac{1×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}≠\sqrt{5}$，该选项错误。
综上，正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的除法运算、分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式除法法则的应用和分母有理化的基本操作，熟练掌握相关运算规则就能轻松解题，计算时要注意避免混淆运算规则导致出错。
【难度系数】
0.8

4. 已知一个矩形面积是$\sqrt{24}$，一边长是$\sqrt{2}$，则另一边长是()

A.12
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{6}$
D.$3\sqrt{2}$

4. B

【分析】
解题时首先回忆矩形的面积公式：矩形面积=长×宽，已知面积和其中一条边长，求另一边长直接用面积除以已知边长即可。接下来运用二次根式的除法运算法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）计算，最后将结果化简为最简二次根式，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据矩形面积公式可得，另一边长=矩形面积÷已知边长
代入数值计算：
$\sqrt{24}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{24}{2}}=\sqrt{12}$
将$\sqrt{12}$化简为最简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
因此另一边长为$2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形面积计算；二次根式的除法；二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础应用题，解题核心是熟练掌握矩形面积公式和二次根式的运算、化简规则，计算难度低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8

5*. 已知：$a=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}, b=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$，则$a$与$b$的关系是()

A.$a-b=0$
B.$a+b=0$
C.$ab=1$
D.$a^2=b^2$

5. C

【分析】
拿到本题首先观察到a、b的分母均含有二次根式，解题的第一步应先对a、b进行分母有理化，将二者化简为最简形式后，再逐一计算各选项中的式子，判断结论是否成立即可。
【解析】
首先对a、b进行分母有理化：
对于a，分子分母同乘$2+\sqrt{3}$：
$a=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
对于b，分子分母同乘$2-\sqrt{3}$：
$b=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
接下来逐一验证选项：
A选项：$a-b=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}≠0$，错误；
B选项：$a+b=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4≠0$，错误；
C选项：$ab=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$，正确；
D选项：$a^2=(2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}$，$b^2=(2-\sqrt{3})^2=7-4\sqrt{3}$，$a^2≠ b^2$，错误。
【答案】
C
【知识点】
分母有理化、二次根式运算、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，解题的关键是先将分母含根号的式子有理化，再结合运算法则验证选项，熟练运用平方差公式能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 化简：$\frac{1}{\sqrt{3}}=$；$\sqrt{\frac{5}{2}}=$。

1. $\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{10}}{2}$

【分析】
本题是二次根式的化简运算，解题目标是将结果化为最简二次根式（即被开方数不含分母，分母不含根号）。对于第一个式子，分母含有二次根式，可通过分母有理化，给分子分母同乘$\sqrt{3}$，将分母化为整数；对于第二个式子，被开方数是分数，先利用二次根式的除法性质将其拆为两个二次根式的商，再对分母进行有理化即可得到最简结果。
【解析】
1. 化简$\frac{1}{\sqrt{3}}$：
给分子、分母同时乘以$\sqrt{3}$进行分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
2. 化简$\sqrt{\frac{5}{2}}$：
根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，先拆分得：
$\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$
再给分子、分母同时乘以$\sqrt{2}$分母有理化：
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\frac{\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
二次根式的性质；分母有理化；最简二次根式
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，主要考查最简二次根式的化简要求和分母有理化的运算方法，是二次根式相关运算的基础，需要熟练掌握运算规则。
【难度系数】
0.8

2. $\sqrt{7}$的倒数是。

2. $\frac{\sqrt{7}}{7}$

【分析】
解题可分两步思考：第一步，根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此求$\sqrt{7}$的倒数，可先写出形式为$\frac{1}{\sqrt{7}}$；第二步，按照二次根式的运算要求，最终结果的分母不能含有根号，需要对$\frac{1}{\sqrt{7}}$进行分母有理化，分子分母同时乘$\sqrt{7}$去掉分母的根号，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据倒数的定义，$\sqrt{7}$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{7}}$。
对$\frac{1}{\sqrt{7}}$进行分母有理化，分子、分母同时乘以$\sqrt{7}$：
$\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{1×\sqrt{7}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
倒数的定义；分母有理化；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，考查倒数概念与二次根式化简的结合，易错点是忽略二次根式结果需为最简形式，未进行分母有理化直接写出$\frac{1}{\sqrt{7}}$，答题时要注意规范书写最简二次根式。
【难度系数】
0.85

3. 将二次根式$3\sqrt{\dfrac{2}{3}}$化为最简二次根式是.

3. $\sqrt{6}$

【分析】
要将给定的二次根式化为最简二次根式，首先明确最简二次根式的两个核心要求：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时首先利用二次根式的性质去掉根号内的分母（即分母有理化），再结合系数运算化简即可。首先把根号内的分数分子分母同乘3，将分母化为完全平方数，再利用商的算术平方根的性质拆分根号，最后结合外面的系数约分得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得：
$\begin{aligned}3\sqrt{\dfrac{2}{3}}&=3×\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}}\\&=3×\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3^2}}\\&=3×\dfrac{\sqrt{6}}{3}\\&=\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
最简二次根式、二次根式的性质、分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查对最简二次根式概念的理解和二次根式运算规则的应用，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.9

4. 计算: $\sqrt{45} ÷ 3\sqrt{3} =$ .

4. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

【分析】
本题是二次根式的除法运算，解题时可以按照“系数相除作为结果的系数，被开方数相除后开方作为结果的根式部分”的思路计算，也可以先将除法转化为分数形式，再利用二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$计算，最后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
根据二次根式的除法运算规则，系数和被开方数分别相除：
$\begin{aligned}\sqrt{45} ÷ 3\sqrt{3} &= (1÷3) × (\sqrt{45} ÷ \sqrt{3}) \\&= \frac{1}{3} × \sqrt{45÷3} \\&= \frac{1}{3} × \sqrt{15} \\&= \frac{\sqrt{15}}{3}\end{aligned}$
也可先化简二次根式再分母有理化：
$\begin{aligned}\sqrt{45} ÷ 3\sqrt{3} &= \frac{\sqrt{9×5}}{3\sqrt{3}} \\&= \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} \\&= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \\&= \frac{\sqrt{5}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} \\&= \frac{\sqrt{15}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
1.二次根式的除法法则 2.最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的除法计算规则，解题时需注意系数和根式部分要分别运算，最终结果要化为最简二次根式，熟练掌握运算法则即可快速作答。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 计算：
(1) $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{45}}$；
(2) ；
(3) $\sqrt{75} × \frac{\sqrt{6}}{3} ÷ \frac{1}{\sqrt{2}}$；
(4) $\frac{\sqrt{3} × \sqrt{6}}{\sqrt{2}} -1$。

1. (1) $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
(2) $3-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(3) 10
(4) 2

【分析】
这是一组二次根式的乘除及混合运算题，解题思路如下：①二次根式的除法可直接利用商的算术平方根性质$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），先合并根号计算再化简，也可先化简分子分母的二次根式再约分；②分子是多项式、分母含二次根式时，可拆分分式分别计算，或给分子分母同乘分母的有理化因式去分母后再化简；③乘除混合运算按从左到右的顺序计算，将除法转化为乘法运算更简便；④混合运算先算乘除再算加减，所有结果最终要化为最简二次根式。
【解析】
(1) 计算$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{45}}$：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{\frac{40}{45}}\\&=\sqrt{\frac{8}{9}}\\&=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}\\&=\frac{2\sqrt{2}}{3}\end{aligned}$
(2) 计算$\frac{\sqrt{18}-1}{\sqrt{2}}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\&=\sqrt{\frac{18}{2}}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\sqrt{9}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=3-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
(3) 计算$\sqrt{75} × \frac{\sqrt{6}}{3} ÷ \frac{1}{\sqrt{2}}$：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{75}×\frac{\sqrt{6}}{3}×\sqrt{2}\\&=5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{12}}{3}\\&=5\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{10×3}{3}\\&=10\end{aligned}$
(4) 计算$\frac{\sqrt{3} × \sqrt{6}}{\sqrt{2}} -1$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}-1\\&=\sqrt{9}-1\\&=3-1\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{2}{3}\sqrt{2}$；(2) $3-\frac{\sqrt{2}}{2}$；(3) $10$；(4) $2$
【知识点】
二次根式乘除运算、分母有理化、最简二次根式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，重点考查二次根式乘除运算法则的应用，解题时灵活选择拆分、有理化等方法可简化计算，注意运算顺序和结果的最简性要求即可。
【难度系数】
0.7