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2. 计算：
(1) $\sqrt{5} × \sqrt{10}$；
(2) $\sqrt{-9 × (-8)}$；
(3) $\sqrt{24} × \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(4) $\sqrt{12} × \sqrt{4}$；
(5) $4\sqrt{18} × 2\sqrt{15} × \frac{\sqrt{5}}{8}$；
(6) $\sqrt{12x} · \sqrt{\frac{3}{4}xy}$。
(1) $\sqrt{5} × \sqrt{10}$；
(2) $\sqrt{-9 × (-8)}$；
(3) $\sqrt{24} × \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(4) $\sqrt{12} × \sqrt{4}$；
(5) $4\sqrt{18} × 2\sqrt{15} × \frac{\sqrt{5}}{8}$；
(6) $\sqrt{12x} · \sqrt{\frac{3}{4}xy}$。
答案
(1) $5\sqrt{2}$ (2) $6\sqrt{2}$ (3) $2\sqrt{2}$ (4) $4\sqrt{3}$ (5) $15\sqrt{6}$ (6) $3x\sqrt{y}$
解析
【分析】
这组题目均为二次根式的乘法运算，解题核心依据是二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，以及积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a} · \sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$。解题思路：①先判断被开方数的符号，确保运算中被开方数均为非负数；②若根式带有系数，先将系数相乘得到新的系数，再将根号下的被开方数相乘，合并到同一根号内；③最后将运算结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{5 × 10}=\sqrt{50}=\sqrt{25 × 2}=\sqrt{25} × \sqrt{2}=5\sqrt{2}$
(2) 先计算被开方数的乘积：$-9 × (-8)=72$，原式$=\sqrt{72}=\sqrt{36 × 2}=\sqrt{36} × \sqrt{2}=6\sqrt{2}$
(3) 原式$=\sqrt{24 × \frac{1}{3}}=\sqrt{8}=\sqrt{4 × 2}=\sqrt{4} × \sqrt{2}=2\sqrt{2}$
(4) 原式$=\sqrt{12 × 4}=\sqrt{48}=\sqrt{16 × 3}=\sqrt{16} × \sqrt{3}=4\sqrt{3}$
(5) 先计算系数的乘积：$4 × 2 × \frac{1}{8}=1$，再计算根式部分：$\sqrt{18} × \sqrt{15} × \sqrt{5}=\sqrt{18 × 15 × 5}=\sqrt{9 × 2 × 25 × 3}=3 × 5 × \sqrt{6}=15\sqrt{6}$，整体结果为$1 × 15\sqrt{6}=15\sqrt{6}$
(6) 由二次根式有意义的条件得$x≥0,y≥0$，原式$=\sqrt{12x · \frac{3}{4}xy}=\sqrt{9x^2 y}=\sqrt{9} · \sqrt{x^2} · \sqrt{y}=3x\sqrt{y}$
【答案】
(1) $5\sqrt{2}$ (2) $6\sqrt{2}$ (3) $2\sqrt{2}$ (4) $4\sqrt{3}$ (5) $15\sqrt{6}$ (6) $3x\sqrt{y}$
【知识点】
二次根式乘法运算，积的算术平方根性质，最简二次根式化简
【点评】
这组题目属于二次根式乘法的基础题型，侧重考查运算规则的应用，运算时需注意先确认被开方数非负，带系数的运算可先算系数乘积简化计算，最终结果要化为最简形式，含字母的运算要注意隐含的取值范围。
【难度系数】
0.85
这组题目均为二次根式的乘法运算，解题核心依据是二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，以及积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a} · \sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$。解题思路：①先判断被开方数的符号，确保运算中被开方数均为非负数；②若根式带有系数，先将系数相乘得到新的系数，再将根号下的被开方数相乘，合并到同一根号内；③最后将运算结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{5 × 10}=\sqrt{50}=\sqrt{25 × 2}=\sqrt{25} × \sqrt{2}=5\sqrt{2}$
(2) 先计算被开方数的乘积：$-9 × (-8)=72$，原式$=\sqrt{72}=\sqrt{36 × 2}=\sqrt{36} × \sqrt{2}=6\sqrt{2}$
(3) 原式$=\sqrt{24 × \frac{1}{3}}=\sqrt{8}=\sqrt{4 × 2}=\sqrt{4} × \sqrt{2}=2\sqrt{2}$
(4) 原式$=\sqrt{12 × 4}=\sqrt{48}=\sqrt{16 × 3}=\sqrt{16} × \sqrt{3}=4\sqrt{3}$
(5) 先计算系数的乘积：$4 × 2 × \frac{1}{8}=1$，再计算根式部分：$\sqrt{18} × \sqrt{15} × \sqrt{5}=\sqrt{18 × 15 × 5}=\sqrt{9 × 2 × 25 × 3}=3 × 5 × \sqrt{6}=15\sqrt{6}$，整体结果为$1 × 15\sqrt{6}=15\sqrt{6}$
(6) 由二次根式有意义的条件得$x≥0,y≥0$，原式$=\sqrt{12x · \frac{3}{4}xy}=\sqrt{9x^2 y}=\sqrt{9} · \sqrt{x^2} · \sqrt{y}=3x\sqrt{y}$
【答案】
(1) $5\sqrt{2}$ (2) $6\sqrt{2}$ (3) $2\sqrt{2}$ (4) $4\sqrt{3}$ (5) $15\sqrt{6}$ (6) $3x\sqrt{y}$
【知识点】
二次根式乘法运算，积的算术平方根性质，最简二次根式化简
【点评】
这组题目属于二次根式乘法的基础题型，侧重考查运算规则的应用，运算时需注意先确认被开方数非负，带系数的运算可先算系数乘积简化计算，最终结果要化为最简形式，含字母的运算要注意隐含的取值范围。
【难度系数】
0.85
3. 如图1,海南某热带水果礼盒加工厂,从一块大正方形椰壳板材上裁去两个小正方形,分别用来制作面积为18 cm²和32 cm²的椰壳杯垫. 求剩余部分(阴影部分)的面积.
答案
$48\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积公式，由两个小正方形的面积求出它们的边长；再观察图形特征，可知两块阴影部分是长、宽分别对应两个小正方形边长的相同长方形，因此只需计算单个长方形面积再乘2即可得到阴影总面积，计算时可运用积的算术平方根的性质简化运算。
【解析】
解：根据正方形面积公式，面积为$18\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$\sqrt{18}\ \mathrm{cm}$，面积为$32\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$\sqrt{32}\ \mathrm{cm}$。
观察图形可得，阴影部分为两个长为$\sqrt{32}\ \mathrm{cm}$、宽为$\sqrt{18}\ \mathrm{cm}$的长方形，因此阴影部分总面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=2×\sqrt{18}×\sqrt{32}\\&=2×\sqrt{18×32}\\&=2×\sqrt{576}\\&=2×24\\&=48\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$48\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次根式乘法运算，正方形面积计算，积的算术平方根
【点评】
本题结合几何图形考查二次根式的相关运算，解题的核心是结合图形特征找到阴影面积的计算逻辑，熟练运用积的算术平方根的性质能有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据正方形面积公式，由两个小正方形的面积求出它们的边长；再观察图形特征，可知两块阴影部分是长、宽分别对应两个小正方形边长的相同长方形，因此只需计算单个长方形面积再乘2即可得到阴影总面积，计算时可运用积的算术平方根的性质简化运算。
【解析】
解：根据正方形面积公式，面积为$18\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$\sqrt{18}\ \mathrm{cm}$，面积为$32\ \mathrm{cm}^2$的小正方形边长为$\sqrt{32}\ \mathrm{cm}$。
观察图形可得，阴影部分为两个长为$\sqrt{32}\ \mathrm{cm}$、宽为$\sqrt{18}\ \mathrm{cm}$的长方形，因此阴影部分总面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=2×\sqrt{18}×\sqrt{32}\\&=2×\sqrt{18×32}\\&=2×\sqrt{576}\\&=2×24\\&=48\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$48\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次根式乘法运算，正方形面积计算，积的算术平方根
【点评】
本题结合几何图形考查二次根式的相关运算，解题的核心是结合图形特征找到阴影面积的计算逻辑，熟练运用积的算术平方根的性质能有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
