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一、选择题
1. 化简$\sqrt{40}$的结果是(
A.$2\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}$
C.$4\sqrt{5}$
D.20
1. 化简$\sqrt{40}$的结果是(
A
)A.$2\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}$
C.$4\sqrt{5}$
D.20
答案
1. A
解析
【分析】
要化简二次根式$\sqrt{40}$，需用到积的算术平方根的性质：当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$。解题时首先将被开方数40拆分为完全平方数和另一个非完全平方数的乘积，即$40=4×10$，其中4是能开得尽方的因数，再将完全平方数开方后移到根号外，就能得到最终化简结果。
【解析】
解：根据积的算术平方根的性质计算：
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
因此化简结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积的算术平方根的性质、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的化简运算，解题核心是正确将被开方数拆分出完全平方因数，熟练掌握相关运算性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要化简二次根式$\sqrt{40}$，需用到积的算术平方根的性质：当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$。解题时首先将被开方数40拆分为完全平方数和另一个非完全平方数的乘积，即$40=4×10$，其中4是能开得尽方的因数，再将完全平方数开方后移到根号外，就能得到最终化简结果。
【解析】
解：根据积的算术平方根的性质计算：
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=\sqrt{4}×\sqrt{10}=2\sqrt{10}$
因此化简结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
积的算术平方根的性质、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的化简运算，解题核心是正确将被开方数拆分出完全平方因数，熟练掌握相关运算性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 计算$\sqrt{(-5)^2 × 3}$得(
A.$-5\sqrt{3}$
B.$\pm5\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{3}$
D.30
C
)A.$-5\sqrt{3}$
B.$\pm5\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{3}$
D.30
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先明确算术平方根的结果具有非负性，可先排除错误选项：选项A是负数、选项B带有正负号，均不符合算术平方根的要求，直接排除。接下来运用积的算术平方根的性质，将根号下的乘积拆分为两个非负因数的算术平方根的乘积，再根据$\sqrt{a^2}=|a|$计算$\sqrt{(-5)^2}$的结果，最后与$\sqrt{3}$相乘即可得到最终结果，再排除计算错误的选项D即可选出正确答案。
【解析】
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，对原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{(-5)^2×3}&=\sqrt{(-5)^2}×\sqrt{3}\\&=|-5|×\sqrt{3}\\&=5\sqrt{3}\end{aligned}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 积的算术平方根性质
2. 二次根式的性质
3. 算术平方根的非负性
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，解题时需牢记算术平方根的非负性，不要混淆算术平方根和平方根的概念，熟练运用积的算术平方根的运算规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确算术平方根的结果具有非负性，可先排除错误选项：选项A是负数、选项B带有正负号，均不符合算术平方根的要求，直接排除。接下来运用积的算术平方根的性质，将根号下的乘积拆分为两个非负因数的算术平方根的乘积，再根据$\sqrt{a^2}=|a|$计算$\sqrt{(-5)^2}$的结果，最后与$\sqrt{3}$相乘即可得到最终结果，再排除计算错误的选项D即可选出正确答案。
【解析】
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，对原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{(-5)^2×3}&=\sqrt{(-5)^2}×\sqrt{3}\\&=|-5|×\sqrt{3}\\&=5\sqrt{3}\end{aligned}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 积的算术平方根性质
2. 二次根式的性质
3. 算术平方根的非负性
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，解题时需牢记算术平方根的非负性，不要混淆算术平方根和平方根的概念，熟练运用积的算术平方根的运算规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 计算$2-\sqrt{9}$，正确结果是(
A.5
B.-1
C.-3
D.1
B
)A.5
B.-1
C.-3
D.1
答案
3. B
解析
【分析】
计算$2-\sqrt{9}$的核心是先正确求出$\sqrt{9}$的值，需明确$\sqrt{a}(a≥0)$表示$a$的算术平方根，结果为非负数，不能混淆算术平方根和平方根的概念错误得到$\sqrt{9}=\pm3$。算出$\sqrt{9}$的值后，再代入原式做减法运算即可得到最终结果。
【解析】
解：第一步先计算$\sqrt{9}$的数值：
∵ $3^2=9$，且算术平方根为非负实数，
∴ $\sqrt{9}=3$，
将$\sqrt{9}=3$代入原式计算：
$2-\sqrt{9}=2-3=-1$。
因此正确答案为B选项。
【答案】B
【知识点】算术平方根的定义；有理数减法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查算术平方根的概念，易错点是误将算术平方根当作平方根计算，只要牢记算术平方根的非负性，就能顺利求出正确结果。
【难度系数】
0.85
计算$2-\sqrt{9}$的核心是先正确求出$\sqrt{9}$的值，需明确$\sqrt{a}(a≥0)$表示$a$的算术平方根，结果为非负数，不能混淆算术平方根和平方根的概念错误得到$\sqrt{9}=\pm3$。算出$\sqrt{9}$的值后，再代入原式做减法运算即可得到最终结果。
【解析】
解：第一步先计算$\sqrt{9}$的数值：
∵ $3^2=9$，且算术平方根为非负实数，
∴ $\sqrt{9}=3$，
将$\sqrt{9}=3$代入原式计算：
$2-\sqrt{9}=2-3=-1$。
因此正确答案为B选项。
【答案】B
【知识点】算术平方根的定义；有理数减法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查算术平方根的概念，易错点是误将算术平方根当作平方根计算，只要牢记算术平方根的非负性，就能顺利求出正确结果。
【难度系数】
0.85
4. 若$\sqrt{9-x^2}=\sqrt{3-x}·\sqrt{3+x}$，则$x$的取值范围是(
A.$-3≤ x≤3$
B.$x＞-3$
C.$x≤3$
D.$-3＜x＜3$
A
)A.$-3≤ x≤3$
B.$x＞-3$
C.$x≤3$
D.$-3＜x＜3$
答案
4. A
解析
【分析】
这道题是利用积的算术平方根的成立条件求未知数的取值范围，解题核心是明确：只有当两个二次根式都有意义时，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$才成立。因此我们需要让等式右侧的两个被开方数都为非负数，列出对应的不等式组，求解不等式组的解集就是x的取值范围。
【解析】
根据积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的条件是$a≥0$且$b≥0$。
对于等式$\sqrt{9-x^2}=\sqrt{3-x}·\sqrt{3+x}$，需满足不等式组：
$\begin{cases}3-x≥0 \\3+x≥0\end{cases}$
解不等式$3-x≥0$，得$x≤3$；
解不等式$3+x≥0$，得$x≥-3$。
因此不等式组的解集为$-3≤ x≤3$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 积的算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式相关性质的适用条件，解题关键是牢记二次根式的被开方数为非负数，易错点是容易忽略端点的等号情况。
【难度系数】
0.8
这道题是利用积的算术平方根的成立条件求未知数的取值范围，解题核心是明确：只有当两个二次根式都有意义时，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$才成立。因此我们需要让等式右侧的两个被开方数都为非负数，列出对应的不等式组，求解不等式组的解集就是x的取值范围。
【解析】
根据积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的条件是$a≥0$且$b≥0$。
对于等式$\sqrt{9-x^2}=\sqrt{3-x}·\sqrt{3+x}$，需满足不等式组：
$\begin{cases}3-x≥0 \\3+x≥0\end{cases}$
解不等式$3-x≥0$，得$x≤3$；
解不等式$3+x≥0$，得$x≥-3$。
因此不等式组的解集为$-3≤ x≤3$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 积的算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式相关性质的适用条件，解题关键是牢记二次根式的被开方数为非负数，易错点是容易忽略端点的等号情况。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 化简：$\sqrt{45}=$
1. 化简：$\sqrt{45}=$
$3\sqrt{5}$
；$-\sqrt{48}=$$-4\sqrt{3}$
.答案
1. $3\sqrt{5},-4\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，解题依据是积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。解题思路为：先把被开方数分解为完全平方数和另一个非负整数的乘积，再利用上述性质将完全平方数开方到根号外，带负号的化简题注意负号始终保留在根号外，仅化简根号内的部分即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{45}$：
将45分解为$9×5$，其中9是完全平方数，因此：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
2. 化简$-\sqrt{48}$：
将48分解为$16×3$，其中16是完全平方数，负号保留在根号外，因此：
$-\sqrt{48}=-\sqrt{16×3}=-\sqrt{16}×\sqrt{3}=-4\sqrt{3}$
【答案】
$3\sqrt{5},-4\sqrt{3}$
【知识点】
1. 积的算术平方根的性质
2. 二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，主要考查积的算术平方根性质的运用，解题关键是能正确拆分被开方数，分离出其中的完全平方因数，计算时注意不要遗漏根号外的符号。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的化简，解题依据是积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。解题思路为：先把被开方数分解为完全平方数和另一个非负整数的乘积，再利用上述性质将完全平方数开方到根号外，带负号的化简题注意负号始终保留在根号外，仅化简根号内的部分即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{45}$：
将45分解为$9×5$，其中9是完全平方数，因此：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$
2. 化简$-\sqrt{48}$：
将48分解为$16×3$，其中16是完全平方数，负号保留在根号外，因此：
$-\sqrt{48}=-\sqrt{16×3}=-\sqrt{16}×\sqrt{3}=-4\sqrt{3}$
【答案】
$3\sqrt{5},-4\sqrt{3}$
【知识点】
1. 积的算术平方根的性质
2. 二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，主要考查积的算术平方根性质的运用，解题关键是能正确拆分被开方数，分离出其中的完全平方因数，计算时注意不要遗漏根号外的符号。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$\sqrt{2} × \sqrt{6} =$
$2\sqrt{3}$
；$\sqrt{8^2 - 6^2} =$ $2\sqrt{7}$
。答案
2. $2\sqrt{3},2\sqrt{7}$
解析
【分析】
本题包含两道二次根式相关的计算：
1. 第一道考查二次根式的乘法运算，解题时先运用二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），将被开方数相乘，再把结果化简为最简二次根式即可。
2. 第二道考查带根号的混合运算，解题时先计算根号内的乘方和减法，再对得到的结果进行二次根式的化简，最终得到最简形式。
【解析】
1. 计算$\sqrt{2} × \sqrt{6}$：
根据二次根式乘法法则可得：
$\sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{2 × 6} = \sqrt{12}$
再化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = \sqrt{4} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
2. 计算$\sqrt{8^2 - 6^2}$：
先计算根号内的运算：
$8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$
再化简$\sqrt{28}$：$\sqrt{28} = \sqrt{4 × 7} = \sqrt{4} × \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$
【答案】
$2\sqrt{3}$；$2\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式化简；有理数乘方运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，难度较低，解题时要注意运算顺序：带根号的混合运算需先计算根号内的部分，再进行开方运算，最终运算结果必须化为最简二次根式，避免出现未化简的错误。
【难度系数】
0.85
本题包含两道二次根式相关的计算：
1. 第一道考查二次根式的乘法运算，解题时先运用二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），将被开方数相乘，再把结果化简为最简二次根式即可。
2. 第二道考查带根号的混合运算，解题时先计算根号内的乘方和减法，再对得到的结果进行二次根式的化简，最终得到最简形式。
【解析】
1. 计算$\sqrt{2} × \sqrt{6}$：
根据二次根式乘法法则可得：
$\sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{2 × 6} = \sqrt{12}$
再化简$\sqrt{12}$：$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = \sqrt{4} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
2. 计算$\sqrt{8^2 - 6^2}$：
先计算根号内的运算：
$8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$
再化简$\sqrt{28}$：$\sqrt{28} = \sqrt{4 × 7} = \sqrt{4} × \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$
【答案】
$2\sqrt{3}$；$2\sqrt{7}$
【知识点】
二次根式乘法运算；二次根式化简；有理数乘方运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，难度较低，解题时要注意运算顺序：带根号的混合运算需先计算根号内的部分，再进行开方运算，最终运算结果必须化为最简二次根式，避免出现未化简的错误。
【难度系数】
0.85
3. 若$\sqrt{20n}$是整数，则满足条件的最小正整数n为
5
。答案
3. 5
解析
【分析】
要使$\sqrt{20n}$是整数，说明被开方数$20n$是完全平方数。解题时先利用积的算术平方根的性质化简二次根式，再结合完全平方数的质因数指数均为偶数的特征，就能求出最小的正整数$n$。具体思路：先分解20的质因数，再判断每个质因数的指数是否为偶数，补充缺少的质因数即可得到最小的$n$。
【解析】
利用积的算术平方根的性质化简二次根式：
$\sqrt{20n}=\sqrt{4×5n}=\sqrt{4}·\sqrt{5n}=2\sqrt{5n}$
因为$\sqrt{20n}$是整数，所以$\sqrt{5n}$必须是整数，即$5n$是完全平方数。
完全平方数的所有质因数的指数均为偶数，5的质因数只有5，当前指数为1，是奇数，至少需要再乘1个5才能让5的指数变为偶数2，此时$5n$最小为$5×5=25$，对应的最小正整数$n=25÷5=5$。
【答案】
5
【知识点】
积的算术平方根、完全平方数、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，解题核心是明确“算术平方根为整数时被开方数是完全平方数”，掌握二次根式的化简方法和完全平方数的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要使$\sqrt{20n}$是整数，说明被开方数$20n$是完全平方数。解题时先利用积的算术平方根的性质化简二次根式，再结合完全平方数的质因数指数均为偶数的特征，就能求出最小的正整数$n$。具体思路：先分解20的质因数，再判断每个质因数的指数是否为偶数，补充缺少的质因数即可得到最小的$n$。
【解析】
利用积的算术平方根的性质化简二次根式：
$\sqrt{20n}=\sqrt{4×5n}=\sqrt{4}·\sqrt{5n}=2\sqrt{5n}$
因为$\sqrt{20n}$是整数，所以$\sqrt{5n}$必须是整数，即$5n$是完全平方数。
完全平方数的所有质因数的指数均为偶数，5的质因数只有5，当前指数为1，是奇数，至少需要再乘1个5才能让5的指数变为偶数2，此时$5n$最小为$5×5=25$，对应的最小正整数$n=25÷5=5$。
【答案】
5
【知识点】
积的算术平方根、完全平方数、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，解题核心是明确“算术平方根为整数时被开方数是完全平方数”，掌握二次根式的化简方法和完全平方数的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 一个直角三角形的两直角边的长分别为$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$、$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，则这个直角三角形的面积为
$5\sqrt{2}$
$\mathrm{cm}^2$
.答案
4. $5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
要计算直角三角形的面积，首先回忆直角三角形的面积公式：面积等于两条直角边乘积的一半。已知两条直角边均为二次根式形式，代入公式后，按照二次根式的乘法法则计算，再利用积的算术平方根的性质将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：直角三角形的面积公式为 $ S=\frac{1}{2}ab $（$ a、b $ 为两条直角边的长度）
将 $ a=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm} $，$ b=\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $ 代入公式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×2\sqrt{10}×\sqrt{5}\\&=\sqrt{10×5}\\&=\sqrt{50}\\&=\sqrt{25×2}\\&=5\sqrt{2}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$ 5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
1. 直角三角形面积公式
2. 二次根式乘法运算
3. 二次根式化简
【点评】
本题是基础题型，将几何面积计算和二次根式运算相结合，解题的关键是熟练掌握直角三角形面积公式、二次根式的乘法法则以及化简方法，计算时注意不要遗漏单位。
【难度系数】
0.8
要计算直角三角形的面积，首先回忆直角三角形的面积公式：面积等于两条直角边乘积的一半。已知两条直角边均为二次根式形式，代入公式后，按照二次根式的乘法法则计算，再利用积的算术平方根的性质将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：直角三角形的面积公式为 $ S=\frac{1}{2}ab $（$ a、b $ 为两条直角边的长度）
将 $ a=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm} $，$ b=\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $ 代入公式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×2\sqrt{10}×\sqrt{5}\\&=\sqrt{10×5}\\&=\sqrt{50}\\&=\sqrt{25×2}\\&=5\sqrt{2}\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$ 5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
1. 直角三角形面积公式
2. 二次根式乘法运算
3. 二次根式化简
【点评】
本题是基础题型，将几何面积计算和二次根式运算相结合，解题的关键是熟练掌握直角三角形面积公式、二次根式的乘法法则以及化简方法，计算时注意不要遗漏单位。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 化简,使被开方数不含完全平方的因数:
(1) $\sqrt{18}$;
(2) $\sqrt{720}$;
(3) $\sqrt{5 × 15}$;
(4) $-\sqrt{72}$;
(5) $\sqrt{25m}$;
(6) $\sqrt{27xy^2}\ (y＞0)$.
1. 化简,使被开方数不含完全平方的因数:
(1) $\sqrt{18}$;
(2) $\sqrt{720}$;
(3) $\sqrt{5 × 15}$;
(4) $-\sqrt{72}$;
(5) $\sqrt{25m}$;
(6) $\sqrt{27xy^2}\ (y＞0)$.
答案
1. (1) $3\sqrt{2}$ (2) $12\sqrt{5}$ (3) $5\sqrt{3}$ (4) $-6\sqrt{2}$ (5) $5\sqrt{m}$ (6) $3y\sqrt{3x}$
解析
【分析】
解题前先回忆积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），化简核心思路如下：第一步先将被开方数分解质因数（或因式），拆分出其中的完全平方因数（或完全平方式）；第二步利用上述性质把完全平方部分开方后移到根号外，剩余非完全平方部分留在根号内；第三步注意保留原式的符号，含字母的需结合给定的字母取值范围，保证开方结果为非负数。
【解析】
(1) 先拆分被开方数：$18=9×2$，其中9是完全平方数
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
(2) 拆分被开方数：$720=144×5$，其中144是完全平方数
$\sqrt{720}=\sqrt{144×5}=\sqrt{144}×\sqrt{5}=12\sqrt{5}$
(3) 先计算被开方数的乘积：$5×15=75$，再拆分$75=25×3$，其中25是完全平方数
$\sqrt{5×15}=\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
(4) 拆分被开方数：$72=36×2$，其中36是完全平方数，保留原式负号
$-\sqrt{72}=-\sqrt{36×2}=-\sqrt{36}×\sqrt{2}=-6\sqrt{2}$
(5) 拆分被开方数：$25m=25× m$，其中25是完全平方数
$\sqrt{25m}=\sqrt{25}×\sqrt{m}=5\sqrt{m}$
(6) 已知$y＞0$，拆分被开方数：$27xy^2=9y^2×3x$，其中$9y^2$是完全平方式
$\sqrt{27xy^2}=\sqrt{9y^2×3x}=\sqrt{9y^2}×\sqrt{3x}=3y\sqrt{3x}$
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$ (2) $12\sqrt{5}$ (3) $5\sqrt{3}$ (4) $-6\sqrt{2}$ (5) $5\sqrt{m}$ (6) $3y\sqrt{3x}$
【知识点】
积的算术平方根性质、二次根式化简、二次根式的非负性
【点评】
本题是二次根式化简的常规基础题，核心考查对积的算术平方根性质的运用，解题关键是准确拆分被开方数中的完全平方因数（因式），遇到含字母的式子要注意给定的字母取值范围对开方结果符号的影响，是后续二次根式运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
解题前先回忆积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），化简核心思路如下：第一步先将被开方数分解质因数（或因式），拆分出其中的完全平方因数（或完全平方式）；第二步利用上述性质把完全平方部分开方后移到根号外，剩余非完全平方部分留在根号内；第三步注意保留原式的符号，含字母的需结合给定的字母取值范围，保证开方结果为非负数。
【解析】
(1) 先拆分被开方数：$18=9×2$，其中9是完全平方数
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
(2) 拆分被开方数：$720=144×5$，其中144是完全平方数
$\sqrt{720}=\sqrt{144×5}=\sqrt{144}×\sqrt{5}=12\sqrt{5}$
(3) 先计算被开方数的乘积：$5×15=75$，再拆分$75=25×3$，其中25是完全平方数
$\sqrt{5×15}=\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
(4) 拆分被开方数：$72=36×2$，其中36是完全平方数，保留原式负号
$-\sqrt{72}=-\sqrt{36×2}=-\sqrt{36}×\sqrt{2}=-6\sqrt{2}$
(5) 拆分被开方数：$25m=25× m$，其中25是完全平方数
$\sqrt{25m}=\sqrt{25}×\sqrt{m}=5\sqrt{m}$
(6) 已知$y＞0$，拆分被开方数：$27xy^2=9y^2×3x$，其中$9y^2$是完全平方式
$\sqrt{27xy^2}=\sqrt{9y^2×3x}=\sqrt{9y^2}×\sqrt{3x}=3y\sqrt{3x}$
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$ (2) $12\sqrt{5}$ (3) $5\sqrt{3}$ (4) $-6\sqrt{2}$ (5) $5\sqrt{m}$ (6) $3y\sqrt{3x}$
【知识点】
积的算术平方根性质、二次根式化简、二次根式的非负性
【点评】
本题是二次根式化简的常规基础题，核心考查对积的算术平方根性质的运用，解题关键是准确拆分被开方数中的完全平方因数（因式），遇到含字母的式子要注意给定的字母取值范围对开方结果符号的影响，是后续二次根式运算的重要基础。
【难度系数】
0.85
