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2. 判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正.
(1) $\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}=\dfrac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-9}}$；
(2)
(1) $\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}=\dfrac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-9}}$；
(2)
答案
(1) 错误，$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$
(2) 错误，$\sqrt{4\dfrac{12}{25}}=\sqrt{\dfrac{112}{25}}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5}$
(2) 错误，$\sqrt{4\dfrac{12}{25}}=\sqrt{\dfrac{112}{25}}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5}$
解析
【分析】
解决本题需紧扣二次根式的性质和运算要求：
1. 第(1)题：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，二次根式除法法则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件是$a≥0$，$b＞0$。观察原式右侧$\sqrt{-4}$、$\sqrt{-9}$的被开方数为负数，无意义，因此不能直接拆分计算，需先约去被开方数的负号，化为正分数后再运算。
2. 第(2)题：带分数是整数与分数相加的形式，不是整数乘分数，不能直接将带分数的整数部分提取到根号外，需先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法性质，分子分母分别开方后化简。
【解析】
(1) 原式错误。
$\sqrt{-4}$、$\sqrt{-9}$的被开方数为负数，无意义，不符合二次根式的定义，不能直接拆分运算。
正确计算：
$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$
(2) 原式错误。
带分数$4\dfrac{12}{25}=4+\dfrac{12}{25}≠4×\dfrac{12}{25}$，不能直接将整数部分提取到根号外。
正确计算：
$\sqrt{4\dfrac{12}{25}}=\sqrt{\dfrac{4×25+12}{25}}=\sqrt{\dfrac{112}{25}}=\dfrac{\sqrt{112}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{16×7}}{5}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5}$
【答案】
(1) 错误，改正为$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$；
(2) 错误，改正为$\sqrt{4\dfrac{12}{25}}=\sqrt{\dfrac{112}{25}}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的除法法则
3. 二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础易错题，着重考察二次根式的运算规范：一是使用除法法则拆分二次根式时，要保证所有被开方数非负、分母不为0；二是计算带分数的开方运算时，要先将带分数转化为假分数再计算，切忌直接拆分带分数的整数和分数部分运算。
【难度系数】
0.7
解决本题需紧扣二次根式的性质和运算要求：
1. 第(1)题：二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，二次根式除法法则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件是$a≥0$，$b＞0$。观察原式右侧$\sqrt{-4}$、$\sqrt{-9}$的被开方数为负数，无意义，因此不能直接拆分计算，需先约去被开方数的负号，化为正分数后再运算。
2. 第(2)题：带分数是整数与分数相加的形式，不是整数乘分数，不能直接将带分数的整数部分提取到根号外，需先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法性质，分子分母分别开方后化简。
【解析】
(1) 原式错误。
$\sqrt{-4}$、$\sqrt{-9}$的被开方数为负数，无意义，不符合二次根式的定义，不能直接拆分运算。
正确计算：
$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$
(2) 原式错误。
带分数$4\dfrac{12}{25}=4+\dfrac{12}{25}≠4×\dfrac{12}{25}$，不能直接将整数部分提取到根号外。
正确计算：
$\sqrt{4\dfrac{12}{25}}=\sqrt{\dfrac{4×25+12}{25}}=\sqrt{\dfrac{112}{25}}=\dfrac{\sqrt{112}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{16×7}}{5}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5}$
【答案】
(1) 错误，改正为$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$；
(2) 错误，改正为$\sqrt{4\dfrac{12}{25}}=\sqrt{\dfrac{112}{25}}=\dfrac{4\sqrt{7}}{5}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的除法法则
3. 二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础易错题，着重考察二次根式的运算规范：一是使用除法法则拆分二次根式时，要保证所有被开方数非负、分母不为0；二是计算带分数的开方运算时，要先将带分数转化为假分数再计算，切忌直接拆分带分数的整数和分数部分运算。
【难度系数】
0.7
阅读材料并作答：
在化简$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$和$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$时，通常使用以下方法：
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=$
$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$。
上述过程利用了分数的基本性质，将分子、分母同时乘以一个适当的二次根式，从而把分母中的根号化去，使分母变成有理数，像这样把分母中的根号化去的过程就是分母有理化。
将下列式子分母有理化：(1)$\frac{1}{3+\sqrt{5}}$；(2)$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
在化简$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$和$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$时，通常使用以下方法：
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=$
$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$。上述过程利用了分数的基本性质，将分子、分母同时乘以一个适当的二次根式，从而把分母中的根号化去，使分母变成有理数，像这样把分母中的根号化去的过程就是分母有理化。
将下列式子分母有理化：(1)$\frac{1}{3+\sqrt{5}}$；(2)$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
答案
(1) $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
(2) $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$
(2) $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$
解析
【分析】
要完成分母有理化，核心是利用分数的基本性质，给分子分母同时乘分母的有理化因式，消去分母中的根号。对于形如$m\pm\sqrt{n}$或者$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$的分母，它的有理化因式是将中间的运算符号变号得到的式子，再借助平方差公式计算就能将分母化为有理数。
(1)中分母是$3+\sqrt{5}$，它的有理化因式是$3-\sqrt{5}$，分子分母同乘这个因式即可化简；
(2)中分母是$\sqrt{a}-\sqrt{b}$，它的有理化因式是$\sqrt{a}+\sqrt{b}$，分子分母同乘这个因式，再结合二次根式的性质计算即可。
【解析】
(1) 给$\frac{1}{3+\sqrt{5}}$的分子、分母同时乘$3-\sqrt{5}$，得：
$\frac{1}{3+\sqrt{5}}=\frac{1×(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，计算分母：
$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$
因此原式化简为$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$。
(2) 给$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分子、分母同时乘$\sqrt{a}+\sqrt{b}$（$a≠ b$），得：
$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{1×(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$
根据平方差公式计算分母：
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$
因此原式化简为$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$。
【答案】
(1) $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
(2) $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题考查分母有理化的基本方法，解题关键是准确找到分母的有理化因式，借助平方差公式消去分母中的根号，计算时要注意二次根式平方后的结果非负，同时保证分母不为0即可。
【难度系数】
0.8
要完成分母有理化，核心是利用分数的基本性质，给分子分母同时乘分母的有理化因式，消去分母中的根号。对于形如$m\pm\sqrt{n}$或者$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$的分母，它的有理化因式是将中间的运算符号变号得到的式子，再借助平方差公式计算就能将分母化为有理数。
(1)中分母是$3+\sqrt{5}$，它的有理化因式是$3-\sqrt{5}$，分子分母同乘这个因式即可化简；
(2)中分母是$\sqrt{a}-\sqrt{b}$，它的有理化因式是$\sqrt{a}+\sqrt{b}$，分子分母同乘这个因式，再结合二次根式的性质计算即可。
【解析】
(1) 给$\frac{1}{3+\sqrt{5}}$的分子、分母同时乘$3-\sqrt{5}$，得：
$\frac{1}{3+\sqrt{5}}=\frac{1×(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，计算分母：
$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$
因此原式化简为$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$。
(2) 给$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分子、分母同时乘$\sqrt{a}+\sqrt{b}$（$a≠ b$），得：
$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{1×(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$
根据平方差公式计算分母：
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$
因此原式化简为$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$。
【答案】
(1) $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
(2) $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题考查分母有理化的基本方法，解题关键是准确找到分母的有理化因式，借助平方差公式消去分母中的根号，计算时要注意二次根式平方后的结果非负，同时保证分母不为0即可。
【难度系数】
0.8
