21.(8分)如图,已知△ABC的面积为36,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CD,CE=2AE,AD与BE相交于点F,若△AEF的面积为3,求图中阴影部分的面积.

21. 解:如图所示,连接CF.

∵△AEF与△CEF等高,CE=2AE,
∴$S_{△CEF}=2S_{△AEF}=2×3=6$,
又
∵$S_{△ABC}=36$,BD=CD,
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=18$,
∴$S_{△CFD}=S_{△ACD}-S_{△AEF}-S_{△CEF}=18-3-6=9$,
又
∵△BFD与△CFD等底等高,
∴$S_{△BFD}=S_{△CFD}=9$.

【分析】
要求阴影部分$△ BFD$的面积，可利用三角形面积与底高的对应关系求解：首先观察到已知$CE=2AE$，$△ AEF$和$△ CEF$等高，因此先添加辅助线连接$CF$，即可先求出$△ CEF$的面积；再根据$BD=CD$可知$△ ABD$和$△ ACD$等底等高，面积均为$△ ABC$面积的一半，进而可求出$△ CFD$的面积；最后根据$△ BFD$和$△ CFD$等底等高，二者面积相等，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：如图所示，连接$CF$。

∵$△ AEF$与$△ CEF$等高，$CE=2AE$，
∴$S_{△CEF}=2S_{△AEF}=2×3=6$，
又
∵$S_{△ABC}=36$，$BD=CD$，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=18$，
∴$S_{△CFD}=S_{△ACD}-S_{△AEF}-S_{△CEF}=18-3-6=9$，
又
∵$△ BFD$与$△ CFD$等底等高，
∴$S_{△BFD}=S_{△CFD}=9$。
【答案】
图中阴影部分的面积为$\boldsymbol{9}$。
【知识点】
1. 等高三角形面积比等于底之比
2. 等底等高三角形面积相等
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，解题核心是通过添加辅助线构造出存在底高比例关系、等底等高的三角形，结合已知面积逐步推导未知面积，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

22.(10分)如图,在三角形纸片ABC中,将纸片一角折叠,使点C落在△ABC外部点C'处.试证明:∠1−∠2=2∠C.

22. 证明:如图所示,

∵∠1=∠3+∠C,∠3=∠C'+∠2,
∴∠1+∠3=∠3+∠C+∠C'+∠2,
∵∠C=∠C',
∴∠1=2∠C+∠2,
∴∠1−∠2=2∠C.

【分析】
要证明∠1−∠2=2∠C，可按以下思路推导：首先看到折叠问题，优先考虑折叠的性质，可得折叠前后对应角相等，即∠C=∠C'；其次观察图形中角的位置，利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），分别建立∠1与∠3、∠C的关系，以及∠3与∠C'、∠2的关系；最后通过等量代换消去中间量∠3、∠C'，整理即可得到待证结论。
【解析】
证明：如图所示，标注∠3。
根据三角形外角的性质可得：
∠1=∠3+∠C，∠3=∠C'+∠2，
将第二个式子代入第一个式子，可得∠1=∠C'+∠2+∠C，
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此∠C=∠C'，
将∠C'替换为∠C，可得∠1=∠C+∠2+∠C=2∠C+∠2，
移项后即可得到：∠1−∠2=2∠C。
【答案】
证明:如图所示,

∵∠1=∠3+∠C,∠3=∠C'+∠2,
∴∠1+∠3=∠3+∠C+∠C'+∠2,
∵∠C=∠C',
∴∠1=2∠C+∠2,
∴∠1−∠2=2∠C.
【知识点】
折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何折叠类的典型基础题型，解题的核心是利用折叠得到相等的角，再结合三角形外角性质完成角的转化，通过等量代换推导出角的数量关系。
【难度系数】
0.7

23.(11分)如图，$∠ A=90°$，D为AB边上一点，$∠ CDA$的平分线交AC于点E，且$DE // BC$，F为BC的中点.
(1)求证:$DF ⊥ BC$;
(2)若$AB=10$，$AC=7$，求$△ ACD$的周长.

23. (1)证明:
∵DE是∠CDA的角平分线,
∴∠CDE=∠EDA.
∵DE//BC,
∴∠BCD=∠CDE,∠CBD=∠EDA,
∴∠BCD=∠CBD,
∴CD=BD,
∵F为BC的中点,
∴DF⊥BC.
(2)解:由(1)得CD=BD,
∴CD+DA=BD+DA=AB=10,
∴△ACD的周长=AC+CD+DA=7+10=17.

【分析】
（1）要证明$DF⊥ BC$，已知$F$是$BC$中点，可通过证明$△ BCD$是等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质推导。首先根据角平分线定义得到$∠ CDE=∠ EDA$，再结合$DE// BC$的平行线内错角相等性质，推出$∠ BCD=∠ CBD$，即可得到$CD=BD$，$△ BCD$为等腰三角形，结合$F$是$BC$中点即可得证。
（2）求$△ ACD$的周长，周长为$AC+CD+AD$，已知$AC$的长度，只需计算$CD+AD$的和即可。由（1）的结论$CD=BD$，可将$CD$转化为$BD$，因此$CD+AD=BD+AD=AB$，代入已知$AB$的长度即可求出周长。
【解析】
(1) 证明：
∵$DE$是$∠ CDA$的角平分线，
∴$∠ CDE=∠ EDA$。
∵$DE// BC$，
∴$∠ BCD=∠ CDE$，$∠ CBD=∠ EDA$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ BCD=∠ CBD$，
∴$CD=BD$（等角对等边），即$△ BCD$为等腰三角形。
又
∵$F$为$BC$的中点，
∴$DF⊥ BC$（等腰三角形三线合一）。
(2) 解：
由(1)得$CD=BD$，
∴$CD+DA=BD+DA=AB=10$，
∴$△ ACD$的周长$=AC+CD+DA=7+10=17$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $△ ACD$的周长为$\boxed{17}$。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是结合角平分线、平行线的性质推导角的等量关系，进而得到等腰三角形；第二问通过线段转化简化了周长的计算，不需要逐一求解各边长度，体现了几何中转化思想的应用。
【难度系数】
0.75

24.(12分)如图,在△ABC中,点D为∠ABC的平分线BD上一点,连接AD,过点D作EF//BC交AB于点E,交AC于点F.
(1)如图1,若AD⊥BD于点D,∠BEF=120°,求∠BAD的度数;
(2)如图2,若∠ABC=α,∠BDA=β,求∠FAD+∠C的度数(用含α和β的代数式表示).

24. 解:(1)
∵EF//BC,∠BEF=120°,
∴∠EBC=60°,
又
∵BD平分∠EBC,
∴∠ABD=30°,
又
∵∠BDA=90°,
∴∠BAD=180°−∠ABD−∠BDA=60°.
(2)如图,过点A作AG//BC,

则∠BDA=∠DBC+∠DAG
=∠DBC+∠FAD+∠FAG
=∠DBC+∠FAD+∠C=β,
则∠FAD+∠C=β−∠DBC=β−$\frac{1}{2}$∠ABC
=β−$\frac{1}{2}$α.

【分析】
(1) 首先根据EF//BC的性质，结合已知∠BEF的度数，利用两直线平行同旁内角互补求出∠EBC的度数；再由BD是角平分线的条件求出∠ABD的度数；最后结合AD⊥BD得到∠ADB=90°，利用三角形内角和定理即可算出∠BAD的度数。
(2) 要把∠FAD、∠C和已知的α、β建立联系，可过点A作AG//BC，利用平行公理的推论得到AG//EF//BC，再根据平行线内错角相等的性质，将∠BDA转化为∠DBC、∠FAD、∠C三个角的和，最后结合角平分线的定义代入∠DBC=½α，整理即可得到所求代数式。
【解析】
(1)
∵EF//BC，∠BEF=120°，
∴∠EBC=180°−∠BEF=60°，
又
∵BD平分∠EBC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠EBC=30°，
又
∵AD⊥BD，即∠BDA=90°，
∴∠BAD=180°−∠ABD−∠BDA=180°−30°−90°=60°。
(2) 过点A作AG//BC，如图：

由EF//BC可得AG//EF//BC，根据平行线内错角相等的性质：
∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，
又
∵BD平分∠ABC，∠ABC=α，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$α，
∴∠FAD+∠C=β−∠DBC=β−$\frac{1}{2}$α。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$
(2) $\boldsymbol{β-\dfrac{1}{2}α}$

【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问较为简单，直接利用平行线和角平分线性质即可求解；第二问的核心是通过构造平行线实现角的转化，较好地考查了学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力，是平行线与角平分线综合应用的典型题型。
【难度系数】
0.7