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三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)如果一个三角形的一边长为9 cm,另一边长为2 cm,若第三边长为x cm.
(1)求第三边x的取值范围；
(2)当第三边长为奇数时,求三角形的周长.
16.(6分)如果一个三角形的一边长为9 cm,另一边长为2 cm,若第三边长为x cm.
(1)求第三边x的取值范围；
(2)当第三边长为奇数时,求三角形的周长.
答案
16. 解:(1)由三角形的三边关系得:
9-2＜x＜9+2,即7＜x＜11.
(2)
∵第三边长的范围为7＜x＜11,且第三边长为奇数,
∴第三边长为9cm,
则三角形的周长为:9+9+2=20(cm).
9-2＜x＜9+2,即7＜x＜11.
(2)
∵第三边长的范围为7＜x＜11,且第三边长为奇数,
∴第三边长为9cm,
则三角形的周长为:9+9+2=20(cm).
解析
【分析】
(1) 求解第三边的取值范围，核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将已知的两条边长代入该关系列不等式，即可求出x的取值范围。
(2) 先结合第一问得到的x的取值范围，筛选出范围内的奇数，得到第三边的具体长度，再将三条边的长度相加，即可算出三角形的周长。
【解析】
(1) 由三角形的三边关系可得：
$9-2 ＜ x ＜ 9+2$
即第三边x的取值范围为$7 ＜ x ＜ 11$。
(2) 已知第三边的取值范围为$7 ＜ x ＜ 11$，且第三边长为奇数，符合条件的x的值为9，即第三边长为9cm。
则三角形的周长为：$9+9+2=20$（cm）。
【答案】
(1) $7 ＜ x ＜ 11$；(2) $20\mathrm{cm}$
【知识点】
三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题是基础题，主要考查三角形三边关系的应用，解题时需注意第三边的取值要同时满足大于两边之差、小于两边之和，第二问筛选奇数时要结合取值范围，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.9
(1) 求解第三边的取值范围，核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将已知的两条边长代入该关系列不等式，即可求出x的取值范围。
(2) 先结合第一问得到的x的取值范围，筛选出范围内的奇数，得到第三边的具体长度，再将三条边的长度相加，即可算出三角形的周长。
【解析】
(1) 由三角形的三边关系可得：
$9-2 ＜ x ＜ 9+2$
即第三边x的取值范围为$7 ＜ x ＜ 11$。
(2) 已知第三边的取值范围为$7 ＜ x ＜ 11$，且第三边长为奇数，符合条件的x的值为9，即第三边长为9cm。
则三角形的周长为：$9+9+2=20$（cm）。
【答案】
(1) $7 ＜ x ＜ 11$；(2) $20\mathrm{cm}$
【知识点】
三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题是基础题，主要考查三角形三边关系的应用，解题时需注意第三边的取值要同时满足大于两边之差、小于两边之和，第二问筛选奇数时要结合取值范围，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.9
17.(6分)小颖要制作一个三角形木架,现有两根长度为8 m和5 m的木棒.如果要求第三根木棒的长度是整数,小颖有几种选法?第三根木棒的长度可以是多少?
答案
17. 解:9种,第三根木棒的长度可以是4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm,11cm,12cm.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要利用三角形三边的关系确定第三根木棒长度的取值范围，再结合“第三根木棒长度是整数”的条件，统计符合要求的取值个数并列出所有可能的值。具体思考步骤：①回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；②设第三根木棒长度为x，根据三边关系列出关于x的不等式，求出x的取值范围；③在取值范围内找出所有整数，统计数量并罗列即可。
【解析】
解：设第三根木棒的长度为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据三角形三边关系，可得：
$ 8 - 5 ＜ x ＜ 8 + 5 $
即 $ 3 ＜ x ＜ 13 $
因为$ x $是整数，所以$ x $的取值为4、5、6、7、8、9、10、11、12，共9种选法。
【答案】
9种，第三根木棒的长度可以是4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm,11cm,12cm.
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式整数解求解
【点评】
本题是三角形三边关系的典型基础应用题，解题的关键是准确根据三边关系确定第三边的取值范围，注意取值边界（不等于两边之和或两边之差），同时不要遗漏整数的限制条件，避免漏算或多算符合要求的取值。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要利用三角形三边的关系确定第三根木棒长度的取值范围，再结合“第三根木棒长度是整数”的条件，统计符合要求的取值个数并列出所有可能的值。具体思考步骤：①回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；②设第三根木棒长度为x，根据三边关系列出关于x的不等式，求出x的取值范围；③在取值范围内找出所有整数，统计数量并罗列即可。
【解析】
解：设第三根木棒的长度为$ x \, \mathrm{cm} $。
根据三角形三边关系，可得：
$ 8 - 5 ＜ x ＜ 8 + 5 $
即 $ 3 ＜ x ＜ 13 $
因为$ x $是整数，所以$ x $的取值为4、5、6、7、8、9、10、11、12，共9种选法。
【答案】
9种，第三根木棒的长度可以是4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm,11cm,12cm.
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式整数解求解
【点评】
本题是三角形三边关系的典型基础应用题，解题的关键是准确根据三边关系确定第三边的取值范围，注意取值边界（不等于两边之和或两边之差），同时不要遗漏整数的限制条件，避免漏算或多算符合要求的取值。
【难度系数】
0.8
18.(6分)一个大型模板如图所示,设计要求BA与CD相交成$30°$角,DA与CB相交成$20°$角,怎样通过测量$∠ A,∠ B,∠ C,∠ D$的度数,来检验模板是否合格?
答案
18. 解:只要量得∠B+∠C=150°,∠C+∠D=160°,则模板合格.
解析
【分析】
要检验模板是否合格，本质是验证两组对边延长后的交角分别为30°和20°，无需实际延长边构造交点，可借助三角形内角和定理将交角的验证转化为对现有四边形内角和的测量：
1. 若BA与CD相交成30°，两边延长后形成△EBC，该三角形内角和为180°，因此∠B、∠C的和可通过180°减去30°得到判断标准；
2. 若DA与CB相交成20°，两边延长后形成△FDC，同理可得∠C、∠D的和的判断标准。
【解析】
解：① 延长BA、CD交于点E，根据设计要求∠E=30°。
在△EBC中，由三角形内角和定理得：$∠ E + ∠ B + ∠ C = 180°$，
因此当$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ E = 180° - 30° = 150°$时，可证明BA与CD的交角符合30°的要求。
② 延长DA、CB交于点F，根据设计要求∠F=20°。
在△FDC中，由三角形内角和定理得：$∠ F + ∠ D + ∠ C = 180°$，
因此当$∠ C + ∠ D = 180° - ∠ F = 180° - 20° = 160°$时，可证明DA与CB的交角符合20°的要求。
综上，只要测量得到两个角度和满足上述条件，模板就合格。
【答案】
只要量得$∠ B + ∠ C = 150°$,$∠ C + ∠ D = 160°$,则模板合格。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角度转化计算
【点评】
本题结合实际检验场景考查数学知识的应用，通过转化思想将需要构造交点才能测量的交角，转化为可直接测量的现有内角的和，降低了实际操作难度，解题核心是找到延长边后形成的三角形，利用内角和定理建立等量关系。
【难度系数】
0.7
要检验模板是否合格，本质是验证两组对边延长后的交角分别为30°和20°，无需实际延长边构造交点，可借助三角形内角和定理将交角的验证转化为对现有四边形内角和的测量：
1. 若BA与CD相交成30°，两边延长后形成△EBC，该三角形内角和为180°，因此∠B、∠C的和可通过180°减去30°得到判断标准；
2. 若DA与CB相交成20°，两边延长后形成△FDC，同理可得∠C、∠D的和的判断标准。
【解析】
解：① 延长BA、CD交于点E，根据设计要求∠E=30°。
在△EBC中，由三角形内角和定理得：$∠ E + ∠ B + ∠ C = 180°$，
因此当$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ E = 180° - 30° = 150°$时，可证明BA与CD的交角符合30°的要求。
② 延长DA、CB交于点F，根据设计要求∠F=20°。
在△FDC中，由三角形内角和定理得：$∠ F + ∠ D + ∠ C = 180°$，
因此当$∠ C + ∠ D = 180° - ∠ F = 180° - 20° = 160°$时，可证明DA与CB的交角符合20°的要求。
综上，只要测量得到两个角度和满足上述条件，模板就合格。
【答案】
只要量得$∠ B + ∠ C = 150°$,$∠ C + ∠ D = 160°$,则模板合格。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角度转化计算
【点评】
本题结合实际检验场景考查数学知识的应用，通过转化思想将需要构造交点才能测量的交角，转化为可直接测量的现有内角的和，降低了实际操作难度，解题核心是找到延长边后形成的三角形，利用内角和定理建立等量关系。
【难度系数】
0.7
19.(8分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC于点E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,求∠DAC的度数. 
答案
19. 解:
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE= 1/2 ∠ABC,
∵∠ABE=25°,
∴∠ABC=50°,
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=90°,
在△ABD中,
∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°,
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD,∠BAC=60°,
∴∠DAC=60°-40°=20°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE= 1/2 ∠ABC,
∵∠ABE=25°,
∴∠ABC=50°,
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=90°,
在△ABD中,
∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°,
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD,∠BAC=60°,
∴∠DAC=60°-40°=20°.
解析
【分析】
要求解∠DAC的度数，可按照以下思路逐步推导：首先根据角平分线的定义，结合已知的∠ABE的度数求出∠ABC的总度数；再利用AD是BC边上的高的性质，可知∠ADB为90°，在直角三角形ABD中根据两锐角互余求出∠BAD的度数；最后用已知的∠BAC的度数减去∠BAD的度数，即可得到∠DAC的度数。
【解析】
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABE=25°，
∴∠ABC=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABC = 90°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，
又
∵∠BAC=∠BAD + ∠DAC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=60°-40°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，角度和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题时需结合已知条件，依次运用相关定义和性质推导中间角的度数，最终得到所求角，解题的关键是理清各角之间的数量关系，计算时细心即可。
【难度系数】
0.8
要求解∠DAC的度数，可按照以下思路逐步推导：首先根据角平分线的定义，结合已知的∠ABE的度数求出∠ABC的总度数；再利用AD是BC边上的高的性质，可知∠ADB为90°，在直角三角形ABD中根据两锐角互余求出∠BAD的度数；最后用已知的∠BAC的度数减去∠BAD的度数，即可得到∠DAC的度数。
【解析】
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABE=25°，
∴∠ABC=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABC = 90°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，
又
∵∠BAC=∠BAD + ∠DAC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=60°-40°=20°。
【答案】
20°
【知识点】
角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，角度和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题时需结合已知条件，依次运用相关定义和性质推导中间角的度数，最终得到所求角，解题的关键是理清各角之间的数量关系，计算时细心即可。
【难度系数】
0.8
20.(8分)如图，AD，AE分别是$△ ABC$的高和中线，$S_{△ ABE}=12\ \mathrm{cm}^2$，$AD=4.8\ \mathrm{cm}$，$∠ CAB=90°$，$AB=6\ \mathrm{cm}$.求：
(1)BC的长；
(2)$△ ABC$的周长.
(1)BC的长；
(2)$△ ABC$的周长.
答案
20. 解:(1)
∵$S_{△ ABE}=12\ \mathrm{cm}^2$,AD是△ABC的高,AD=4.8cm,
∴$\frac{1}{2}$BE×AD=12,
∴BE=5cm.
∵AE是△ABC的中线,
∴BC=2BE=10cm.
(2)
∵AD是△ABC的高,
AD=4.8cm,BC=10cm,AB=6cm,
又
∵$\frac{1}{2}$AC×AB=$\frac{1}{2}$BC×AD,
∴AC=$\frac{BC×AD}{AB}$ = $\frac{10×4.8}{6}$ =8(cm).
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=6+10+8=24(cm).
∵$S_{△ ABE}=12\ \mathrm{cm}^2$,AD是△ABC的高,AD=4.8cm,
∴$\frac{1}{2}$BE×AD=12,
∴BE=5cm.
∵AE是△ABC的中线,
∴BC=2BE=10cm.
(2)
∵AD是△ABC的高,
AD=4.8cm,BC=10cm,AB=6cm,
又
∵$\frac{1}{2}$AC×AB=$\frac{1}{2}$BC×AD,
∴AC=$\frac{BC×AD}{AB}$ = $\frac{10×4.8}{6}$ =8(cm).
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=6+10+8=24(cm).
解析
【分析】
(1) 要求BC的长，已知AE是△ABC的中线，可得BC=2BE，因此先求BE的长度即可。△ABE以BE为底时，高为AD，已知△ABE的面积和AD的长度，代入三角形面积公式可求出BE，进而得到BC的长。
(2) 要求△ABC的周长，已知AB、BC的长度，只需求出AC的长度即可。△ABC是直角三角形，它的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用底BC乘高AD的一半计算，利用面积相等列等式即可求出AC，最后将三边长度相加得到周长。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的高，AD=4.8cm，$S_{△ABE}=12\ \mathrm{cm}^2$，
根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×BE×AD=12$，
代入AD=4.8cm，解得$BE=\frac{12×2}{4.8}=5\ \mathrm{cm}$。
又
∵AE是△ABC的中线，即E为BC的中点，
∴$BC=2BE=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵∠CAB=90°，△ABC为直角三角形，
其面积可表示为$\frac{1}{2}×AB×AC$，也可表示为$\frac{1}{2}×BC×AD$，
∴$\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×BC×AD$，
代入AB=6cm，BC=10cm，AD=4.8cm，
解得$AC=\frac{BC×AD}{AB}=\frac{10×4.8}{6}=8\ \mathrm{cm}$。
因此△ABC的周长为$AB+BC+AC=6+10+8=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)BC的长为$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$；
(2)△ABC的周长为$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积公式，等积法应用
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，解题核心是利用中线的性质建立BE与BC的数量关系，再通过直角三角形面积的两种表示方法求出未知边长，解题时需注意公式的正确代入，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
(1) 要求BC的长，已知AE是△ABC的中线，可得BC=2BE，因此先求BE的长度即可。△ABE以BE为底时，高为AD，已知△ABE的面积和AD的长度，代入三角形面积公式可求出BE，进而得到BC的长。
(2) 要求△ABC的周长，已知AB、BC的长度，只需求出AC的长度即可。△ABC是直角三角形，它的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用底BC乘高AD的一半计算，利用面积相等列等式即可求出AC，最后将三边长度相加得到周长。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的高，AD=4.8cm，$S_{△ABE}=12\ \mathrm{cm}^2$，
根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×BE×AD=12$，
代入AD=4.8cm，解得$BE=\frac{12×2}{4.8}=5\ \mathrm{cm}$。
又
∵AE是△ABC的中线，即E为BC的中点，
∴$BC=2BE=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵∠CAB=90°，△ABC为直角三角形，
其面积可表示为$\frac{1}{2}×AB×AC$，也可表示为$\frac{1}{2}×BC×AD$，
∴$\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×BC×AD$，
代入AB=6cm，BC=10cm，AD=4.8cm，
解得$AC=\frac{BC×AD}{AB}=\frac{10×4.8}{6}=8\ \mathrm{cm}$。
因此△ABC的周长为$AB+BC+AC=6+10+8=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)BC的长为$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$；
(2)△ABC的周长为$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积公式，等积法应用
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，解题核心是利用中线的性质建立BE与BC的数量关系，再通过直角三角形面积的两种表示方法求出未知边长，解题时需注意公式的正确代入，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
