7. 如图，一个含有$60°$角的三角形纸片，剪去这个$60°$角后，得到一个四边形，则$∠1+∠2$的度数为 （）

A.$120°$
B.$180°$
C.$240°$
D.$300°$

第7小题图

第8小题图

第9小题图

第10小题图

7. C

【分析】
解题时可先利用三角形内角和定理求出剪去60°角后剩余两个内角的和，再结合四边形内角和为360°，即可求出∠1+∠2的度数。具体思考步骤：第一步，回忆三角形内角和是180°，计算原三角形中除60°角外另外两个角的度数和；第二步，明确剪去角后得到的四边形的四个内角分别是∠1、∠2以及刚才算出和的两个角；第三步，用四边形内角和减去两个角的和，就能得到∠1+∠2的结果。
【解析】
设原含60°角的三角形另外两个内角分别为∠α、∠β。
根据三角形内角和定理，得：$∠α + ∠β + 60° = 180°$，
∴ $∠α + ∠β = 180° - 60° = 120°$。
∵ 剪去60°角后得到的四边形内角和为360°，
∴ $∠1 + ∠2 + ∠α + ∠β = 360°$，
将$∠α + ∠β = 120°$代入上式，得：
$∠1 + ∠2 = 360° - 120° = 240°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和
【点评】
本题是内角和定理的基础应用题型，解题的关键是建立三角形剩余内角和四边形内角之间的关联，属于常考的基础题。
【难度系数】
0.8

8. 如图,已知在△ABC中,∠A=40°,将一块直角三角板放在△ABC上,使三角板的两条直角边分别经过点B,C,直角顶点D落在△ABC的内部,则∠ABD+∠ACD的度数为 （）

A.$90°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$

8. C

【分析】
要求∠ABD+∠ACD的度数，可利用三角形内角和定理求解：首先在△ABC中，根据已知的∠A的度数，先求出∠ABC+∠ACB的和；再在直角△DBC中，根据直角三角板的直角为90°，求出∠DBC+∠DCB的和；最后观察角的组成关系，∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠ACD=∠ACB-∠DCB，将两式相加，即可把所求角的和转化为上述两组角的和的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°。
∵△DBC是直角三角板，∠BDC=90°，
同理在△DBC中，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-90°=90°。
又
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠ACD=∠ACB-∠DCB，
∴∠ABD+∠ACD=(∠ABC-∠DBC)+(∠ACB-∠DCB)
=(∠ABC+∠ACB)-(∠DBC+∠DCB)
=140°-90°=50°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题的关键是将所求角的和进行合理转化，通过分别计算两个三角形中两个内角的和，作差即可得到答案，熟练掌握三角形内角和定理可快速解题。
【难度系数】
0.8

9. 如图，$△ ABC$的面积为10，AD为BC边上的中线，E为AD上任意一点，连接BE，CE，图中阴影部分的面积为（）

A.4
B.5
C.6
D.8

9. B

【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分（依据是等底同高的三角形面积相等）。首先由AD是BC的中线，可得△ABD和△ACD的面积都是△ABC面积的一半。再观察点E在AD上，△EBD和△ECD同样满足等底同高，因此二者面积相等，可将阴影部分的△ECD面积等量替换为△EBD的面积，此时阴影部分总面积就等于△ABD的面积，直接计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD = CD，
△ABD与△ACD等底（BD=CD）同高（点A到BC的距离），
∴$S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×10 = 5$。
又
∵△EBD与△ECD等底（BD=CD）同高（点E到BC的距离），
∴$S_{△ EBD} = S_{△ ECD}$，
∴阴影部分面积 = $S_{△ ABE} + S_{△ ECD} = S_{△ ABE} + S_{△ EBD} = S_{△ ABD} = 5$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于基础几何求面积题型，核心是运用等积变换的思想，将分散的阴影部分面积转化为可直接计算的规则图形面积，熟练掌握三角形中线的面积性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

10. 如图，$AC ⊥ BC$，垂足为$C$，$AC=15$，$BC=20$，$AB=25$. $P$是线段$AB$上的任意一点，连接$PC$，$PC$的长不可能是（）

A.11
B.12
C.13
D.16

10. A

【分析】
要判断PC的不可能长度，需先确定PC的取值范围。根据垂线段最短的性质，点C到线段AB上所有点的连线中，垂线段的长度是最小值，因此我们可以先用面积法求出直角三角形斜边上的高，也就是PC的最小值，再结合线段AB上点的位置确定PC的最大值，最后对比选项即可得出答案。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，根据垂线段最短可知，PC的最小值为CD的长度。
∵ AC⊥BC，△ABC是直角三角形
∴ △ABC的面积 = $\frac{1}{2}×AC×BC$ = $\frac{1}{2}×15×20$ = 150
又
∵ △ABC的面积也可表示为 $\frac{1}{2}×AB×CD$
代入AB=25可得：$\frac{1}{2}×25×CD = 150$
解得：$CD = 12$
即PC的最小值为12，PC的取值范围为$12≤PC≤20$（当P与B重合时PC最大为20）
观察选项，只有11不在取值范围内，因此PC的长不可能是11。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短；直角三角形面积计算；点到直线的距离
【点评】
本题是基础类题型，核心考查垂线段最短的性质，结合直角三角形面积法求斜边上的高是解题的关键，这类题常出现在选择填空题中，需要熟练掌握面积法求高的技巧。
【难度系数】
0.8

二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11. 如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是

第11小题图

第13小题图

第14小题图

第15小题图

11. 三角形具有稳定性

【分析】
解题时先观察固定门框后的图形结构：门框ABCD原本是四边形，四边形具有不稳定性，容易发生形变；加上木条EF后，EF与门框的相邻两条边共同构成了三角形结构，结合所学的几何图形特性，三角形具有不易变形的性质，即可推出对应的原理。
【解析】
解：门框ABCD为四边形结构，四边形具有不稳定性，易变形。当使用木条EF固定门框时，EF与相邻的两条门框边共同形成三角形结构，而三角形具有稳定性，能够使门框保持原有形状不发生变形，因此该做法的根据是三角形具有稳定性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题考查三角形稳定性在实际生活中的应用，属于基础类题目，需要掌握常见几何图形的特性，并能结合生活实例进行判断。
【难度系数】
0.9

12.在$△ ABC$中,若$∠ A=40°,∠ B-∠ C=40°$,则$∠ B=$.

12. 90°

【分析】
拿到这道题首先回忆三角形内角和的核心结论：三角形三个内角的和为180°。已知∠A的度数，我们可以先算出∠B与∠C的度数之和；题目还给出了∠B和∠C的度数之差，此时我们得到两个关于∠B、∠C的等式，将两个等式相加就可以消去∠C，直接求出∠B的度数，也可以用代入消元的方法计算，两种方法均符合当前学段的知识要求。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。
∵ ∠A=40°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 40° = 140° ①，
又已知∠B - ∠C = 40° ②，
将①+②可得：2∠B = 180°，
解得∠B = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角度和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内角和定理的应用，解题关键是牢记三角形内角和为180°的固定结论，结合已知的角度和差关系即可快速求解，是对基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9

13.如图，AD，CE都是$△ ABC$的中线，连接ED，$△ ABC$的面积是10 $\mathrm{cm}^2$，则$△ BDE$的面积是________ $\mathrm{cm}^2$。

13. 2.5

【分析】
解题思路如下：首先回忆三角形中线的相关性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高的小三角形，二者面积相等。第一步，先根据CE是△ABC的中线，求出△BCE的面积，它是△ABC面积的一半；第二步，再根据AD是△ABC的中线得到D是BC中点，可知ED是△BCE的中线，因此△BDE的面积是△BCE面积的一半，两次运用中线性质就能求出结果。
【解析】
解：
∵CE是△ABC的中线，
∴E为AB的中点，
∴△BCE和△ACE等底（$AE=BE$）、同高（点C到AB的距离），
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=10\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}^2$。
又
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，
∴△BDE和△CDE等底（$BD=CD$）、同高（点E到BC的距离），
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×5=2.5\mathrm{cm}^2$。
【答案】
2.5
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积关系；三角形面积计算
【点评】
本题是典型的利用中线性质求三角形面积的题目，核心是理解中线平分三角形面积的原理，解题时只需结合图形逐步分析各三角形的底和高的关系，多次运用性质即可得到答案。
【难度系数】
0.7

14. 如图，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,DE过点O且DE//BC,AC=10 cm,AB=13 cm,则△ADE的周长是cm.

14. 23

【分析】
解题时首先关注题干中的两个关键条件：角平分线和平行线，这是推导等腰三角形的经典组合。首先根据角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等，推导得到两个等腰三角形，将DE拆分后的线段DO、EO分别转化为DB和EC，最后把△ADE的周长通过等量替换转化为AB与AC的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
1.
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO，
又
∵DE//BC，
∴∠DOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等），

∴∠DBO=∠DOB，
∴DO=DB（等角对等边）；
2. 同理可得，CO平分∠ACB，∠ECO=∠BCO，

∵DE//BC，
∴∠EOC=∠BCO，

∴∠ECO=∠EOC，
∴EO=EC；
3. △ADE的周长 = AD + DE + AE，
又
∵DE = DO + OE，

∴周长 = AD + DO + OE + AE，
将DO=DB、EO=EC代入得：
周长 = AD + DB + EC + AE = (AD+DB) + (AE+EC) = AB + AC，
4. 代入AB=13cm，AC=10cm，得周长=13+10=23（cm）。
【答案】
23
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形相关性质的基础综合题，核心是识别“角平分线+平行线”的常用几何模型，通过等腰三角形实现线段的等量转换，将未知周长转化为已知线段的和，有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7

15.如图，AF和BE是$△ ABC$的中线，现有以下结论：①$AE=CE$；②点O是$△ ABC$的重心；③$△ ACF$与$△ ABE$面积相等；④过点C，点O的直线平分线段AB.其中正确的结论是（填序号）.

15. ①②③④

【分析】
解题时先回忆三角形中线、重心的定义及性质，再逐一判断每个结论：
1. 先根据中线的定义判断结论①：中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，可直接得到边的数量关系；
2. 再根据重心的定义判断结论②：三角形三条中线的交点是重心，已知两条中线的交点即可确定重心；
3. 接着判断结论③：利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分（等底同高的三角形面积相等）”，分别表示出两个三角形的面积与原三角形面积的关系，即可比较大小；
4. 最后根据重心的性质判断结论④：三角形的三条中线都经过重心，因此过重心和第三个顶点的直线就是第三条边的中线，可平分对边。
【解析】
我们逐个验证结论：
1. 对于①：
∵BE是△ABC的中线，
∴E是AC的中点，
∴AE=CE，故①正确；
2. 对于②：三角形的重心是三角形三条中线的交点，已知AF、BE是△ABC的两条中线，二者交点为O，
∴点O是△ABC的重心，故②正确；
3. 对于③：
∵AF是BC边上的中线，
∴△ACF和△ABF等底同高，
∴$S_{△ ACF}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$；同理BE是AC边上的中线，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴$S_{△ ACF}=S_{△ ABE}$，故③正确；
4. 对于④：
∵点O是△ABC的重心，
∴AB边上的中线必然经过点O，即过点C、点O的直线就是AB边上的中线，
∴该直线平分线段AB，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
三角形的中线定义；三角形重心的性质；三角形面积计算
【点评】
本题围绕三角形中线和重心的性质设置考点，属于基础类题目，解题的核心是熟练掌握中线分割三角形面积、重心是三条中线交点的相关性质，只要概念清晰即可顺利得分。
【难度系数】
0.8