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一、选择题(下列各题的备选答案中,有且仅有一个答案是正确的,每小题3分,共30分)
1. 如图,黄冈长江大桥作为公铁两用斜拉桥,修建过程中大量使用斜拉索搭配桥塔与桥面构成三角形结构,该设计主要利用的数学原理是 (
A.三角形内角和为$180°$
B.三角形具有稳定性
C.垂线段最短
D.两点确定一条直线
第1小题图
第4小题图
第5小题图
1. 如图,黄冈长江大桥作为公铁两用斜拉桥,修建过程中大量使用斜拉索搭配桥塔与桥面构成三角形结构,该设计主要利用的数学原理是 (
B
)A.三角形内角和为$180°$
B.三角形具有稳定性
C.垂线段最短
D.两点确定一条直线
第1小题图
第4小题图
第5小题图
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的场景是桥梁修建使用三角形结构，核心目的是保障结构稳固，接下来逐一分析各选项对应的数学原理的适用场景，排除不符合结构稳固需求的选项，即可选出正确答案。
【解析】
斜拉索、桥塔与桥面构成三角形结构，核心需求是让桥梁整体结构稳固、不易变形。
对各选项逐一分析：
A. 三角形内角和为$180°$主要用于三角形角度相关的计算，与结构稳固无关，排除；
B. 三角形具有稳定性，即三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，该特性广泛应用于需要结构稳固的建筑场景，符合题意；
C. 垂线段最短常用于解决最短路径类问题，与本题场景无关，排除；
D. 两点确定一条直线常用于确定直的参照线等场景，与本题场景无关，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活实际考查数学原理的应用，属于基础题，解题的关键是区分不同几何基本性质的适用场景，体会数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目给出的场景是桥梁修建使用三角形结构，核心目的是保障结构稳固，接下来逐一分析各选项对应的数学原理的适用场景，排除不符合结构稳固需求的选项，即可选出正确答案。
【解析】
斜拉索、桥塔与桥面构成三角形结构，核心需求是让桥梁整体结构稳固、不易变形。
对各选项逐一分析：
A. 三角形内角和为$180°$主要用于三角形角度相关的计算，与结构稳固无关，排除；
B. 三角形具有稳定性，即三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，该特性广泛应用于需要结构稳固的建筑场景，符合题意；
C. 垂线段最短常用于解决最短路径类问题，与本题场景无关，排除；
D. 两点确定一条直线常用于确定直的参照线等场景，与本题场景无关，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活实际考查数学原理的应用，属于基础题，解题的关键是区分不同几何基本性质的适用场景，体会数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.9
2. 一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是 （
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
D
）A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，已知三个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方法，用含相同未知数的式子表示三个内角，再根据内角和列方程求出未知数的值，进而算出最大内角的度数，最后根据最大内角的类型判断三角形的类别。同时可先观察比例，三个占比均不相等，可直接排除等腰三角形的选项，再通过计算判断其余选项。
【解析】
解：已知三角形三个内角的度数之比为2:3:7，设三个内角的度数分别为2x、3x、7x。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
$2x + 3x + 7x = 180°$
合并同类项得：$12x = 180°$
解得：$x = 15°$
则三个内角的度数分别为：
$2x = 2×15°=30°$，$3x=3×15°=45°$，$7x=7×15°=105°$
其中最大内角为105°，是钝角，因此这个三角形是钝角三角形。
逐一分析选项：
A选项：直角三角形需有一个内角为90°，不符合，排除；
B选项：等腰三角形需有两个内角相等，本题三个内角度数均不同，不符合，排除；
C选项：锐角三角形的三个内角都小于90°，本题有105°的钝角，不符合，排除；
D选项符合结论。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.三角形的分类 3.比的应用
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用及三角形的分类判定，解题的关键是根据角度比例求出最大内角的度数，通过最大内角的类型即可快速判断三角形的类别。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，已知三个内角的度数比，我们可以通过设未知数的方法，用含相同未知数的式子表示三个内角，再根据内角和列方程求出未知数的值，进而算出最大内角的度数，最后根据最大内角的类型判断三角形的类别。同时可先观察比例，三个占比均不相等，可直接排除等腰三角形的选项，再通过计算判断其余选项。
【解析】
解：已知三角形三个内角的度数之比为2:3:7，设三个内角的度数分别为2x、3x、7x。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
$2x + 3x + 7x = 180°$
合并同类项得：$12x = 180°$
解得：$x = 15°$
则三个内角的度数分别为：
$2x = 2×15°=30°$，$3x=3×15°=45°$，$7x=7×15°=105°$
其中最大内角为105°，是钝角，因此这个三角形是钝角三角形。
逐一分析选项：
A选项：直角三角形需有一个内角为90°，不符合，排除；
B选项：等腰三角形需有两个内角相等，本题三个内角度数均不同，不符合，排除；
C选项：锐角三角形的三个内角都小于90°，本题有105°的钝角，不符合，排除；
D选项符合结论。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.三角形的分类 3.比的应用
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用及三角形的分类判定，解题的关键是根据角度比例求出最大内角的度数，通过最大内角的类型即可快速判断三角形的类别。
【难度系数】
0.85
3.一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是 （
A.13
B.17
C.22
D.17或22
C
）A.13
B.17
C.22
D.17或22
答案
3. C
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的边分为腰和底，已知两边长未说明是腰还是底时，需分类讨论两种情况；其次要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况能否构成三角形，排除不符合的情况后，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形两边长分别为4和9，分两种情况讨论：
1. 若腰长为4，底边长为9，则三边长为4、4、9。
此时$4+4=8＜9$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为9，底边长为4，则三边长为9、9、4。
此时$9+4＞9$，$9+9＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
周长为$9+9+4=22$。
综上，这个三角形的周长是22，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题的易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接认为两种情况都成立从而错选D，遇到等腰三角形边长未明确腰和底的问题时，一定要先分类讨论，再验证是否符合三角形构成条件，避免出现错误。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确等腰三角形的边分为腰和底，已知两边长未说明是腰还是底时，需分类讨论两种情况；其次要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况能否构成三角形，排除不符合的情况后，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形两边长分别为4和9，分两种情况讨论：
1. 若腰长为4，底边长为9，则三边长为4、4、9。
此时$4+4=8＜9$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为9，底边长为4，则三边长为9、9、4。
此时$9+4＞9$，$9+9＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
周长为$9+9+4=22$。
综上，这个三角形的周长是22，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题的易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接认为两种情况都成立从而错选D，遇到等腰三角形边长未明确腰和底的问题时，一定要先分类讨论，再验证是否符合三角形构成条件，避免出现错误。
【难度系数】
0.6
4.体育课上的侧压腿动作(如图1)可以抽象为几何图形(如图2),如果∠1=120°,则∠2的度数是（
A.20°
B.30°
C.40°
D.120°
B
）A.20°
B.30°
C.40°
D.120°
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先要把生活抽象的几何图形和所学的三角形相关知识结合起来。第一步先观察角的关系：首先∠1与三角形的一个内角互为邻补角，其次可发现该三角形是直角三角形，有一个内角为90°。我们可以有两种思路求解：思路一，利用三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠1就是这个直角三角形的外角，直接建立∠1和∠2的等式求解；思路二，先利用平角的定义求出三角形中与∠1相邻的内角的度数，再利用三角形内角和为180°，减去直角和刚求出的角，就能得到∠2的度数。
【解析】
方法一：根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可知，∠1是直角三角形的外角，与∠1不相邻的两个内角分别为90°和∠2，因此有：
$∠ 1 = 90° + ∠ 2$
已知$∠ 1=120°$，代入得：
$120° = 90° + ∠ 2$
解得$∠ 2 = 120° - 90° = 30°$
方法二：因为∠1与三角形的一个内角互为邻补角，所以该内角的度数为$180° - ∠ 1 = 180° - 120° = 60°$
又因为该三角形是直角三角形，有一个内角为90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ 2 = 180° - 90° - 60° = 30°$
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的体育动作考查三角形相关性质的应用，体现了数学来源于生活的理念，解题的关键是准确从抽象图形中识别几何关系，属于基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要把生活抽象的几何图形和所学的三角形相关知识结合起来。第一步先观察角的关系：首先∠1与三角形的一个内角互为邻补角，其次可发现该三角形是直角三角形，有一个内角为90°。我们可以有两种思路求解：思路一，利用三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠1就是这个直角三角形的外角，直接建立∠1和∠2的等式求解；思路二，先利用平角的定义求出三角形中与∠1相邻的内角的度数，再利用三角形内角和为180°，减去直角和刚求出的角，就能得到∠2的度数。
【解析】
方法一：根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可知，∠1是直角三角形的外角，与∠1不相邻的两个内角分别为90°和∠2，因此有：
$∠ 1 = 90° + ∠ 2$
已知$∠ 1=120°$，代入得：
$120° = 90° + ∠ 2$
解得$∠ 2 = 120° - 90° = 30°$
方法二：因为∠1与三角形的一个内角互为邻补角，所以该内角的度数为$180° - ∠ 1 = 180° - 120° = 60°$
又因为该三角形是直角三角形，有一个内角为90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ 2 = 180° - 90° - 60° = 30°$
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的体育动作考查三角形相关性质的应用，体现了数学来源于生活的理念，解题的关键是准确从抽象图形中识别几何关系，属于基础题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是高，$AE$是中线，$AD=4$，$S_{△ ABC}=24$，则$BE$的长为 （
A.2
B.3
C.4
D.6
D
）A.2
B.3
C.4
D.6
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先从已知的三角形面积和高的条件入手，先回忆三角形面积公式，求出底边BC的长度；再结合AE是中线的条件，利用三角形中线平分对边的性质，就能求出BE的长度。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，
将$AD=4$，$S_{△ ABC}=24$代入公式得：
$24=\frac{1}{2} × BC × 4$，
解得$BC=12$。
又
∵AE是△ABC的中线，
∴点E是BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 12=6$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算，三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考查三角形面积公式和中线性质的综合应用，解题关键是先通过面积公式求出底边BC的长度，再借助中线性质得到BE和BC的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的三角形面积和高的条件入手，先回忆三角形面积公式，求出底边BC的长度；再结合AE是中线的条件，利用三角形中线平分对边的性质，就能求出BE的长度。
【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$，
将$AD=4$，$S_{△ ABC}=24$代入公式得：
$24=\frac{1}{2} × BC × 4$，
解得$BC=12$。
又
∵AE是△ABC的中线，
∴点E是BC的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 12=6$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算，三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考查三角形面积公式和中线性质的综合应用，解题关键是先通过面积公式求出底边BC的长度，再借助中线性质得到BE和BC的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图，已知平面直角坐标系中，点A的坐标为$(3,0)$，点B的坐标为$(m,n)$.若$△ AOB$的面积为6，则下列说法一定正确的是（
A.$m=\pm2,n$为任意实数
B.$m=\pm4,n$为任意实数
C.$m$为任意实数，$n=\pm2$
D.$m$为任意实数，$n=\pm4$
D
）A.$m=\pm2,n$为任意实数
B.$m=\pm4,n$为任意实数
C.$m$为任意实数，$n=\pm2$
D.$m$为任意实数，$n=\pm4$
答案
6. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察△AOB的位置：点O和点A都在x轴上，OA可作为三角形的底，长度固定为3。三角形的面积由底和对应高决定，OA边上的高是点B到x轴的距离，仅和点B的纵坐标有关，和横坐标无关。我们可以先根据面积公式列方程求出纵坐标的取值，再判断横坐标的情况即可。
【解析】
已知点O坐标为$(0,0)$，点A坐标为$(3,0)$，因此OA在x轴上，长度$OA=3$。
△AOB以OA为底时，底边上的高为点$B(m,n)$到x轴的距离，即纵坐标的绝对值$|n|$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知面积$S_{△ AOB}=6$，可得：
$\frac{1}{2}×3×|n|=6$
化简计算：
$3|n|=12$
$|n|=4$，即$n=\pm4$
由于点B到x轴的距离仅和纵坐标n有关，和横坐标m没有关系，因此m为任意实数。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征，三角形面积计算，绝对值的性质
【点评】
本题解题的核心是明确坐标系中点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，结合三角形面积公式即可求解，注意不要忽略绝对值导致漏解，也不要混淆横纵坐标对应的距离。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先观察△AOB的位置：点O和点A都在x轴上，OA可作为三角形的底，长度固定为3。三角形的面积由底和对应高决定，OA边上的高是点B到x轴的距离，仅和点B的纵坐标有关，和横坐标无关。我们可以先根据面积公式列方程求出纵坐标的取值，再判断横坐标的情况即可。
【解析】
已知点O坐标为$(0,0)$，点A坐标为$(3,0)$，因此OA在x轴上，长度$OA=3$。
△AOB以OA为底时，底边上的高为点$B(m,n)$到x轴的距离，即纵坐标的绝对值$|n|$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知面积$S_{△ AOB}=6$，可得：
$\frac{1}{2}×3×|n|=6$
化简计算：
$3|n|=12$
$|n|=4$，即$n=\pm4$
由于点B到x轴的距离仅和纵坐标n有关，和横坐标m没有关系，因此m为任意实数。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征，三角形面积计算，绝对值的性质
【点评】
本题解题的核心是明确坐标系中点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，结合三角形面积公式即可求解，注意不要忽略绝对值导致漏解，也不要混淆横纵坐标对应的距离。
【难度系数】
0.7
7.如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=155°,∠2=30°,则∠3= (
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
第7小题图
第9小题图
第10小题图
C
)A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
第7小题图
第9小题图
第10小题图
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先回忆凸透镜的特殊光线传播规律：①平行于主光轴的光线经凸透镜折射后会经过焦点；②经过光心的光线传播方向不发生改变。结合已知角度，先利用邻补角的性质求出折射光线与主光轴的夹角，再结合∠2的度数，将两个角度相加即可得到∠3的数值。
【解析】
1. 根据凸透镜特殊光线的性质：平行于主光轴的入射光线经折射后过焦点F，因此折射光线与主光轴交于F点；过光心O的光线传播方向不变。
2. 已知∠1=155°，入射光线平行于主光轴，根据两直线平行同旁内角互补/邻补角和为180°，可得折射光线与主光轴的夹角为：$∠ PFO=180°-∠1=180°-155°=25°$。
3. 已知过光心的光线与主光轴的夹角$∠2=30°$，∠3是折射光线与过光心光线的夹角，因此$∠3=∠ PFO+∠2=25°+30°=55°$。
【答案】
C
【知识点】
凸透镜特殊光线；角度计算；平行线性质
【点评】
本题结合了光学基础规律和几何角度计算，解题核心是熟练掌握凸透镜的两条特殊光线传播规律，再结合基础的角度运算即可得出结果，属于基础的跨学科综合题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆凸透镜的特殊光线传播规律：①平行于主光轴的光线经凸透镜折射后会经过焦点；②经过光心的光线传播方向不发生改变。结合已知角度，先利用邻补角的性质求出折射光线与主光轴的夹角，再结合∠2的度数，将两个角度相加即可得到∠3的数值。
【解析】
1. 根据凸透镜特殊光线的性质：平行于主光轴的入射光线经折射后过焦点F，因此折射光线与主光轴交于F点；过光心O的光线传播方向不变。
2. 已知∠1=155°，入射光线平行于主光轴，根据两直线平行同旁内角互补/邻补角和为180°，可得折射光线与主光轴的夹角为：$∠ PFO=180°-∠1=180°-155°=25°$。
3. 已知过光心的光线与主光轴的夹角$∠2=30°$，∠3是折射光线与过光心光线的夹角，因此$∠3=∠ PFO+∠2=25°+30°=55°$。
【答案】
C
【知识点】
凸透镜特殊光线；角度计算；平行线性质
【点评】
本题结合了光学基础规律和几何角度计算，解题核心是熟练掌握凸透镜的两条特殊光线传播规律，再结合基础的角度运算即可得出结果，属于基础的跨学科综合题。
【难度系数】
0.7
