17. 探究:三角尺中的数学问题.
(1)如图61-G-16①,将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起,∠ACB=∠DCH=90°.
①若∠BCH=36°,则∠ACD=°;若∠ACD=134°,则∠BCH=°.
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图②,若是两个同样的三角尺,将它们60°的锐角顶点A重合在一起,∠ACB=∠AEF=90°,直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系.

图61-G-16

17. 解:(1)①a. 因为$∠ACB=∠DCH=90°$,$∠BCH=36°$,
所以$∠DCB=∠DCH-∠BCH=90°-36°=54°$,
所以$∠ACD=∠DCB+∠BCA=54°+90°=144°$。
b. 因为$∠ACD=134°$,$∠ACB=∠DCH=90°$,
所以$∠DCB=∠ACD-∠ACB=134°-90°=44°$,
所以$∠BCH=∠DCH-∠DCB=90°-44°=46°$。
故答案为144,46。
②猜想:$∠ACD+∠BCH=180°$。
理由:因为$∠ACB=∠DCH=90°$,
所以$∠ACB+∠DCH=180°$,
所以$∠ACH+∠BCH+∠BCH+∠DCB=180°$,
即$∠ACH+∠BCH+∠DCB+∠BCH=180°$,
所以$∠ACD+∠BCH=180°$。
(2)$∠CAF+∠EAB=120°$。

【分析】
解决本题的核心是利用三角尺的已知特殊角度，结合角的和差关系进行计算或推导：
(1)①已知两个直角∠ACB=∠DCH=90°，计算∠ACD时，先通过∠DCH减去∠BCH得到∠DCB的度数，再将∠DCB与∠ACB相加即可；反过来已知∠ACD求∠BCH时，先通过∠ACD减去∠ACB得到∠DCB，再用∠DCH减去∠DCB即可。
②探究∠ACD和∠BCH的数量关系时，将两个直角的和拆分，把拆分后的角重新组合为∠ACD与∠BCH的和，即可推出两者的数量关系。
(2)图②中两个三角尺的∠CAB=∠EAF=60°，将∠CAF拆分为∠CAE+∠EAF，∠EAB表示为∠CAB-∠CAE，两者相加消去公共部分∠CAE，即可得到数量关系。
【解析】
(1)①a. 已知$∠ ACB=∠ DCH=90°$，$∠ BCH=36°$，
先计算$∠ DCB=∠ DCH-∠ BCH=90°-36°=54°$，
因此$∠ ACD=∠ DCB+∠ ACB=54°+90°=144°$。
b. 已知$∠ ACD=134°$，$∠ ACB=∠ DCH=90°$，
先计算$∠ DCB=∠ ACD-∠ ACB=134°-90°=44°$，
因此$∠ BCH=∠ DCH-∠ DCB=90°-44°=46°$。
②猜想：$∠ ACD+∠ BCH=180°$，理由如下：
因为$∠ ACB=∠ DCH=90°$，所以$∠ ACB+∠ DCH=180°$，
将角拆分可得：$∠ ACH+∠ BCH + ∠ DCB+∠ BCH=180°$，
整理得：$(∠ ACH+∠ BCH+∠ DCB)+∠ BCH=180°$，
其中$∠ ACH+∠ BCH+∠ DCB=∠ ACD$，因此$∠ ACD+∠ BCH=180°$。
(2) 因为$∠ CAB=∠ EAF=60°$，
$∠ CAF=∠ CAE+∠ EAF$，$∠ EAB=∠ CAB-∠ CAE$，
两式相加得：$∠ CAF+∠ EAB=(∠ CAE+∠ EAF)+(∠ CAB-∠ CAE)=∠ EAF+∠ CAB=60°+60°=120°$。
【答案】
(1)①$\boxed{144}$，$\boxed{46}$；②$\boxed{∠ACD+∠BCH=180°}$；(2)$\boxed{∠CAF+∠EAB=120°}$
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 直角的性质
3. 三角尺角度特征
【点评】
本题以三角尺叠放为背景，考查角度的计算与数量关系推导，解题的关键是准确拆分、组合叠放后形成的角，结合三角尺的特殊角度进行运算，是角的运算部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

18. (2025和田地区期末)【问题驱动】已知O是直线AB上的一点，$∠ COD=90°$，OE平分$∠ BOC$.
(1)如图61-G-17①，若$∠ AOC=48°$，求$∠ DOE$的度数；
(2)如图①，若$∠ AOC=α$，则$∠ DOE$的度数为(用含有$α$的式子表示)，不必说明理由；
【拓广探索】
(3)将图①中的$∠ DOC$绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，试探究$∠ DOE$和$∠ AOC$度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
(4)将图①中的$∠ DOC$绕顶点O逆时针旋转至图③的位置，其他条件不变，若$∠ AOC=α$，则$∠ DOE$的度数为(用含有$α$的式子表示)，不必说明理由.

图61-G-17

18. 解:(1)因为$∠AOC=48°$,
所以$∠BOC=180°-∠AOC=180°-48°=132°$。
因为OE平分$∠BOC$,
所以$∠COE=∠BOE=\frac{1}{2}∠BOC=66°$。
因为$∠COD=90°$,
所以$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-66°=24°$。
(2)$\frac{α}{2}$
(3)$∠AOC=2∠DOE$。
理由如下:设$∠BOE=β$.因为OE平分$∠BOC$,
所以$∠COE=∠BOE=β$,$∠BOC=2β$,$∠AOC=180°-2β$。
因为$∠COD=90°$,所以$∠DOE=90°-β$,
所以$∠AOC=2∠DOE$。
(4)$180°-\frac{α}{2}$

【分析】
(1) 先利用直线上平角为180°的性质，由已知∠AOC求出∠BOC；再结合角平分线的定义求出∠COE的度数；最后根据∠COD=90°，通过角的差计算∠DOE的度数。
(2) 将(1)中∠AOC的具体度数替换为α，沿用(1)的推导逻辑，即可得到用α表示的∠DOE表达式。
(3) 旋转后角的数量关系推导：先利用角平分线性质表示出∠BOC，再结合平角定义表示出∠AOC；同时结合∠COD=90°表示出∠DOE，对比两个表达式即可得到二者的数量关系。
(4) 旋转到图③位置时，先通过平角定义和角平分线性质求出∠COE的表达式，再结合∠COD=90°，通过角的和计算即可得到∠DOE与α的关系。
【解析】
(1) 因为O是直线AB上的点，∠AOC=48°，
所以$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-48°=132°$。
因为OE平分$∠ BOC$，
所以$∠ COE=∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×132°=66°$。
又因为$∠ COD=90°$，
所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-66°=24°$。
(2) 若$∠ AOC=α$，同理可得$∠ BOC=180°-α$，
$∠ COE=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{α}{2}$，
则$∠ DOE=90°-(90°-\frac{α}{2})=\frac{α}{2}$。
(3) 结论：$∠ AOC=2∠ DOE$，理由如下：
设$∠ BOE=β$，因为OE平分$∠ BOC$，
所以$∠ COE=∠ BOE=β$，$∠ BOC=2β$，
所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-2β$。
因为$∠ COD=90°$，所以$∠ DOE=90°-∠ COE=90°-β$，
因此$2∠ DOE=180°-2β$，即$∠ AOC=2∠ DOE$。
(4) 当$∠ DOC$旋转到图③位置时，$∠ BOC=180°-α$，
因为OE平分$∠ BOC$，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=90°-\frac{α}{2}$，
又因为$∠ COD=90°$，所以$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=90°+90°-\frac{α}{2}=180°-\frac{α}{2}$。
【答案】
(1) $24°$；(2) $\frac{α}{2}$；(3) $\boldsymbol{∠ AOC=2∠ DOE}$；(4) $\boldsymbol{180°-\frac{α}{2}}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题以角的旋转为背景，综合考查了平角、直角的性质和角平分线的定义，通过从特殊到一般的推导，考查角的和差运算能力与动态几何问题中不变量的分析能力，解题时需要注意不同旋转位置下角的和差关系，避免计算出错。
【难度系数】
0.6