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6. 如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线,BE平分∠ABC,交AD于点E。若AC= 12,DE= 3,则△ABE的面积是(
A.16
B.18
C.32
D.36
B
)。A.16
B.18
C.32
D.36
答案
B
解析
∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的中线，
∴AD⊥BC，BD=DC，AB=AC=12。
过点E作EF⊥AB于点F。
∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF=DE=3。
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$×AB×EF=$\frac{1}{2}$×12×3=18。
B
7. 已知：如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB= AC,AD= AE。求证：BD= CE。
答案
过点A作AO⊥BC于O。由AB=AC,AD=AE,得BO=CO,DO=EO,所以BD=CE。
解析
证明：过点$A$作$AO \perp BC$于点$O$。
$\because AB = AC$，
$\therefore BO = CO$（等腰三角形底边上的高平分底边）。
$\because AD = AE$，
$\therefore DO = EO$（等腰三角形底边上的高平分底边）。
$\because BO - DO = CO - EO$，
$\therefore BD = CE$。
$\because AB = AC$，
$\therefore BO = CO$（等腰三角形底边上的高平分底边）。
$\because AD = AE$，
$\therefore DO = EO$（等腰三角形底边上的高平分底边）。
$\because BO - DO = CO - EO$，
$\therefore BD = CE$。
8. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。则以下结论：①DE= DF；②AE= AF；③∠BDE= ∠CDF；④AD上任意一点到B,C两点的距离相等。正确的有
①②③④
(填序号),并选择一个正确的结论给出证明。证明略。
答案
①②③④,证明略。
解析
①②③④
证明①：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
证明②：
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∵AD=AD，DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE=AF
证明③：
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，∠B=∠C
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
∵∠BDE=90°-∠B，∠CDF=90°-∠C，∠B=∠C
∴∠BDE=∠CDF
证明④：
设P是AD上任意一点，连接PB，PC
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD是BC的垂直平分线
∵P在AD上
∴PB=PC
证明①：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
证明②：
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∵AD=AD，DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE=AF
证明③：
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，∠B=∠C
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
∵∠BDE=90°-∠B，∠CDF=90°-∠C，∠B=∠C
∴∠BDE=∠CDF
证明④：
设P是AD上任意一点，连接PB，PC
∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD是BC的垂直平分线
∵P在AD上
∴PB=PC
