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11. 某商场一天中售出某品牌运动鞋11双,其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示,这11双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为(
|鞋的尺码/cm|23.5|24|24.5|25|26|
|销售量/双|1|2|2|5|1|
A.25,25
B.24.5,25
C.26,25
D.25,24.5
A
).|鞋的尺码/cm|23.5|24|24.5|25|26|
|销售量/双|1|2|2|5|1|
A.25,25
B.24.5,25
C.26,25
D.25,24.5
答案
【解析】：本题考查众数和中位数的概念。
众数是一组数据中出现次数最多的数据。
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数），或者最中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）。
首先，统计各个尺码鞋的销售量：
$23.5cm$：$1$双，
$24cm$：$2$双，
$24.5cm$：$2$双，
$25cm$：$5$双，
$26cm$：$1$双，
从上面的数据中，可以看出$25cm$的鞋销售量最多，为$5$双，所以众数为$25$。
接下来，为了找到中位数，需要将数据从小到大排序，并确定中间的数。
排序后的数据（以尺码为代表）为：$23.5$，$24$，$24$，$24.5$，$24.5$，$25$，$25$，$25$，$25$，$25$，$26$。
因为有$11$个数据，所以中位数是第6个数据，即$25$。
所以这组数据的众数是$25$，中位数也是$25$。
【答案】：A
众数是一组数据中出现次数最多的数据。
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数），或者最中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）。
首先，统计各个尺码鞋的销售量：
$23.5cm$：$1$双，
$24cm$：$2$双，
$24.5cm$：$2$双，
$25cm$：$5$双，
$26cm$：$1$双，
从上面的数据中，可以看出$25cm$的鞋销售量最多，为$5$双，所以众数为$25$。
接下来，为了找到中位数，需要将数据从小到大排序，并确定中间的数。
排序后的数据（以尺码为代表）为：$23.5$，$24$，$24$，$24.5$，$24.5$，$25$，$25$，$25$，$25$，$25$，$26$。
因为有$11$个数据，所以中位数是第6个数据，即$25$。
所以这组数据的众数是$25$，中位数也是$25$。
【答案】：A
12. 一组数据的方差为$s^2$,将该组数据每一个都乘2,所得到一组新数据的方差是(
A.$\frac{s^2}{2}$
B.$s^2$
C.$2s^2$
D.$4s^2$
D
).A.$\frac{s^2}{2}$
B.$s^2$
C.$2s^2$
D.$4s^2$
答案
【解析】：
本题主要考察方差的性质。
方差是衡量数据波动的一个量，当数据都乘以一个常数时，数据的波动（即方差）会按该常数的平方倍增加。
设原数据为$x_1, x_2, ..., x_n$，其平均数为$\bar{x}$，则原方差$s^2$为：
$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$，
当数据每个都乘以2时，新的数据为$2x_1, 2x_2, ..., 2x_n$，其平均数为$2\bar{x}$。
新数据的方差$s'^2$为：
$s'^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((2x_i) - (2\bar{x}))^2$
$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}4(x_i - \bar{x})^2$
$= 4 × \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
$= 4s^2$
【答案】：
D. $4s^2$。
本题主要考察方差的性质。
方差是衡量数据波动的一个量，当数据都乘以一个常数时，数据的波动（即方差）会按该常数的平方倍增加。
设原数据为$x_1, x_2, ..., x_n$，其平均数为$\bar{x}$，则原方差$s^2$为：
$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$，
当数据每个都乘以2时，新的数据为$2x_1, 2x_2, ..., 2x_n$，其平均数为$2\bar{x}$。
新数据的方差$s'^2$为：
$s'^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((2x_i) - (2\bar{x}))^2$
$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}4(x_i - \bar{x})^2$
$= 4 × \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
$= 4s^2$
【答案】：
D. $4s^2$。
13. 以下各组数据中,众数、中位数、平均数都相等的是(
A.4,9,3,3
B.12,9,9,6
C.9,9,4,4
D.8,8,4,5
B
).A.4,9,3,3
B.12,9,9,6
C.9,9,4,4
D.8,8,4,5
答案
【解析】：
本题考查的是众数、中位数、平均数的计算。
众数是一组数据中出现次数最多的数。
中位数是将一组数据从小到大排序后，位于中间的数。如果数据个数是奇数，则中位数是中间那个数；如果数据个数是偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
平均数是所有数据的和除以数据的个数。
对于选项A：4，9，3，3
众数 = 3（出现2次）
中位数 = (3+4)/2 = 3.5
平均数 = (4+9+3+3)/4 = 4.75
由于众数、中位数、平均数不相等，故A选项错误。
对于选项B：12，9，9，6
众数 = 9（出现2次）
中位数 = (9+9)/2 = 9
平均数 = (12+9+9+6)/4 = 9
由于众数、中位数、平均数都相等，故B选项正确，但由于需要检查所有选项，继续分析。
对于选项C：9，9，4，4
众数有两个，分别是4和9（都出现2次），不唯一。
中位数 = (4+9)/2 = 6.5
平均数 = (9+9+4+4)/4 = 6.5
由于众数不唯一，且与众数、中位数、平均数不完全相等，故C选项错误。
对于选项D：8，8，4，5
众数 = 8（出现2次）
中位数 = (5+8)/2 = 6.5
平均数 = (8+8+4+5)/4 = 6.25
由于众数、中位数、平均数不相等，故D选项错误。
综上所述，只有B选项的众数、中位数、平均数都相等。
【答案】：B
本题考查的是众数、中位数、平均数的计算。
众数是一组数据中出现次数最多的数。
中位数是将一组数据从小到大排序后，位于中间的数。如果数据个数是奇数，则中位数是中间那个数；如果数据个数是偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
平均数是所有数据的和除以数据的个数。
对于选项A：4，9，3，3
众数 = 3（出现2次）
中位数 = (3+4)/2 = 3.5
平均数 = (4+9+3+3)/4 = 4.75
由于众数、中位数、平均数不相等，故A选项错误。
对于选项B：12，9，9，6
众数 = 9（出现2次）
中位数 = (9+9)/2 = 9
平均数 = (12+9+9+6)/4 = 9
由于众数、中位数、平均数都相等，故B选项正确，但由于需要检查所有选项，继续分析。
对于选项C：9，9，4，4
众数有两个，分别是4和9（都出现2次），不唯一。
中位数 = (4+9)/2 = 6.5
平均数 = (9+9+4+4)/4 = 6.5
由于众数不唯一，且与众数、中位数、平均数不完全相等，故C选项错误。
对于选项D：8，8，4，5
众数 = 8（出现2次）
中位数 = (5+8)/2 = 6.5
平均数 = (8+8+4+5)/4 = 6.25
由于众数、中位数、平均数不相等，故D选项错误。
综上所述，只有B选项的众数、中位数、平均数都相等。
【答案】：B
14. 某社区要了解居民用电情况,随机抽查了部分居民在某月中用电情况,其中用电15 kW·h有3户,用电20 kW·h有5户,用电30 kW·h有7户.估计该社区居民当月平均每户用电约为(
A.23.7 kW·h
B.21.6 kW·h
C.20 kW·h
D.5.47 kW·h
A
).A.23.7 kW·h
B.21.6 kW·h
C.20 kW·h
D.5.47 kW·h
答案
【解析】：
本题考察的是加权平均数的计算。需要根据给定的各户用电数据以及对应的户数，计算加权平均数来估计整个社区居民的平均用电量。
首先，确定各户用电的度数和对应的户数：
用电$15kW \cdot h$的有3户，
用电$20kW \cdot h$的有5户，
用电$30kW \cdot h$的有7户。
然后，使用加权平均数的公式进行计算：
加权平均数 $= \frac{(15 × 3) + (20 × 5) + (30 × 7)}{3 + 5 + 7}$。
最后，进行计算并得出结果。
【答案】：
解：加权平均数 $= \frac{(15 × 3) + (20 × 5) + (30 × 7)}{3 + 5 + 7}$
$= \frac{45 + 100 + 210}{15}$
$= \frac{355}{15}$
$\approx 23.7(kW \cdot h)$
所以，估计该社区居民当月平均每户用电约为$23.7kW \cdot h$。
故选A。
本题考察的是加权平均数的计算。需要根据给定的各户用电数据以及对应的户数，计算加权平均数来估计整个社区居民的平均用电量。
首先，确定各户用电的度数和对应的户数：
用电$15kW \cdot h$的有3户，
用电$20kW \cdot h$的有5户，
用电$30kW \cdot h$的有7户。
然后，使用加权平均数的公式进行计算：
加权平均数 $= \frac{(15 × 3) + (20 × 5) + (30 × 7)}{3 + 5 + 7}$。
最后，进行计算并得出结果。
【答案】：
解：加权平均数 $= \frac{(15 × 3) + (20 × 5) + (30 × 7)}{3 + 5 + 7}$
$= \frac{45 + 100 + 210}{15}$
$= \frac{355}{15}$
$\approx 23.7(kW \cdot h)$
所以，估计该社区居民当月平均每户用电约为$23.7kW \cdot h$。
故选A。
15. 超市购进一批大米,大米的标准包装为每袋10 kg,售货员任选6袋进行了称重检验,超过标准质量的记作“+”,不足标准质量的记作“-”,他记录的结果是+0.1,-0.1,0,-0.1,-0.1,+0.2,那么这6袋大米质量(kg)的平均数和极差分别是(
A.0,0.3
B.10.1,0.2
C.10,0.3
D.10.5,0.2
C
).A.0,0.3
B.10.1,0.2
C.10,0.3
D.10.5,0.2
答案
解：
1. 计算每袋大米实际质量：
$10 + 0.1 = 10.1$, $10 - 0.1 = 9.9$, $10 + 0 = 10$, $10 - 0.1 = 9.9$, $10 - 0.1 = 9.9$, $10 + 0.2 = 10.2$
2. 计算平均数：
$平均数 = \frac{10.1 + 9.9 + 10 + 9.9 + 9.9 + 10.2}{6} = \frac{60}{6} = 10$
3. 计算极差：
$极差 = 10.2 - 9.9 = 0.3$
答案：C
1. 计算每袋大米实际质量：
$10 + 0.1 = 10.1$, $10 - 0.1 = 9.9$, $10 + 0 = 10$, $10 - 0.1 = 9.9$, $10 - 0.1 = 9.9$, $10 + 0.2 = 10.2$
2. 计算平均数：
$平均数 = \frac{10.1 + 9.9 + 10 + 9.9 + 9.9 + 10.2}{6} = \frac{60}{6} = 10$
3. 计算极差：
$极差 = 10.2 - 9.9 = 0.3$
答案：C
16. 10名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则有(
A.a＞b＞c
B.b＞c＞a
C.c＞a＞b
D.c＞b＞a
D
).A.a＞b＞c
B.b＞c＞a
C.c＞a＞b
D.c＞b＞a
答案
【解析】：
本题主要考察平均数、中位数和众数的定义及其计算。
平均数：所有数据的和除以数据的个数。
中位数：将数据从小到大排序后，位于中间的数。如果数据个数为奇数，则中位数是中间那个数；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
众数：数据中出现次数最多的数。
首先，我们计算平均数 $a$：
$a = \frac{15 + 17 + 14 + 10 + 15 + 17 + 17 + 16 + 14 + 12}{10} = \frac{147}{10} = 14.7$
接着，我们找出中位数 $b$：
将数据从小到大排序：$10, 12, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 17, 17$
因为有10个数据，所以中位数是中间两个数的平均值：
$b = \frac{15 + 15}{2} = 15$
最后，我们找出众数 $c$：
在这组数据中，数字17出现的次数最多（3次），所以众数 $c = 17$。
综合以上计算，我们得到 $c ＞ b ＞ a$。
【答案】：
D. $c ＞ b ＞ a$
本题主要考察平均数、中位数和众数的定义及其计算。
平均数：所有数据的和除以数据的个数。
中位数：将数据从小到大排序后，位于中间的数。如果数据个数为奇数，则中位数是中间那个数；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
众数：数据中出现次数最多的数。
首先，我们计算平均数 $a$：
$a = \frac{15 + 17 + 14 + 10 + 15 + 17 + 17 + 16 + 14 + 12}{10} = \frac{147}{10} = 14.7$
接着，我们找出中位数 $b$：
将数据从小到大排序：$10, 12, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 17, 17$
因为有10个数据，所以中位数是中间两个数的平均值：
$b = \frac{15 + 15}{2} = 15$
最后，我们找出众数 $c$：
在这组数据中，数字17出现的次数最多（3次），所以众数 $c = 17$。
综合以上计算，我们得到 $c ＞ b ＞ a$。
【答案】：
D. $c ＞ b ＞ a$
17. 已知一组数据$x_1,x_2,…,x_{10}$,其中$x_1,x_2,x_3$的平均数为a;$x_4,x_5,x_6,…,x_{10}$的平均数为b,这组数据的平均数为(
A.$\frac{a+b}{2}$
B.$\frac{3a+7b}{10}$
C.$\frac{7a+3b}{10}$
D.$\frac{a+b}{10}$
B
).A.$\frac{a+b}{2}$
B.$\frac{3a+7b}{10}$
C.$\frac{7a+3b}{10}$
D.$\frac{a+b}{10}$
答案
【解析】：
本题主要考查平均数的计算。
首先，根据平均数的定义，$x_1,x_2,x_3$的平均数为a，即：
$(x_1 + x_2 + x_3) ÷ 3 = a$。
从上式可以推出：
$x_1 + x_2 + x_3 = 3a$。
同样地，$x_4,x_5,x_6,\ldots,x_{10}$的平均数为b，即：
$(x_4 + x_5 + x_6 + \ldots + x_{10}) ÷ 7 = b$。
从上式可以推出：
$x_4 + x_5 + x_6 + \ldots + x_{10} = 7b$。
接下来，要求这组数据$x_1,x_2,\ldots,x_{10}$的平均数。
根据平均数的定义，有：
$平均数 = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{10}}{10}$。
将之前推出的两个等式代入上式，得：
$平均数 = \frac{3a + 7b}{10}$。
【答案】：B. $\frac{3a+7b}{10}$。
本题主要考查平均数的计算。
首先，根据平均数的定义，$x_1,x_2,x_3$的平均数为a，即：
$(x_1 + x_2 + x_3) ÷ 3 = a$。
从上式可以推出：
$x_1 + x_2 + x_3 = 3a$。
同样地，$x_4,x_5,x_6,\ldots,x_{10}$的平均数为b，即：
$(x_4 + x_5 + x_6 + \ldots + x_{10}) ÷ 7 = b$。
从上式可以推出：
$x_4 + x_5 + x_6 + \ldots + x_{10} = 7b$。
接下来，要求这组数据$x_1,x_2,\ldots,x_{10}$的平均数。
根据平均数的定义，有：
$平均数 = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_{10}}{10}$。
将之前推出的两个等式代入上式，得：
$平均数 = \frac{3a + 7b}{10}$。
【答案】：B. $\frac{3a+7b}{10}$。
18. 已知$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数是a,则$3x_1-5,3x_2-8,3x_3-6,3x_4-1$的平均数为(
A.a
B.3a
C.3a-5
D.3a-20
C
).A.a
B.3a
C.3a-5
D.3a-20
答案
解：由题意得，$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} = a$，则$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4a$。
新数据的总和为：
$\begin{aligned}&(3x_1 - 5) + (3x_2 - 8) + (3x_3 - 6) + (3x_4 - 1)\\=&3(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) - (5 + 8 + 6 + 1)\\=&3×4a - 20\\=&12a - 20\end{aligned}$
新数据的平均数为：$\frac{12a - 20}{4} = 3a - 5$。
答案：C
新数据的总和为：
$\begin{aligned}&(3x_1 - 5) + (3x_2 - 8) + (3x_3 - 6) + (3x_4 - 1)\\=&3(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) - (5 + 8 + 6 + 1)\\=&3×4a - 20\\=&12a - 20\end{aligned}$
新数据的平均数为：$\frac{12a - 20}{4} = 3a - 5$。
答案：C
19. 用计算器求下面一组数据的平均数和方差(结果保留到0.001)：158,176,134,165,171,159,144,161,166,159,148,155,152,148.
答案
解：平均数：$\frac{158 + 176 + 134 + 165 + 171 + 159 + 144 + 161 + 166 + 159 + 148 + 155 + 152 + 148}{14}$，用计算器计算得$\approx 157.857$
方差：先计算各数据与平均数的差的平方：
$(158 - 157.857)^2 \approx 0.020$，$(176 - 157.857)^2 \approx 329.168$，$(134 - 157.857)^2 \approx 569.162$，$(165 - 157.857)^2 \approx 51.022$，$(171 - 157.857)^2 \approx 172.732$，$(159 - 157.857)^2 \approx 1.306$，$(144 - 157.857)^2 \approx 191.920$，$(161 - 157.857)^2 \approx 9.878$，$(166 - 157.857)^2 \approx 66.308$，$(159 - 157.857)^2 \approx 1.306$，$(148 - 157.857)^2 \approx 97.158$，$(155 - 157.857)^2 \approx 8.163$，$(152 - 157.857)^2 \approx 34.302$，$(148 - 157.857)^2 \approx 97.158$
这些平方差的平均数为：$\frac{0.020 + 329.168 + 569.162 + 51.022 + 172.732 + 1.306 + 191.920 + 9.878 + 66.308 + 1.306 + 97.158 + 8.163 + 34.302 + 97.158}{14}$，用计算器计算得$\approx 126.327$
答：平均数约为$157.857$，方差约为$126.327$
方差：先计算各数据与平均数的差的平方：
$(158 - 157.857)^2 \approx 0.020$，$(176 - 157.857)^2 \approx 329.168$，$(134 - 157.857)^2 \approx 569.162$，$(165 - 157.857)^2 \approx 51.022$，$(171 - 157.857)^2 \approx 172.732$，$(159 - 157.857)^2 \approx 1.306$，$(144 - 157.857)^2 \approx 191.920$，$(161 - 157.857)^2 \approx 9.878$，$(166 - 157.857)^2 \approx 66.308$，$(159 - 157.857)^2 \approx 1.306$，$(148 - 157.857)^2 \approx 97.158$，$(155 - 157.857)^2 \approx 8.163$，$(152 - 157.857)^2 \approx 34.302$，$(148 - 157.857)^2 \approx 97.158$
这些平方差的平均数为：$\frac{0.020 + 329.168 + 569.162 + 51.022 + 172.732 + 1.306 + 191.920 + 9.878 + 66.308 + 1.306 + 97.158 + 8.163 + 34.302 + 97.158}{14}$，用计算器计算得$\approx 126.327$
答：平均数约为$157.857$，方差约为$126.327$
