例 2 两个城镇 $ A $,$ B $ 与两条公路 $ l_{1} $,$ l_{2} $ 的位置如图所示,电信部门需在 $ C $ 处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇 $ A $,$ B $ 的距离必须相等,到两条公路 $ l_{1} $,$ l_{2} $ 的距离也必须相等,发射塔 $ C $ 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点 $ C $ 的位置。(保留作图痕迹,不要求写出画法)


[解答] 根据题意知点 $ C $ 应满足两个条件：一是在线段 $ AB $ 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上,所以点 $ C $ 应是它们的交点。
(1)作两条公路夹角的平分线 $ OD $,$ OE $。
(2)连接 $ AB $,作线段 $ AB $ 的垂直平分线 $ FG $,则射线 $ OD $,$ OE $ 与直线 $ FG $ 的交点 $ C_{1} $,$ C_{2} $ 就是所求的位置。

符合条件的点为 $ C_1 $ 和 $ C_2 $。

根据题意，作图步骤如下：
(1) 作角平分线：
作两条公路 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 夹角的平分线 $ OD $ 和 $ OE $（即内角和外角平分线）。
(2) 作垂直平分线：
连接城镇 $ A $ 和 $ B $，作线段 $ AB $ 的垂直平分线 $ FG $。
(3) 确定交点：
射线 $ OD $ 和 $ OE $ 分别与直线 $ FG $ 的交点 $ C_1 $ 和 $ C_2 $，即为符合条件的点。
最终

1. 如图,$ OP $ 为 $ \angle AOB $ 的平分线,$ PC \perp OA $,$ PD \perp OB $,垂足分别是点 $ C $,$ D $,则下列结论错误的是()。

A.$ PC = PD $
B.$ \angle CPO = \angle DOP $
C.$ \angle CPO = \angle DPO $
D.$ OC = OD $

B

解：
∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD（角平分线性质），∠OCP=∠ODP=90°，
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
$\left\{\begin{array}{l} OP=OP \\ PC=PD \end{array}\right.$，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，
故A、C、D正确，B错误。
答案：B

2. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线,交 $ AC $ 于点 $ D $。若 $ CD = 3 $,$ \triangle ABD $ 的面积为 $ 12 $,则 $ AB = $()。

A.$ 2 $
B.$ 4 $
C.$ 8 $
D.$ 18 $

C

解：过点$D$作$DE \perp AB$于点$E$。
因为$BD$是$\angle ABC$的平分线，$\angle C = 90^{\circ}$，$DE \perp AB$，所以$DE = CD = 3$。
因为$\triangle ABD$的面积为$12$，所以$\frac{1}{2} × AB × DE = 12$，即$\frac{1}{2} × AB × 3 = 12$，解得$AB = 8$。
C