8. 如图,$A是\angle MON$内的任意一点,在$\angle MON的两边OM$,$ON上各求一点B$,$C$,组成$\triangle ABC$,使$\triangle ABC$的周长最小。

作$A$点关于$OM$的对称点$A^{\prime}$，作$A$点关于$ON$的对称点$A^{\prime\prime}$，连接$A^{\prime}A^{\prime\prime}$，交$OM$于$B$，交$ON$于$C$，则点$B$、$C$即为所求。
证明：由对称性可知$AB = A^{\prime}B$，$AC = A^{\prime\prime}C$，
所以$\triangle ABC$的周长$L = AB + BC + AC = A^{\prime}B + BC + A^{\prime\prime}C = A^{\prime}A^{\prime\prime}$。
根据两点之间线段最短可知，此时$\triangle ABC$的周长最小。

9. 如图(1),在一条公路的两旁各有一个村庄,假设公路宽度忽略不计,想在公路旁边修一公共汽车站,怎样选址可使车站到两个村庄的距离之和最短？为什么？
如图(2),如果这两个村庄在公路的同一侧,其他条件不计,车站又应该选在何处？说明理由。

解：在题图
(1)中，连接AB交直线m于点P，点P就是所要求作的车站的位置。在题图
(2)中，作点A关于直线m的对称点A'，连接A'B，交直线m于点P'，点P'就是所要求作的车站的位置。理由略。

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 120^{\circ}$,$BC = 6\mathrm{cm}$,$AB的垂直平分线交BC$于点,交$AB于点E$,$AC的垂直平分线交BC于点N$,交$AC于点F$,求$MN$的长。

2 cm

解：连接AM、AN。
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°。
∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，
∴AM=BM，AN=CN，∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°。
∴∠MAN=∠BAC-∠MAB-∠NAC=60°。
∵∠AMB=180°-∠B-∠MAB=120°，
∴∠AMN=180°-∠AMB=60°，同理∠ANM=60°。
∴△AMN是等边三角形，AM=AN=MN。
设ME=x，则BM=AM=2x，BE=√3 x，AB=2√3 x。
过A作AD⊥BC于D，∠BAD=60°，BD=3 cm，
AB=BD/cos30°=2√3 cm，
∴2√3 x=2√3，x=1，BM=2x=2 cm。
同理CN=2 cm，
∴MN=BC-BM-CN=6-2-2=2 cm。
答：MN的长为2 cm。

例 1 如图所示,点 $ P $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线 $ AD $ 上一点,$ PE \perp AC $ 于点 $ E $。已知 $ PE = 3 $,则点 $ P $ 到 $ AB $ 的距离是______。
[解答] 如图所示,过点 $ P $ 作 $ PF \perp AB $ 于点 $ F $,则 $ PF $ 的长即为点 $ P $ 到 $ AB $ 的距离。
因为点 $ P $ 在 $ \angle BAC $ 的平分线上,$ PE \perp AC $ 于点 $ E $,
所以 $ PE = PF $,所以 $ PF = 3 $。故答案为 $ 3 $。

3

过点P作PF⊥AB于点F，则PF的长为点P到AB的距离。因为点P在∠BAC的平分线上，PE⊥AC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以PE=PF。已知PE=3，故PF=3。