3. 如图,已知 $ \angle AOB $,按照以下步骤作图：
① 以点 $ O $ 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交 $ \angle AOB $ 的两边于 $ C $,$ D $ 两点,连接 $ CD $。
② 分别以点 $ C $,$ D $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}CD $ 的长为半径作弧,两弧在 $ \angle AOB $ 内交于点 $ E $,连接 $ CE $,$ DE $。
③ 连接 $ OE $,交 $ CD $ 于点 $ M $。
下列结论中错误的是()。

A.$ \angle CEO = \angle DEO $
B.$ CM = MD $
C.$ \angle OCD = \angle ECD $
D.$ S_{四边形OCED} = \frac{1}{2}CD \cdot OE $

C

证明：由作图步骤可知，OE是∠AOB的平分线，CD是OA、OB上的等长线段，CE=DE。
在△COE和△DOE中，OC=OD，∠COE=∠DOE，OE=OE，
∴△COE≌△DOE(SAS)，
∴∠CEO=∠DEO，A正确。
∵OC=OD，OE平分∠AOB，
∴OE垂直平分CD（等腰三角形三线合一），
∴CM=MD，B正确。
S_{四边形OCED}=S_△OCD+S_△ECD=$\frac{1}{2}CD\cdot OM+\frac{1}{2}CD\cdot ME=\frac{1}{2}CD(OM+ME)=\frac{1}{2}CD\cdot OE$，D正确。
无法证明∠OCD=∠ECD，C错误。
结论：错误的是C。

4. 如图,$ AB // CD $,$ BP $ 和 $ CP $ 分别平分 $ \angle ABC $ 和 $ \angle DCB $,$ AD $ 过点 $ P $,且与 $ AB $ 垂直。若 $ AD = 8 $,则点 $ P $ 到 $ BC $ 的距离是()。

A.$ 8 $
B.$ 6 $
C.$ 4 $
D.$ 2 $

C

证明：过点 $ P $ 作 $ PE \perp BC $ 于点 $ E $。
因为 $ AB // CD $，$ AD \perp AB $，所以 $ AD \perp CD $，即 $ PA \perp AB $，$ PD \perp CD $。
因为 $ BP $ 平分 $ \angle ABC $，$ PA \perp AB $，$ PE \perp BC $，所以 $ PA = PE $。
因为 $ CP $ 平分 $ \angle DCB $，$ PD \perp CD $，$ PE \perp BC $，所以 $ PD = PE $。
所以 $ PA = PD = PE $。
因为 $ AD = PA + PD = 8 $，所以 $ PA = PD = 4 $，则 $ PE = 4 $。
即点 $ P $ 到 $ BC $ 的距离是 $ 4 $。
答案：C

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是它的角平分线,$ AB = 4 $,$ AC = 3 $,则 $ \triangle ABD $ 与 $ \triangle ACD $ 的面积比是。

4:3

证明：过点$D$作$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$DE = DF$。
$\triangle ABD$的面积为$\frac{1}{2} × AB × DE$，$\triangle ACD$的面积为$\frac{1}{2} × AC × DF$。
则$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{\frac{1}{2} × AB × DE}{\frac{1}{2} × AC × DF} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{3}$。
4:3

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle BAC $ 的平分线 $ AD $ 与 $ BC $ 相交于点 $ D $。
(1)如果 $ BC = 10 $,$ BD = 6 $,求点 $ D $ 到 $ AB $ 的距离。
(2)如果 $ \angle B = 30^{\circ} $,$ AD $ 与 $ BD $ 相等吗？说明你的理由。

（1）4 （2）AD=BD。理由略。

（1）解：
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC-BD=10-6=4。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴点D到AB的距离等于CD=4。
（2）AD=BD。理由如下：
解：
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°。
∵∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD。

7. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AB = CD $,$ BA $ 和 $ CD $ 的延长线交于点 $ E $。若点 $ P $ 使得 $ S_{\triangle PAB} = S_{\triangle PCD} $,则满足此条件的点 $ P $()。

A.有且只有 $ 1 $ 个
B.有且只有 $ 2 $ 个
C.组成 $ \angle E $ 的平分线
D.组成 $ \angle E $ 的平分线所在的直线($ E $ 点除外)

D

证明：设点$P$到$EA$的距离为$h_1$，到$ED$的距离为$h_2$。
因为$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PCD}$，$AB = CD$，
所以$\frac{1}{2}AB \cdot h_1=\frac{1}{2}CD \cdot h_2$，即$h_1 = h_2$。
在$\angle E$的内部，到两边距离相等的点在$\angle E$的平分线上；
在$\angle E$的外部，到两边距离相等的点在$\angle E$外角的平分线上，
综上，满足条件的点$P$组成$\angle E$的平分线所在的直线（$E$点除外）。
D