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1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c. 已知a=6，b=8，c=10，则cosA的值为
(
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$
(
C
)A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
1.C
解析
在△ABC中，a=6，b=8，c=10。
因为$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = c^2$，所以△ABC是直角三角形，∠C=90°。
根据余弦定义，$\cos A = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
答案：C
因为$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = c^2$，所以△ABC是直角三角形，∠C=90°。
根据余弦定义，$\cos A = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
答案：C
2. (2023·益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0,1)，B(4,1)，C(5,6)，则sin∠BAC=
(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{13}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
(
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{13}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
2.C
解析
解：已知点$A(0,1)$，$B(4,1)$，$C(5,6)$。
计算向量$\overrightarrow{AB}=(4-0,1-1)=(4,0)$，$\overrightarrow{AC}=(5-0,6-1)=(5,5)$。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2 + 0^2}=4$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5^2 + 5^2}=5\sqrt{2}$。
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=4×5 + 0×5=20$。
$\cos∠ BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{20}{4×5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$∠ BAC$为三角形内角，所以$∠ BAC=45°$，则$\sin∠ BAC=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案：C
计算向量$\overrightarrow{AB}=(4-0,1-1)=(4,0)$，$\overrightarrow{AC}=(5-0,6-1)=(5,5)$。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2 + 0^2}=4$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5^2 + 5^2}=5\sqrt{2}$。
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=4×5 + 0×5=20$。
$\cos∠ BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{20}{4×5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$∠ BAC$为三角形内角，所以$∠ BAC=45°$，则$\sin∠ BAC=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案：C
3. 在△ABC中，∠ABC=90°. 若AC=100，sinA=$\frac{3}{5}$，则AB的长是
(
A.$\frac{500}{3}$
B.$\frac{503}{5}$
C.60
D.80
(
D
)A.$\frac{500}{3}$
B.$\frac{503}{5}$
C.60
D.80
答案
3.D
解析
在△ABC中，∠ABC=90°，AC=100，sinA=$\frac{3}{5}$。
因为sinA=$\frac{BC}{AC}$，所以$\frac{BC}{100}=\frac{3}{5}$，解得BC=60。
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{100^2 - 60^2}=\sqrt{10000 - 3600}=\sqrt{6400}=80$。
D
因为sinA=$\frac{BC}{AC}$，所以$\frac{BC}{100}=\frac{3}{5}$，解得BC=60。
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{100^2 - 60^2}=\sqrt{10000 - 3600}=\sqrt{6400}=80$。
D
4. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，底边BC=6，则底角的余弦值为
$\frac{3}{5}$
.答案
4.$\frac{3}{5}$
解析
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
因为$AB = AC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，$AD$平分$BC$，则$BD=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3$。
在$Rt△ ABD$中，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$。
故底角的余弦值为$\frac{3}{5}$。
因为$AB = AC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，$AD$平分$BC$，则$BD=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3$。
在$Rt△ ABD$中，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$。
故底角的余弦值为$\frac{3}{5}$。
5. （2024·浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10，AD=6，tan∠ACB=1.
求：(1)BC的长；
(2)sin∠DAE的值.
求：(1)BC的长；
(2)sin∠DAE的值.
答案
5.解:(1)
∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∴BD=$\sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
∵tan∠ACB=1,
∴CD=AD=6,
∴BC=BD+CD=8+6=14.
(2)
∵AE是BC边上的中线,
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=7,
∴DE=CE−CD=7−6=1.
∵AD⊥BC,
∴AE=$\sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$,
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$.
∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∴BD=$\sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
∵tan∠ACB=1,
∴CD=AD=6,
∴BC=BD+CD=8+6=14.
(2)
∵AE是BC边上的中线,
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=7,
∴DE=CE−CD=7−6=1.
∵AD⊥BC,
∴AE=$\sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$,
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$.
6. 如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为
(
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
(
D
)A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
6.D
解析
解：设直角三角形的较短直角边为$a$，较长直角边为$b$。
大正方形面积为25，则其边长为$\sqrt{25}=5$，即$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$。
小正方形面积为1，则其边长为$\sqrt{1}=1$，又小正方形边长为$b - a$，故$b - a = 1$。
联立方程：$\begin{cases}a^2 + b^2 = 25 \\ b = a + 1\end{cases}$，代入得$a^2 + (a + 1)^2 = 25$，展开得$2a^2 + 2a - 24 = 0$，即$a^2 + a - 12 = 0$，解得$a = 3$（$a = -4$舍去），则$b = 4$。
$\cosα = \frac{b}{\mathrm{斜边}} = \frac{4}{5}$。
答案：D
大正方形面积为25，则其边长为$\sqrt{25}=5$，即$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$。
小正方形面积为1，则其边长为$\sqrt{1}=1$，又小正方形边长为$b - a$，故$b - a = 1$。
联立方程：$\begin{cases}a^2 + b^2 = 25 \\ b = a + 1\end{cases}$，代入得$a^2 + (a + 1)^2 = 25$，展开得$2a^2 + 2a - 24 = 0$，即$a^2 + a - 12 = 0$，解得$a = 3$（$a = -4$舍去），则$b = 4$。
$\cosα = \frac{b}{\mathrm{斜边}} = \frac{4}{5}$。
答案：D
