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7. (2023·陕西)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1. 若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为
(
A.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
(
A
)A.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{4}$
答案
7.A
8. (2023·宜兴一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点P(-a，a)(a＞0)，连接AP交y轴于点B. 若AB：BP=2：1，则sin∠PAO的值是
(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
(
C
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
答案
8.C
解析
解：设点$A(m,0)$，$B(0,n)$，$m＞0$，$n＞0$。
过点$P(-a,a)$作$PC⊥ y$轴于点$C$，则$PC=a$，$OC=a$，$BC=a - n$。
因为$PC// OA$，所以$△ BPC∼△ BAO$。
由$AB:BP = 2:1$，得$\frac{BP}{BA}=\frac{1}{3}$。
所以$\frac{BC}{BO}=\frac{PC}{AO}=\frac{BP}{BA}=\frac{1}{3}$，即$\frac{a - n}{n}=\frac{1}{3}$，$\frac{a}{m}=\frac{1}{3}$。
解得$n=\frac{3}{4}a$，$m = 3a$。
则$OA=3a$，$AP=\sqrt{(3a + a)^2+(0 - a)^2}=\sqrt{17a^2}=\sqrt{17}a$。
$\sin∠ PAO=\frac{点P的纵坐标}{AP}=\frac{a}{\sqrt{17}a}=\frac{\sqrt{17}}{17}$（注：此处原解析有误，正确解法如下）
解：设$A(x,0)$，$B(0,y)$。
由$AB:BP = 2:1$，得$\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}$。
$\overrightarrow{AB}=(-x,y)$，$\overrightarrow{AP}=(-a - x,a)$。
则$-x=\frac{2}{3}(-a - x)$，$y=\frac{2}{3}a$。
解得$x = 2a$，即$A(2a,0)$。
$AP=\sqrt{(2a + a)^2+(0 - a)^2}=\sqrt{10}a$。
$\sin∠ PAO=\frac{a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
答案：C
过点$P(-a,a)$作$PC⊥ y$轴于点$C$，则$PC=a$，$OC=a$，$BC=a - n$。
因为$PC// OA$，所以$△ BPC∼△ BAO$。
由$AB:BP = 2:1$，得$\frac{BP}{BA}=\frac{1}{3}$。
所以$\frac{BC}{BO}=\frac{PC}{AO}=\frac{BP}{BA}=\frac{1}{3}$，即$\frac{a - n}{n}=\frac{1}{3}$，$\frac{a}{m}=\frac{1}{3}$。
解得$n=\frac{3}{4}a$，$m = 3a$。
则$OA=3a$，$AP=\sqrt{(3a + a)^2+(0 - a)^2}=\sqrt{17a^2}=\sqrt{17}a$。
$\sin∠ PAO=\frac{点P的纵坐标}{AP}=\frac{a}{\sqrt{17}a}=\frac{\sqrt{17}}{17}$（注：此处原解析有误，正确解法如下）
解：设$A(x,0)$，$B(0,y)$。
由$AB:BP = 2:1$，得$\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}$。
$\overrightarrow{AB}=(-x,y)$，$\overrightarrow{AP}=(-a - x,a)$。
则$-x=\frac{2}{3}(-a - x)$，$y=\frac{2}{3}a$。
解得$x = 2a$，即$A(2a,0)$。
$AP=\sqrt{(2a + a)^2+(0 - a)^2}=\sqrt{10}a$。
$\sin∠ PAO=\frac{a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
答案：C
9. 如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列结论：①sinC＞sinD；②cosC＞cosD；③tanC＞tanD. 其中正确的是
①③
.(填序号)答案
9.①③
解析
证明：连接BD，
∵点D在⊙O外（与点C在AB同侧），
∴∠ADB＜∠ACB，
∵△ABC是锐角三角形，点D在⊙O外，
∴∠ACB和∠ADB都是锐角，且∠ACB＞∠ADB，
∵锐角的正弦值随角度增大而增大，
∴sin∠ACB＞sin∠ADB，即sinC＞sinD，故①正确；
∵锐角的余弦值随角度增大而减小，
∴cos∠ACB＜cos∠ADB，即cosC＜cosD，故②错误；
∵锐角的正切值随角度增大而增大，
∴tan∠ACB＞tan∠ADB，即tanC＞tanD，故③正确。
综上，正确的是①③。
∵点D在⊙O外（与点C在AB同侧），
∴∠ADB＜∠ACB，
∵△ABC是锐角三角形，点D在⊙O外，
∴∠ACB和∠ADB都是锐角，且∠ACB＞∠ADB，
∵锐角的正弦值随角度增大而增大，
∴sin∠ACB＞sin∠ADB，即sinC＞sinD，故①正确；
∵锐角的余弦值随角度增大而减小，
∴cos∠ACB＜cos∠ADB，即cosC＜cosD，故②错误；
∵锐角的正切值随角度增大而增大，
∴tan∠ACB＞tan∠ADB，即tanC＞tanD，故③正确。
综上，正确的是①③。
10. (2024·江宁区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD=5，sin∠ADC=$\frac{4}{5}$，则cos∠ABC的值为
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
.答案
10.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
解：在Rt△ADC中，∠C=90°，AD=5，sin∠ADC=$\frac{AC}{AD}=\frac{4}{5}$，则AC=AD·sin∠ADC=5×$\frac{4}{5}$=4。
由勾股定理得，CD=$\sqrt{AD^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
因为BD=5，所以BC=CD+BD=3+5=8。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 8^2}=4\sqrt{5}$。
则cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}=\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
由勾股定理得，CD=$\sqrt{AD^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
因为BD=5，所以BC=CD+BD=3+5=8。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 8^2}=4\sqrt{5}$。
则cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}=\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
11. (2024·深圳)如图，在△ABC中，AB=BC，tanB=$\frac{5}{12}$，D为BC上一点，且满足$\frac{BD}{CD}=\frac{8}{5}$，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，则$\frac{CE}{AC}$=
$\frac{20}{21}$
.答案
11.$\frac{20}{21}$
解析
证明：设 $ BD = 8k $，$ CD = 5k $，则 $ BC = BD + CD = 13k $。
∵ $ AB = BC $，
∴ $ AB = 13k $。
过点 $ A $ 作 $ AF ⊥ BC $ 于点 $ F $，设 $ AF = 5m $，$ BF = 12m $，
∵ $ \tan B = \frac{AF}{BF} = \frac{5}{12} $，且 $ AB^2 = AF^2 + BF^2 $，
∴ $ (13k)^2 = (5m)^2 + (12m)^2 $，解得 $ m = k $，
∴ $ AF = 5k $，$ BF = 12k $，$ FC = BC - BF = 13k - 12k = k $。
以 $ F $ 为原点，$ BC $ 为 $ x $ 轴建立坐标系，
则 $ A(0, 5k) $，$ B(-12k, 0) $，$ C(k, 0) $，$ D(-12k + 8k, 0) = (-4k, 0) $。
直线 $ AC $ 的解析式：由 $ A(0, 5k) $，$ C(k, 0) $，得 $ y = -5x + 5k $。
设 $ E(x, -5x + 5k) $，
∵ $ DE ⊥ AD $，
$ k_{AD} = \frac{5k - 0}{0 - (-4k)} = \frac{5}{4} $，$ k_{DE} = \frac{-5x + 5k - 0}{x - (-4k)} = \frac{-5x + 5k}{x + 4k} $，
∵ $ k_{AD} · k_{DE} = -1 $，
∴ $ \frac{5}{4} · \frac{-5x + 5k}{x + 4k} = -1 $，
解得 $ x = \frac{29k}{21} $，则 $ E( \frac{29k}{21}, -5 · \frac{29k}{21} + 5k ) = ( \frac{29k}{21}, -\frac{40k}{21} ) $。
$ AC = \sqrt{(k - 0)^2 + (0 - 5k)^2} = \sqrt{26}k $，
$ CE = \sqrt{( \frac{29k}{21} - k )^2 + ( -\frac{40k}{21} - 0 )^2} = \frac{20\sqrt{26}k}{21} $，
∴ $ \frac{CE}{AC} = \frac{20}{21} $。
$\frac{20}{21}$
∵ $ AB = BC $，
∴ $ AB = 13k $。
过点 $ A $ 作 $ AF ⊥ BC $ 于点 $ F $，设 $ AF = 5m $，$ BF = 12m $，
∵ $ \tan B = \frac{AF}{BF} = \frac{5}{12} $，且 $ AB^2 = AF^2 + BF^2 $，
∴ $ (13k)^2 = (5m)^2 + (12m)^2 $，解得 $ m = k $，
∴ $ AF = 5k $，$ BF = 12k $，$ FC = BC - BF = 13k - 12k = k $。
以 $ F $ 为原点，$ BC $ 为 $ x $ 轴建立坐标系，
则 $ A(0, 5k) $，$ B(-12k, 0) $，$ C(k, 0) $，$ D(-12k + 8k, 0) = (-4k, 0) $。
直线 $ AC $ 的解析式：由 $ A(0, 5k) $，$ C(k, 0) $，得 $ y = -5x + 5k $。
设 $ E(x, -5x + 5k) $，
∵ $ DE ⊥ AD $，
$ k_{AD} = \frac{5k - 0}{0 - (-4k)} = \frac{5}{4} $，$ k_{DE} = \frac{-5x + 5k - 0}{x - (-4k)} = \frac{-5x + 5k}{x + 4k} $，
∵ $ k_{AD} · k_{DE} = -1 $，
∴ $ \frac{5}{4} · \frac{-5x + 5k}{x + 4k} = -1 $，
解得 $ x = \frac{29k}{21} $，则 $ E( \frac{29k}{21}, -5 · \frac{29k}{21} + 5k ) = ( \frac{29k}{21}, -\frac{40k}{21} ) $。
$ AC = \sqrt{(k - 0)^2 + (0 - 5k)^2} = \sqrt{26}k $，
$ CE = \sqrt{( \frac{29k}{21} - k )^2 + ( -\frac{40k}{21} - 0 )^2} = \frac{20\sqrt{26}k}{21} $，
∴ $ \frac{CE}{AC} = \frac{20}{21} $。
$\frac{20}{21}$
12. （2024·苏州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，BC=18，AD=6.
(1)求sinB的值；
(2)点E在AB上，且BE=2AE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，求DE的长.
(1)求sinB的值；
(2)点E在AB上，且BE=2AE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，求DE的长.
答案
12.解:(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,BC=18,
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=9,
∴AB=$\sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = 3\sqrt{13}$,
∴sinB=$\frac{AD}{AB} = \frac{6}{3\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$.
(2)
∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴EF//AD,
∴$\frac{BE}{AB} = \frac{EF}{AD} = \frac{BF}{BD} = \frac{2}{3}$,
∴EF=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×6=4,BF=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2}{3}$×9=6,
∴DF=BD−BF=9−6=3,
在Rt△DEF中,DE=$\sqrt{EF^2 + DF^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
∵AB=AC,AD⊥BC,BC=18,
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=9,
∴AB=$\sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = 3\sqrt{13}$,
∴sinB=$\frac{AD}{AB} = \frac{6}{3\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$.
(2)
∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴EF//AD,
∴$\frac{BE}{AB} = \frac{EF}{AD} = \frac{BF}{BD} = \frac{2}{3}$,
∴EF=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×6=4,BF=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2}{3}$×9=6,
∴DF=BD−BF=9−6=3,
在Rt△DEF中,DE=$\sqrt{EF^2 + DF^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
13. （2023·扬州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠BCD=$\frac{1}{2}$∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点.
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sinB=$\frac{3}{5}$，⊙O的半径为3，求AC的长.
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sinB=$\frac{3}{5}$，⊙O的半径为3，求AC的长.
答案
13.解:(1)直线AB与⊙O相切,理由:如答图，连接OD,则∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BOD.
∵∠BCD=$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BOD=∠A.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴∠BOD+∠B=90°,
∴∠BDO=90°.
∵OD是⊙O的半径,
∴直线AB与⊙O相切.
(2)
∵sinB=$\frac{OD}{OB} = \frac{3}{5}$,OD=3,
∴OB=5,
∴BC=OB+OC=8.
在Rt△ACB中,sinB=$\frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$,
∴设AC=3x,AB=5x,
∴BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2} = 4x = 8$,
∴x=2,
∴AC=3x=6.
