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1. 一般地，我们有$a^m ÷ a^n =$$(a≠0，m，n都是正整数，m＞n)$. 即同底数幂相除，底数不变，指数.
答案
1. $a^{m-n}$；相减
解析
【分析】
本题考查同底数幂除法法则的理解与应用，我们可以结合幂的含义推导规则：$a^m$是m个a相乘的积，$a^n$是n个a相乘的积，由于$a≠0$，二者相除时可以约掉n个a，剩余$m-n$个a相乘，结果就是$a^{m-n}$，由此就能总结出同底数幂的除法运算规律。
【解析】
根据同底数幂的除法运算规定：当$a≠0$，m、n都是正整数且$m＞n$时，同底数幂相除，底数保持不变，指数用被除数的指数减去除数的指数，因此$a^m÷ a^n = a^{m-n}$，对应的法则描述为指数相减。
【答案】
$a^{m-n}$；相减
【知识点】
同底数幂的除法法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考查同底数幂除法的核心运算规则，是整式除法运算的基础内容，准确记忆相关法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂除法法则的理解与应用，我们可以结合幂的含义推导规则：$a^m$是m个a相乘的积，$a^n$是n个a相乘的积，由于$a≠0$，二者相除时可以约掉n个a，剩余$m-n$个a相乘，结果就是$a^{m-n}$，由此就能总结出同底数幂的除法运算规律。
【解析】
根据同底数幂的除法运算规定：当$a≠0$，m、n都是正整数且$m＞n$时，同底数幂相除，底数保持不变，指数用被除数的指数减去除数的指数，因此$a^m÷ a^n = a^{m-n}$，对应的法则描述为指数相减。
【答案】
$a^{m-n}$；相减
【知识点】
同底数幂的除法法则
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考查同底数幂除法的核心运算规则，是整式除法运算的基础内容，准确记忆相关法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 特别地，当$ m=n $时，$ a^m ÷ a^n = a^{m-n} = a^0 $，于是规定$ a^0 = \_\_\_\_\_\_ (a ≠ 0) $。这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于。
答案
2. $1$；$1$
解析
【分析】
解题时可结合同底数幂的除法法则和除法的基本意义推导：首先回忆同底数幂的除法运算规则，当被除式和除式是底数不为0、指数相同的同底数幂时，一方面，两个相同的非零数相除的商为1；另一方面套用同底数幂除法法则可得到该运算结果为底数的0次幂，结合两个结果即可推出零指数幂的规定，同时注意底数不能为0，否则除数为0无意义。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数），当$m=n$时：
1. 从除法的意义看：$a^m÷ a^m = 1$（$a≠0$，若$a=0$，则除式为0，运算无意义）；
2. 从同底数幂除法法则看：$a^m÷ a^m = a^{m-m}=a^0$；
结合两个结论可得：$a^0=1$（$a≠0$），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。
因此两个空依次填1、1。
【答案】
$1$；$1$
【知识点】
同底数幂的除法；零指数幂的规定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是零指数幂规定的推导过程，需要牢记零指数幂成立的前提是底数不为0，避免忽略限制条件导致判断错误。
【难度系数】
0.9
解题时可结合同底数幂的除法法则和除法的基本意义推导：首先回忆同底数幂的除法运算规则，当被除式和除式是底数不为0、指数相同的同底数幂时，一方面，两个相同的非零数相除的商为1；另一方面套用同底数幂除法法则可得到该运算结果为底数的0次幂，结合两个结果即可推出零指数幂的规定，同时注意底数不能为0，否则除数为0无意义。
【解析】
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数），当$m=n$时：
1. 从除法的意义看：$a^m÷ a^m = 1$（$a≠0$，若$a=0$，则除式为0，运算无意义）；
2. 从同底数幂除法法则看：$a^m÷ a^m = a^{m-m}=a^0$；
结合两个结论可得：$a^0=1$（$a≠0$），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。
因此两个空依次填1、1。
【答案】
$1$；$1$
【知识点】
同底数幂的除法；零指数幂的规定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是零指数幂规定的推导过程，需要牢记零指数幂成立的前提是底数不为0，避免忽略限制条件导致判断错误。
【难度系数】
0.9
例1 (教材改编)计算：
(1)$2^4 ÷ 2^3 =$
(2)$x^4 ÷ x =$
(3)$(-y)^8 ÷ (-y)^6 =$
(4)$(ab)^7 ÷ (ab)^4 =$
(5)$b^7 ÷ b^2 ÷ b^3 =$
(6)$(x-y)^5 ÷ (x-y)^2 =$
(7)$(a^7 · a^3) ÷ (a^2)^3 =$
例2 若代数式$(x-2)^0$有意义，则实数$x$的取值范围是
(1)$2^4 ÷ 2^3 =$
$2$
；(2)$x^4 ÷ x =$
$x^3$
；(3)$(-y)^8 ÷ (-y)^6 =$
$y^2$
；(4)$(ab)^7 ÷ (ab)^4 =$
$a^3b^3$
；(5)$b^7 ÷ b^2 ÷ b^3 =$
$b^2$
；(6)$(x-y)^5 ÷ (x-y)^2 =$
$(x-y)^3$
；(7)$(a^7 · a^3) ÷ (a^2)^3 =$
$a^4$
.例2 若代数式$(x-2)^0$有意义，则实数$x$的取值范围是
$x≠2$
.答案
例1 (1)$2$ (2)$x^3$ (3)$y^2$ (4)$a^3b^3$ (5)$b^2$ (6)$(x-y)^3$ (7)$a^4$
例2 $x≠2$
例2 $x≠2$
解析
【分析】
本题主要考察幂的相关运算及零指数幂有意义的条件。解题思路如下：1. 对于同底数幂的除法运算，直接套用法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，若底数是多项式可将其看作整体运算，涉及混合运算时遵循“先乘方、后乘除，有括号先算括号内”的顺序；2. 对于零指数幂有意义的问题，只需保证底数不为0，列不等式求解即可。
【解析】
例1
(1) 根据同底数幂的除法法则：$2^4 ÷ 2^3 = 2^{4-3}=2^1=2$；
(2) $x$的指数为1，因此$x^4 ÷ x =x^{4-1}=x^3$；
(3) 将$(-y)$看作整体，得$(-y)^8 ÷ (-y)^6 = (-y)^{8-6}=(-y)^2=y^2$；
(4) 将$(ab)$看作整体，得$(ab)^7 ÷ (ab)^4=(ab)^{7-4}=(ab)^3=a^3b^3$；
(5) 同底数幂连除，指数依次相减：$b^7 ÷ b^2 ÷ b^3 =b^{7-2-3}=b^2$；
(6) 将$(x-y)$看作整体，得$(x-y)^5 ÷ (x-y)^2=(x-y)^{5-2}=(x-y)^3$；
(7) 先计算括号内的运算：
括号1：同底数幂相乘，底数不变指数相加，$a^7 · a^3 =a^{7+3}=a^{10}$；
括号2：幂的乘方，底数不变指数相乘，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$；
再做除法：$a^{10}÷a^6=a^{10-6}=a^4$。
例2
零指数幂$a^0$有意义的条件是$a≠0$，因此本题中底数$x-2≠0$，解得$x≠2$。
【答案】
例1 (1)$2$ (2)$x^3$ (3)$y^2$ (4)$a^3b^3$ (5)$b^2$ (6)$(x-y)^3$ (7)$a^4$
例2 $x≠2$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂的意义
【点评】
本题属于整式除法的基础练习题，核心是对幂的运算性质的灵活运用，解题时要注意将相同底数（含多项式底数）作为整体处理，计算指数时需注意不要混淆加减乘的适用场景，零指数幂的底数限制是常见易错点，需重点记忆。
【难度系数】
0.85
本题主要考察幂的相关运算及零指数幂有意义的条件。解题思路如下：1. 对于同底数幂的除法运算，直接套用法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，若底数是多项式可将其看作整体运算，涉及混合运算时遵循“先乘方、后乘除，有括号先算括号内”的顺序；2. 对于零指数幂有意义的问题，只需保证底数不为0，列不等式求解即可。
【解析】
例1
(1) 根据同底数幂的除法法则：$2^4 ÷ 2^3 = 2^{4-3}=2^1=2$；
(2) $x$的指数为1，因此$x^4 ÷ x =x^{4-1}=x^3$；
(3) 将$(-y)$看作整体，得$(-y)^8 ÷ (-y)^6 = (-y)^{8-6}=(-y)^2=y^2$；
(4) 将$(ab)$看作整体，得$(ab)^7 ÷ (ab)^4=(ab)^{7-4}=(ab)^3=a^3b^3$；
(5) 同底数幂连除，指数依次相减：$b^7 ÷ b^2 ÷ b^3 =b^{7-2-3}=b^2$；
(6) 将$(x-y)$看作整体，得$(x-y)^5 ÷ (x-y)^2=(x-y)^{5-2}=(x-y)^3$；
(7) 先计算括号内的运算：
括号1：同底数幂相乘，底数不变指数相加，$a^7 · a^3 =a^{7+3}=a^{10}$；
括号2：幂的乘方，底数不变指数相乘，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$；
再做除法：$a^{10}÷a^6=a^{10-6}=a^4$。
例2
零指数幂$a^0$有意义的条件是$a≠0$，因此本题中底数$x-2≠0$，解得$x≠2$。
【答案】
例1 (1)$2$ (2)$x^3$ (3)$y^2$ (4)$a^3b^3$ (5)$b^2$ (6)$(x-y)^3$ (7)$a^4$
例2 $x≠2$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂的意义
【点评】
本题属于整式除法的基础练习题，核心是对幂的运算性质的灵活运用，解题时要注意将相同底数（含多项式底数）作为整体处理，计算指数时需注意不要混淆加减乘的适用场景，零指数幂的底数限制是常见易错点，需重点记忆。
【难度系数】
0.85
3. 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为
商
的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数
作为商
的一个因式。答案
3. 商；指数；商
解析
【分析】
本题考查单项式除法法则的识记，属于基础概念类题目。解题时只需回忆课本中单项式相除的运算法则，将法则内容与题干空缺处逐一对应即可得到答案。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。因此三个空缺处依次填入对应内容即可。
【答案】
商；指数；商
【知识点】
单项式除法法则
【点评】
本题是基础概念考查题，是整式除法运算的基础，重点要求学生准确识记相关运算法则，为后续复杂的整式运算打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式除法法则的识记，属于基础概念类题目。解题时只需回忆课本中单项式相除的运算法则，将法则内容与题干空缺处逐一对应即可得到答案。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。因此三个空缺处依次填入对应内容即可。
【答案】
商；指数；商
【知识点】
单项式除法法则
【点评】
本题是基础概念考查题，是整式除法运算的基础，重点要求学生准确识记相关运算法则，为后续复杂的整式运算打好基础。
【难度系数】
0.9
例3 (教材改编)计算：
(1)$(-3mn^{2})÷(6n)$；
(2)$(-16a^{6}b^{3}c)÷(4a^{4}b^{2})$。
(1)$(-3mn^{2})÷(6n)$；
(2)$(-16a^{6}b^{3}c)÷(4a^{4}b^{2})$。
答案
(1) $-\dfrac{1}{2}mn$
(2) $-4a^2bc$
(2) $-4a^2bc$
解析
【分析】
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路是依据单项式除以单项式的法则分步计算：①先将被除式与除式的系数相除，所得结果作为商的系数，注意符号的运算；②再将同底数幂分别相除，依据同底数幂相除，底数不变指数相减的规则计算；③最后把只在被除式中含有的字母，连同它的指数一起作为商的因式，不要漏写。
【解析】
(1) 计算$(-3mn^{2})÷(6n)$，根据单项式除以单项式法则：
$\begin{aligned}(-3mn^{2})÷(6n)&=(-3÷6)· m· (n^2÷ n)\\&=-\dfrac{1}{2}mn\end{aligned}$
(2) 计算$(-16a^{6}b^{3}c)÷(4a^{4}b^{2})$，同理运用法则计算：
$\begin{aligned}(-16a^{6}b^{3}c)÷(4a^{4}b^{2})&=(-16÷4)·(a^6÷ a^4)·(b^3÷ b^2)· c\\&=-4a^2bc\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}mn$
(2) $-4a^2bc$
【知识点】
1. 单项式除以单项式
2. 同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础题型，核心是对单项式除以单项式法则的熟练运用，计算时要重点注意系数的正负号，同时不要遗漏只在被除式中出现的字母，养成逐步验算的习惯能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.85
本题考查单项式除以单项式的运算，解题思路是依据单项式除以单项式的法则分步计算：①先将被除式与除式的系数相除，所得结果作为商的系数，注意符号的运算；②再将同底数幂分别相除，依据同底数幂相除，底数不变指数相减的规则计算；③最后把只在被除式中含有的字母，连同它的指数一起作为商的因式，不要漏写。
【解析】
(1) 计算$(-3mn^{2})÷(6n)$，根据单项式除以单项式法则：
$\begin{aligned}(-3mn^{2})÷(6n)&=(-3÷6)· m· (n^2÷ n)\\&=-\dfrac{1}{2}mn\end{aligned}$
(2) 计算$(-16a^{6}b^{3}c)÷(4a^{4}b^{2})$，同理运用法则计算：
$\begin{aligned}(-16a^{6}b^{3}c)÷(4a^{4}b^{2})&=(-16÷4)·(a^6÷ a^4)·(b^3÷ b^2)· c\\&=-4a^2bc\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}mn$
(2) $-4a^2bc$
【知识点】
1. 单项式除以单项式
2. 同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础题型，核心是对单项式除以单项式法则的熟练运用，计算时要重点注意系数的正负号，同时不要遗漏只在被除式中出现的字母，养成逐步验算的习惯能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.85
4. 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的
每一项
除以这个单项式，再把所得的商相加
。答案
4. 每一项；相加
解析
【分析】
本题属于概念识记类题目，考查多项式除以单项式的运算法则。解题时只需回忆对应运算的步骤即可：多项式除以单项式的运算分为两步，第一步先拆分多项式为单独的项分别除以单项式，第二步再对得到的商做合并处理，两个空正好对应这两个步骤的核心内容。
【解析】
根据多项式除以单项式的官方运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，据此填写对应内容即可。
【答案】
每一项；相加
【知识点】
多项式除以单项式法则、整式的除法
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对运算法则的记忆掌握，是后续开展复杂整式运算的基础，相关法则内容需要牢固识记。
【难度系数】
0.9
本题属于概念识记类题目，考查多项式除以单项式的运算法则。解题时只需回忆对应运算的步骤即可：多项式除以单项式的运算分为两步，第一步先拆分多项式为单独的项分别除以单项式，第二步再对得到的商做合并处理，两个空正好对应这两个步骤的核心内容。
【解析】
根据多项式除以单项式的官方运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，据此填写对应内容即可。
【答案】
每一项；相加
【知识点】
多项式除以单项式法则、整式的除法
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对运算法则的记忆掌握，是后续开展复杂整式运算的基础，相关法则内容需要牢固识记。
【难度系数】
0.9
例4 (教材改编)计算：
(1)$(10x - 25xy) ÷ (-5x)$；
(2)$(12y^4 - 8y^3 + 4y^2) ÷ (2y)^2$。
(1)$(10x - 25xy) ÷ (-5x)$；
(2)$(12y^4 - 8y^3 + 4y^2) ÷ (2y)^2$。
答案
(1) $-2+5y$
(2) $3y^2-2y+1$
(2) $3y^2-2y+1$
解析
【分析】
本题考查整式的除法运算，解题思路如下：
(1) 第一问是多项式除以单项式，依据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时注意系数的符号和同底数幂的除法规则。
(2) 第二问遵循先乘方后除法的运算顺序，先利用积的乘方法则计算除数$(2y)^2$，再按照多项式除以单项式的法则计算，注意不要遗漏最后一项的商。
【解析】
(1) 计算$(10x - 25xy) ÷ (-5x)$：
根据多项式除以单项式法则拆分运算：
$\begin{aligned}原式&=10x÷(-5x) + (-25xy)÷(-5x)\\&= (10÷(-5))×(x÷ x) + [(-25)÷(-5)]×(xy÷ x)\\&=-2×1 +5× y\\&=-2+5y\end{aligned}$
(2) 计算$(12y^4 - 8y^3 + 4y^2) ÷ (2y)^2$：
第一步先算乘方：$(2y)^2=2^2× y^2=4y^2$
再计算多项式除以单项式：
$\begin{aligned}原式&=(12y^4 -8y^3 +4y^2)÷4y^2\\&=12y^4÷4y^2 + (-8y^3)÷4y^2 +4y^2÷4y^2\\&=(12÷4)×(y^4÷ y^2) + (-8÷4)×(y^3÷ y^2) + (4÷4)×(y^2÷ y^2)\\&=3y^2 -2y +1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2+5y}$
(2) $\boldsymbol{3y^2-2y+1}$
【知识点】
多项式除以单项式、同底数幂的除法、积的乘方
【点评】
本题是整式除法的基础题型，解题时需严格遵循运算顺序，注意各项的符号变化和同底数幂的指数运算规则，避免出现漏项、符号错误等问题，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的除法运算，解题思路如下：
(1) 第一问是多项式除以单项式，依据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时注意系数的符号和同底数幂的除法规则。
(2) 第二问遵循先乘方后除法的运算顺序，先利用积的乘方法则计算除数$(2y)^2$，再按照多项式除以单项式的法则计算，注意不要遗漏最后一项的商。
【解析】
(1) 计算$(10x - 25xy) ÷ (-5x)$：
根据多项式除以单项式法则拆分运算：
$\begin{aligned}原式&=10x÷(-5x) + (-25xy)÷(-5x)\\&= (10÷(-5))×(x÷ x) + [(-25)÷(-5)]×(xy÷ x)\\&=-2×1 +5× y\\&=-2+5y\end{aligned}$
(2) 计算$(12y^4 - 8y^3 + 4y^2) ÷ (2y)^2$：
第一步先算乘方：$(2y)^2=2^2× y^2=4y^2$
再计算多项式除以单项式：
$\begin{aligned}原式&=(12y^4 -8y^3 +4y^2)÷4y^2\\&=12y^4÷4y^2 + (-8y^3)÷4y^2 +4y^2÷4y^2\\&=(12÷4)×(y^4÷ y^2) + (-8÷4)×(y^3÷ y^2) + (4÷4)×(y^2÷ y^2)\\&=3y^2 -2y +1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2+5y}$
(2) $\boldsymbol{3y^2-2y+1}$
【知识点】
多项式除以单项式、同底数幂的除法、积的乘方
【点评】
本题是整式除法的基础题型，解题时需严格遵循运算顺序，注意各项的符号变化和同底数幂的指数运算规则，避免出现漏项、符号错误等问题，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
