登录
7. 如果计算$(x+m)(x+\dfrac{1}{5})$的结果中不含$x$项，那么$m$的值是（
A.$\dfrac{1}{5}$
B.$-\dfrac{1}{5}$
C.$5$
D.$-5$
B
）。A.$\dfrac{1}{5}$
B.$-\dfrac{1}{5}$
C.$5$
D.$-5$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据多项式与多项式相乘的法则将原式展开，再合并同类项找到x的一次项的系数；题目说结果不含x项，意思就是x的一次项的系数为0，据此列方程求解即可得到m的值。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(x+m)(x+\frac{1}{5})&=x· x + x·\frac{1}{5} + m· x + m·\frac{1}{5}\\&=x^2 + \frac{1}{5}x + mx + \frac{m}{5}\\&=x^2 + (m+\frac{1}{5})x + \frac{m}{5}\end{aligned}$
因为计算结果不含x项，所以x的一次项系数为0，即：
$m+\frac{1}{5}=0$
解得：$m=-\frac{1}{5}$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；多项式项的系数
【点评】
本题是多项式乘法的常见基础题型，解题的核心是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握该规律后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据多项式与多项式相乘的法则将原式展开，再合并同类项找到x的一次项的系数；题目说结果不含x项，意思就是x的一次项的系数为0，据此列方程求解即可得到m的值。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(x+m)(x+\frac{1}{5})&=x· x + x·\frac{1}{5} + m· x + m·\frac{1}{5}\\&=x^2 + \frac{1}{5}x + mx + \frac{m}{5}\\&=x^2 + (m+\frac{1}{5})x + \frac{m}{5}\end{aligned}$
因为计算结果不含x项，所以x的一次项系数为0，即：
$m+\frac{1}{5}=0$
解得：$m=-\frac{1}{5}$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；多项式项的系数
【点评】
本题是多项式乘法的常见基础题型，解题的核心是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握该规律后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 若$(x+m)(x+n)=x^2+kx+24$（$m$，$n$都是正整数），则$k$的值不可能是（
A.10
B.14
C.24
D.25
C
）。A.10
B.14
C.24
D.25
答案
C
解析
【分析】
首先运用多项式乘多项式的法则将等式左侧展开，再根据等式两边同类项的系数相等，可得到m、n的乘积为24，k等于m与n的和。结合m、n都是正整数的条件，我们只需要找出24的所有正整数因数对，计算每对因数的和，就能得到k的所有可能取值，最后对比选项即可选出不可能的k值。
【解析】
1. 展开左侧多项式：
根据多项式乘多项式法则，$(x+m)(x+n)=x^2+nx+mx+mn=x^2+(m+n)x+mn$。
2. 对应系数相等建立关系：
已知$(x+m)(x+n)=x^2+kx+24$，因此同类项系数相等，可得：
$mn=24$，$k=m+n$，其中$m$、$n$均为正整数。
3. 列举24的正整数因数对，计算k的可能值：
24的正整数因数对有：
(1,24)，对应$k=1+24=25$；
(2,12)，对应$k=2+12=14$；
(3,8)，对应$k=3+8=11$；
(4,6)，对应$k=4+6=10$。
因此k的可能取值为10、11、14、25，不可能是24。
【答案】
C
【知识点】
1.多项式乘多项式
2.系数对应相等
3.因数的应用
【点评】
本题将多项式乘法与因数的知识结合考察，解题关键是通过系数对应将求k的问题转化为求24的正整数因数对的和，注意列举因数对时要完整，避免遗漏导致判断错误。
【难度系数】
0.7
首先运用多项式乘多项式的法则将等式左侧展开，再根据等式两边同类项的系数相等，可得到m、n的乘积为24，k等于m与n的和。结合m、n都是正整数的条件，我们只需要找出24的所有正整数因数对，计算每对因数的和，就能得到k的所有可能取值，最后对比选项即可选出不可能的k值。
【解析】
1. 展开左侧多项式：
根据多项式乘多项式法则，$(x+m)(x+n)=x^2+nx+mx+mn=x^2+(m+n)x+mn$。
2. 对应系数相等建立关系：
已知$(x+m)(x+n)=x^2+kx+24$，因此同类项系数相等，可得：
$mn=24$，$k=m+n$，其中$m$、$n$均为正整数。
3. 列举24的正整数因数对，计算k的可能值：
24的正整数因数对有：
(1,24)，对应$k=1+24=25$；
(2,12)，对应$k=2+12=14$；
(3,8)，对应$k=3+8=11$；
(4,6)，对应$k=4+6=10$。
因此k的可能取值为10、11、14、25，不可能是24。
【答案】
C
【知识点】
1.多项式乘多项式
2.系数对应相等
3.因数的应用
【点评】
本题将多项式乘法与因数的知识结合考察，解题关键是通过系数对应将求k的问题转化为求24的正整数因数对的和，注意列举因数对时要完整，避免遗漏导致判断错误。
【难度系数】
0.7
9. 已知三角形的底边长为$(2x+1)\mathrm{cm}$，底边对应的高为$(x-2)\mathrm{cm}$，现把底边和高各增加5 cm.
(1)求三角形增加的面积；
(2)当$x=3$时，求三角形增加的面积.
(1)求三角形增加的面积；
(2)当$x=3$时，求三角形增加的面积.
答案
(1)三角形增加的面积为$\frac{1}{2}(2x+1+5)(x-2+5)-\frac{1}{2}(2x+1)(x-2)=\frac{1}{2}(2x^2+6x+6x+18)-\frac{1}{2}(2x^2-4x+x-2)=(\frac{15}{2}x+10)\mathrm{cm}^2$。
(2)当$x=3$时，原式$=\frac{15}{2}×3+10=32.5(\mathrm{cm}^2)$。
∴当$x=3$时，三角形增加的面积为$32.5\ \mathrm{cm}^2$。
(2)当$x=3$时，原式$=\frac{15}{2}×3+10=32.5(\mathrm{cm}^2)$。
∴当$x=3$时，三角形增加的面积为$32.5\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
本题可按照“增加的面积=边长增加后的三角形面积-原三角形面积”的逻辑求解：
1. 第一问先分别表示出底边和高增加后的长度，结合三角形面积公式写出变化前后的面积表达式，二者作差后用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可得到增加的面积的代数式；
2. 第二问直接将x=3代入第一问化简得到的代数式中，计算即可得到对应结果。
【解析】
(1) 先计算边长增加后的底和高：
新底边长：$(2x+1)+5=2x+6\ \mathrm{cm}$，新高：$(x-2)+5=x+3\ \mathrm{cm}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
增加的面积 = 新三角形面积 - 原三角形面积
$=\frac{1}{2}(2x+6)(x+3)-\frac{1}{2}(2x+1)(x-2)$
根据多项式乘多项式法则展开：
$=\frac{1}{2}(2x^2+6x+6x+18)-\frac{1}{2}(2x^2-4x+x-2)$
$=\frac{1}{2}(2x^2+12x+18)-\frac{1}{2}(2x^2-3x-2)$
去括号合并同类项：
$=x^2+6x+9 - x^2 + \frac{3}{2}x +1$
$=(\frac{15}{2}x + 10)\ \mathrm{cm}^2$
(2) 当$x=3$时，将其代入$\frac{15}{2}x + 10$计算：
原式$=\frac{15}{2}×3 + 10 = 22.5 + 10 = 32.5\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $(\frac{15}{2}x + 10)\ \mathrm{cm}^2$
(2) $32.5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形面积公式；多项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题是整式乘法的基础应用类题目，解题关键是找准面积差的数量关系，计算多项式乘法时要注意各项的符号，合并同类项时避免漏项、错项。
【难度系数】
0.7
本题可按照“增加的面积=边长增加后的三角形面积-原三角形面积”的逻辑求解：
1. 第一问先分别表示出底边和高增加后的长度，结合三角形面积公式写出变化前后的面积表达式，二者作差后用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可得到增加的面积的代数式；
2. 第二问直接将x=3代入第一问化简得到的代数式中，计算即可得到对应结果。
【解析】
(1) 先计算边长增加后的底和高：
新底边长：$(2x+1)+5=2x+6\ \mathrm{cm}$，新高：$(x-2)+5=x+3\ \mathrm{cm}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
增加的面积 = 新三角形面积 - 原三角形面积
$=\frac{1}{2}(2x+6)(x+3)-\frac{1}{2}(2x+1)(x-2)$
根据多项式乘多项式法则展开：
$=\frac{1}{2}(2x^2+6x+6x+18)-\frac{1}{2}(2x^2-4x+x-2)$
$=\frac{1}{2}(2x^2+12x+18)-\frac{1}{2}(2x^2-3x-2)$
去括号合并同类项：
$=x^2+6x+9 - x^2 + \frac{3}{2}x +1$
$=(\frac{15}{2}x + 10)\ \mathrm{cm}^2$
(2) 当$x=3$时，将其代入$\frac{15}{2}x + 10$计算：
原式$=\frac{15}{2}×3 + 10 = 22.5 + 10 = 32.5\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) $(\frac{15}{2}x + 10)\ \mathrm{cm}^2$
(2) $32.5\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形面积公式；多项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题是整式乘法的基础应用类题目，解题关键是找准面积差的数量关系，计算多项式乘法时要注意各项的符号，合并同类项时避免漏项、错项。
【难度系数】
0.7
10. 你能计算$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)$吗？遇到这样复杂的问题时，我们可以先从简单的情形入手，再归纳出一些方法。
(1)分别计算下列各式：
$(x-1)(x+1)=$
$(x-1)(x^2+x+1)=$
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=$
……
$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)=$
(2)请你利用上面的结论计算：
$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1$。
(1)分别计算下列各式：
$(x-1)(x+1)=$
$x^2-1$
；$(x-1)(x^2+x+1)=$
$x^3-1$
；$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=$
$x^4-1$
；……
$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)=$
$x^{100}-1$
。(2)请你利用上面的结论计算：
$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1$。
答案
(1)$x^2-1$；$x^3-1$；$x^4-1$；$x^{100}-1$
(2)解：由$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)=x^{100}-1$，得$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1=\frac{2^{100}-1}{2-1}=2^{100}-1$。
(2)解：由$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)=x^{100}-1$，得$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1=\frac{2^{100}-1}{2-1}=2^{100}-1$。
解析
【分析】
本题采用从特殊到一般的归纳思路求解：第(1)问先运用多项式乘多项式的法则计算前三个简单式子，观察结果总结规律，再将规律推广到高次的情况得到结论；第(2)问直接套用第(1)问的规律，令x=2后对式子变形，即可快速算出结果，无需逐项累加。
【解析】
(1) 分别计算各式：
① 计算$(x-1)(x+1)$，按多项式乘多项式法则展开：
$(x-1)(x+1)=x· x +x·1 -1· x -1×1 = x^2+x-x-1=x^2-1$
② 计算$(x-1)(x^2+x+1)$，展开得：
$(x-1)(x^2+x+1)=x· x^2 +x· x +x·1 -1· x^2 -1· x -1×1 =x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1$
③ 计算$(x-1)(x^3+x^2+x+1)$，展开得：
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x· x^3 +x· x^2 +x· x +x·1 -1· x^3 -1· x^2 -1· x -1×1 =x^4+x^3+x^2+x-x^3-x^2-x-1=x^4-1$
观察结果可归纳规律：$(x-1)(x^n+x^{n-1}+\dots+x+1)=x^{n+1}-1$，因此当n=99时，$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)=x^{100}-1$。
(2) 计算$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1$：
根据第(1)问的规律，令$x=2$，代入得：
$(2-1)(2^{99}+2^{98}+\dots+2+1)=2^{100}-1$
由于$2-1=1$，因此$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1=2^{100}-1$。
【答案】
(1)$x^2-1$；$x^3-1$；$x^4-1$；$x^{100}-1$
(2)$2^{100}-1$
【知识点】
多项式乘多项式；规律探究；代数式求值
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，先通过基础运算归纳通用规律，再利用规律简化复杂运算，能够锻炼归纳推理能力和知识迁移应用的意识。
【难度系数】
0.7
本题采用从特殊到一般的归纳思路求解：第(1)问先运用多项式乘多项式的法则计算前三个简单式子，观察结果总结规律，再将规律推广到高次的情况得到结论；第(2)问直接套用第(1)问的规律，令x=2后对式子变形，即可快速算出结果，无需逐项累加。
【解析】
(1) 分别计算各式：
① 计算$(x-1)(x+1)$，按多项式乘多项式法则展开：
$(x-1)(x+1)=x· x +x·1 -1· x -1×1 = x^2+x-x-1=x^2-1$
② 计算$(x-1)(x^2+x+1)$，展开得：
$(x-1)(x^2+x+1)=x· x^2 +x· x +x·1 -1· x^2 -1· x -1×1 =x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1$
③ 计算$(x-1)(x^3+x^2+x+1)$，展开得：
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x· x^3 +x· x^2 +x· x +x·1 -1· x^3 -1· x^2 -1· x -1×1 =x^4+x^3+x^2+x-x^3-x^2-x-1=x^4-1$
观察结果可归纳规律：$(x-1)(x^n+x^{n-1}+\dots+x+1)=x^{n+1}-1$，因此当n=99时，$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)=x^{100}-1$。
(2) 计算$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1$：
根据第(1)问的规律，令$x=2$，代入得：
$(2-1)(2^{99}+2^{98}+\dots+2+1)=2^{100}-1$
由于$2-1=1$，因此$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1=2^{100}-1$。
【答案】
(1)$x^2-1$；$x^3-1$；$x^4-1$；$x^{100}-1$
(2)$2^{100}-1$
【知识点】
多项式乘多项式；规律探究；代数式求值
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，先通过基础运算归纳通用规律，再利用规律简化复杂运算，能够锻炼归纳推理能力和知识迁移应用的意识。
【难度系数】
0.7
