3.（教材改编）如图，长方形ABCD的面积可表示为或，因此得到。

$(x+3)(x+2)$；$x^2+5x+6$；$(x+3)·(x+2)=x^2+5x+6$

【分析】
解题思路可分为三步：①首先回忆长方形面积公式为“长×宽”，先确定大长方形ABCD的长和宽，直接代入公式得到第一种面积表达式；②观察图中的虚线，可将大长方形分割为4个小图形，分别计算每个小图形的面积后求和，得到第二种面积表达式；③由于两个表达式均表示同一个长方形的面积，因此二者相等，即可得到对应的等式。
【解析】
1. 用整体法求面积表达式：
长方形ABCD的长$AD=x+3$，宽$AB=x+2$，根据长方形面积公式可得：
面积$=(x+3)(x+2)$
2. 用分割法求面积表达式：
图中虚线将大长方形分为4个部分，各部分面积分别为：
①边长为$x$的正方形：$x· x=x^2$
②长为3、宽为$x$的长方形：$3× x=3x$
③长为$x$、宽为2的长方形：$x×2=2x$
④长为3、宽为2的长方形：$3×2=6$
将四部分面积相加、合并同类项得：$x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$
3. 两个表达式均表示长方形ABCD的面积，因此二者相等，可得：
$(x+3)(x+2)=x^2+5x+6$
【答案】
$(x+3)(x+2)$；$x^2+5x+6$；$(x+3)(x+2)=x^2+5x+6$
【知识点】
长方形面积计算；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题借助几何图形面积的两种表示方法，直观展现了多项式乘多项式的运算过程，渗透了数形结合的数学思想，能帮助大家更好地理解多项式乘法的算理。
【难度系数】
0.8

4. 计算：(1)$(a+3)(a-1)+a(a-2)$；
(2)$(3a+2b)(a-b)+(2a-b)(a+b)$；
(3)$(a^2 - 3a + 4)(5 - 3a)$。

(1)原式$=a^2 - a + 3a - 3 + a^2 - 2a=2a^2 - 3$。
(2)原式$=3a^2 - 3ab + 2ab - 2b^2 + 2a^2 + 2ab - ab - b^2=5a^2 - 3b^2$。
(3)原式$=5a^2 - 3a^3 - 15a + 9a^2 + 20 - 12a=-3a^3 + 14a^2 - 27a + 20$。

【分析】
这三道题均为整式乘法的化简计算，解题思路可分为两步：第一步，依据多项式乘多项式法则（用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项）、单项式乘多项式法则展开所有乘积项，展开时要注意每一项的符号，避免漏乘；第二步，将展开后的同类项合并，得到最简结果。
【解析】
(1) 先分别展开两个乘积项：
$(a+3)(a-1)=a^2 - a + 3a - 3$，$a(a-2)=a^2 - 2a$，
合并同类项得：$a^2 - a + 3a - 3 + a^2 - 2a=2a^2 - 3$。
(2) 先分别展开两个多项式乘积：
$(3a+2b)(a-b)=3a^2 - 3ab + 2ab - 2b^2$，
$(2a-b)(a+b)=2a^2 + 2ab - ab - b^2$，
合并同类项得：$3a^2 - 3ab + 2ab - 2b^2 + 2a^2 + 2ab - ab - b^2=5a^2 - 3b^2$。
(3) 用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项：
$(a^2 - 3a + 4)(5 - 3a)=5a^2 - 3a^3 - 15a + 9a^2 + 20 - 12a$，
合并同类项得：$5a^2 - 3a^3 - 15a + 9a^2 + 20 - 12a=-3a^3 + 14a^2 - 27a + 20$。
【答案】
(1)$2a^2 - 3$；(2)$5a^2 - 3b^2$；(3)$-3a^3 + 14a^2 - 27a + 20$
【知识点】
多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心是熟练掌握乘法展开规则，运算时要重点注意项的符号，避免漏乘、错算同类项系数，养成核对展开项数的习惯可有效降低出错率。
【难度系数】
0.8

5. 先化简，再求值：$(x-1)(x+2)+(2x+3)(2x-7)$，其中 $x=-2$。

解：原式$=5x^2 - 7x - 23$。当 $x=-2$ 时，原式$=5×(-2)^2 -7×(-2)-23=11$。

【分析】
这是整式化简求值类基础题，解题思路分三步：第一步，依据多项式乘多项式的运算法则，分别计算两个多项式相乘的结果，运算时需用一个多项式的每一项依次乘另一个多项式的每一项，避免漏乘，同时注意乘积的符号；第二步，将两个乘积的结果相加，合并同类项得到最简整式；第三步，把$x=-2$代入化简后的整式，按有理数运算规则计算出最终数值即可。
【解析】
解：先按多项式乘多项式法则展开两项：
$(x-1)(x+2)=x^2+2x-x-2=x^2+x-2$
$(2x+3)(2x-7)=4x^2-14x+6x-21=4x^2-8x-21$
再合并同类项化简：
$\begin{aligned}原式&=(x^2+x-2)+(4x^2-8x-21)\\&=5x^2-7x-23\end{aligned}$
最后代入$x=-2$计算：
$\begin{aligned}原式&=5×(-2)^2-7×(-2)-23\\&=5×4+14-23\\&=20+14-23\\&=11\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$5x^2-7x-23$，当$x=-2$时，原式的值为$\boxed{11}$
【知识点】
1.多项式乘多项式 2.合并同类项 3.整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考察多项式乘法的运算能力，计算过程中要注意不要漏乘多项式的项，同时留意各项符号的处理，代入负数求值时要注意负数乘方的运算规则，避免符号类计算错误。
【难度系数】
0.85

6. 如图，某公园有一块长为$(3a+b)\mathrm{m}$，宽为$(2a+b)\mathrm{m}$的长方形空地，计划在中间修建一座雕塑，其底座是边长为$(a+b)\mathrm{m}$的正方形，余下区域(图中阴影部分)进行绿化.
(1)求绿化的面积；
(2)当$a=3$，$b=2$时，求绿化的面积.

(1)$S_{绿化}=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2=6a^2+3ab+2ab+b^2-a^2-ab-ab-b^2=(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$。答：绿化的面积是$(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$。
(2)当$a=3$，$b=2$时，$5a^2+3ab=5×3^2+3×3×2=45+18=63(\mathrm{m}^2)$。
∴当$a=3$，$b=2$时，绿化的面积为$63\ \mathrm{m}^2$。

【分析】
求解本题时，首先明确阴影面积的计算思路：阴影部分为不规则图形，可采用“整体减空白”的方法，即绿化面积=大长方形空地的面积-中间正方形底座的面积。第一步先分别根据长方形、正方形的面积公式写出对应面积的表达式，再依据多项式乘多项式法则、完全平方公式展开式子，合并同类项后得到绿化面积的代数式；第二问将给定的a、b的值代入第一问得到的代数式中，按有理数运算规则计算即可得到具体的绿化面积。
【解析】
(1) 由题意可知，绿化面积等于大长方形面积减去中间正方形的面积：
$\begin{aligned}S_{绿化}&=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{aligned}$
即绿化的面积是$(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$。
(2) 把$a=3$，$b=2$代入$5a^2+3ab$得：
$\begin{aligned}5a^2+3ab&=5×3^2+3×3×2\\&=5×9+18\\&=45+18\\&=63\end{aligned}$
即当$a=3$，$b=2$时，绿化的面积为$63\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$
(2) $63\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是整式运算在几何面积问题中的典型应用，核心是掌握不规则面积的割补计算方法，解题时需熟练掌握整式乘法的运算法则，展开运算时注意不要漏乘、避免符号出错，代入求值时要遵循有理数的运算顺序。
【难度系数】
0.8