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例1 已知多项式 $5x^4y^2 + xy - 2x^2y^6 - y^7 - x^6$.
(1)把它按 $x$ 的降幂排列；
(2)把它按 $y$ 的升幂排列.
【思路导析】降幂——指数从大到小；升幂——指数从小到大.
【请你解答】
(1)把它按 $x$ 的降幂排列；
(2)把它按 $y$ 的升幂排列.
【思路导析】降幂——指数从大到小；升幂——指数从小到大.
【请你解答】
答案
解：
(1) 按$x$的降幂排列为：
$-x^6 + 5x^4y^2 - 2x^2y^6 + xy - y^7$
(2) 按$y$的升幂排列为：
$-x^6 + xy + 5x^4y^2 - 2x^2y^6 - y^7$
(1) 按$x$的降幂排列为：
$-x^6 + 5x^4y^2 - 2x^2y^6 + xy - y^7$
(2) 按$y$的升幂排列为：
$-x^6 + xy + 5x^4y^2 - 2x^2y^6 - y^7$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确两个核心规则：①按某字母的降幂排列是将多项式所有项按该字母的指数从大到小排序，升幂排列则是按该字母的指数从小到大排序；②排列时每个项要连同它前面的符号一起移动，不含指定字母的项，可看作该字母的指数为0的项。第一问按x的降幂排列时，先找每一项x的指数，再从大到小排序即可；第二问按y的升幂排列时，先找每一项y的指数，再从小到大排序即可。
【解析】
先列出多项式的所有项：$5x^4y^2$、$+xy$、$-2x^2y^6$、$-y^7$、$-x^6$。
(1) 统计每一项中x的指数：$-x^6$中x的指数为6，$5x^4y^2$中x的指数为4，$-2x^2y^6$中x的指数为2，$xy$中x的指数为1，$-y^7$中x的指数为0。按x的指数从大到小排列，得到结果。
(2) 统计每一项中y的指数：$-x^6$中y的指数为0，$xy$中y的指数为1，$5x^4y^2$中y的指数为2，$-2x^2y^6$中y的指数为6，$-y^7$中y的指数为7。按y的指数从小到大排列，得到结果。
【答案】
(1) $-x^6 + 5x^4y^2 - 2x^2y^6 + xy - y^7$
(2) $-x^6 + xy + 5x^4y^2 - 2x^2y^6 - y^7$
【知识点】
多项式的项，降幂排列，升幂排列
【点评】
本题是多项式排列的基础题型，解题的关键是牢记升降幂排列的规则，注意排列时必须携带每一项的符号，不能遗漏任何项，不含指定字母的项可视为该字母指数为0的项参与排序。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先需明确两个核心规则：①按某字母的降幂排列是将多项式所有项按该字母的指数从大到小排序，升幂排列则是按该字母的指数从小到大排序；②排列时每个项要连同它前面的符号一起移动，不含指定字母的项，可看作该字母的指数为0的项。第一问按x的降幂排列时，先找每一项x的指数，再从大到小排序即可；第二问按y的升幂排列时，先找每一项y的指数，再从小到大排序即可。
【解析】
先列出多项式的所有项：$5x^4y^2$、$+xy$、$-2x^2y^6$、$-y^7$、$-x^6$。
(1) 统计每一项中x的指数：$-x^6$中x的指数为6，$5x^4y^2$中x的指数为4，$-2x^2y^6$中x的指数为2，$xy$中x的指数为1，$-y^7$中x的指数为0。按x的指数从大到小排列，得到结果。
(2) 统计每一项中y的指数：$-x^6$中y的指数为0，$xy$中y的指数为1，$5x^4y^2$中y的指数为2，$-2x^2y^6$中y的指数为6，$-y^7$中y的指数为7。按y的指数从小到大排列，得到结果。
【答案】
(1) $-x^6 + 5x^4y^2 - 2x^2y^6 + xy - y^7$
(2) $-x^6 + xy + 5x^4y^2 - 2x^2y^6 - y^7$
【知识点】
多项式的项，降幂排列，升幂排列
【点评】
本题是多项式排列的基础题型，解题的关键是牢记升降幂排列的规则，注意排列时必须携带每一项的符号，不能遗漏任何项，不含指定字母的项可视为该字母指数为0的项参与排序。
【难度系数】
0.85
例2 当$x=-1$时，求多项式$3x^2+3-x-4x^2+3x+5$的值.
【思路导析】先合并同类项，再代入字母求值.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】先合并同类项，再代入字母求值.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
先合并同类项：
$\begin{aligned}&3x^2 + 3 - x - 4x^2 + 3x + 5\\=&(3x^2 - 4x^2) + (-x + 3x) + (3 + 5)\\=&-x^2 + 2x + 8\end{aligned}$
当$x=-1$时，代入得：
$\begin{aligned}原式&=-(-1)^2 + 2×(-1) + 8\\&=-1 - 2 + 8\\&=5\end{aligned}$
先合并同类项：
$\begin{aligned}&3x^2 + 3 - x - 4x^2 + 3x + 5\\=&(3x^2 - 4x^2) + (-x + 3x) + (3 + 5)\\=&-x^2 + 2x + 8\end{aligned}$
当$x=-1$时，代入得：
$\begin{aligned}原式&=-(-1)^2 + 2×(-1) + 8\\&=-1 - 2 + 8\\&=5\end{aligned}$
解析
【分析】
求多项式的值时，若直接代入数值计算，项数多、计算量大且容易出错，因此优先选择先化简再求值的思路：第一步先合并多项式中的同类项，将x²项、x的一次项、常数项分别归类合并，得到最简整式；第二步再将x=-1代入化简后的式子计算结果，能大幅简化计算过程。
【解析】
先对多项式合并同类项化简：
$\begin{aligned}&3x^2 + 3 - x - 4x^2 + 3x + 5\\=&(3x^2 - 4x^2) + (-x + 3x) + (3 + 5)\\=&-x^2 + 2x + 8\end{aligned}$
再将$x=-1$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=-(-1)^2 + 2×(-1) + 8\\&=-1 - 2 + 8\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
合并同类项；整式化简求值；代数式求值
【点评】
本题是整式加减的基础典型题，重点考查“先化简再求值”的解题方法，熟练掌握合并同类项的法则是解题核心，通过化简能有效降低计算复杂度，减少符号类计算错误。
【难度系数】
0.8
求多项式的值时，若直接代入数值计算，项数多、计算量大且容易出错，因此优先选择先化简再求值的思路：第一步先合并多项式中的同类项，将x²项、x的一次项、常数项分别归类合并，得到最简整式；第二步再将x=-1代入化简后的式子计算结果，能大幅简化计算过程。
【解析】
先对多项式合并同类项化简：
$\begin{aligned}&3x^2 + 3 - x - 4x^2 + 3x + 5\\=&(3x^2 - 4x^2) + (-x + 3x) + (3 + 5)\\=&-x^2 + 2x + 8\end{aligned}$
再将$x=-1$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=-(-1)^2 + 2×(-1) + 8\\&=-1 - 2 + 8\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
合并同类项；整式化简求值；代数式求值
【点评】
本题是整式加减的基础典型题，重点考查“先化简再求值”的解题方法，熟练掌握合并同类项的法则是解题核心，通过化简能有效降低计算复杂度，减少符号类计算错误。
【难度系数】
0.8
例3 有这样的一道题:“当$x=\frac{1}{4},y=2025$时,求多项式$7x^3 -6x^3y +3x^2y +3x^3 +6x^3y -3x^2y -10x^3 +3$的值.”小聪同学说题目中给出的条件$x=\frac{1}{4},y=2025$是多余的,他的说法有道理吗?为什么?
【思路导析】化简多项式,如果结果不含$x,y$,就说明所给的条件是多余的.
【规范解答】小聪的说法有道理.理由如下:
因为$7x^3 -6x^3y +3x^2y +3x^3 +6x^3y -3x^2y -10x^3 +3=(7+3-10)x^3 +(6-6)x^3y +(3-3)x^2y +3=3$,所以无论$x,y$取何值,此多项式的值总等于3.
即此多项式的值与$x,y$的取值无关,故小聪的说法有道理.
【变式探究】
1.先化简,再求值:$\frac{3}{2}a^2 -2a -\frac{5}{2}a^2 +6a -5$,其中$a=2$.
2.已知式子$3x^2 -4x +6$的值为0,则$x^2 -3x +4 +2x^2 -x +8$的值是多少?
【学后反思】
1.“先化简,后求值”是求多项式的值的一般方法.
2.代入求值时,一定要遵循代数式的运算顺序.
【思路导析】化简多项式,如果结果不含$x,y$,就说明所给的条件是多余的.
【规范解答】小聪的说法有道理.理由如下:
因为$7x^3 -6x^3y +3x^2y +3x^3 +6x^3y -3x^2y -10x^3 +3=(7+3-10)x^3 +(6-6)x^3y +(3-3)x^2y +3=3$,所以无论$x,y$取何值,此多项式的值总等于3.
即此多项式的值与$x,y$的取值无关,故小聪的说法有道理.
【变式探究】
1.先化简,再求值:$\frac{3}{2}a^2 -2a -\frac{5}{2}a^2 +6a -5$,其中$a=2$.
2.已知式子$3x^2 -4x +6$的值为0,则$x^2 -3x +4 +2x^2 -x +8$的值是多少?
【学后反思】
1.“先化简,后求值”是求多项式的值的一般方法.
2.代入求值时,一定要遵循代数式的运算顺序.
答案
例3解答
解：小聪的说法有道理，理由如下：
对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&7x^3 -6x^3y +3x^2y +3x^3 +6x^3y -3x^2y -10x^3 +3\\=&(7+3-10)x^3 + (-6+6)x^3y + (3-3)x^2y +3\\=&0+0+0+3\\=&3\end{aligned}$
化简结果为常数3，不含字母$x$和$y$，说明该多项式的值与$x,y$的取值无关，因此题目给出的$x=\frac{1}{4},y=2025$的条件是多余的，小聪的说法有道理。
---
变式探究1解答
解：先化简多项式：
$\begin{aligned}&\frac{3}{2}a^2 -2a -\frac{5}{2}a^2 +6a -5\\=&(\frac{3}{2}-\frac{5}{2})a^2 + (-2+6)a -5\\=&-a^2 +4a -5\end{aligned}$
将$a=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-2^2 +4×2 -5\\&=-4+8-5\\&=-1\end{aligned}$
---
变式探究2解答
解：先对所求式子合并同类项：
$\begin{aligned}&x^2 -3x +4 +2x^2 -x +8\\=&(1+2)x^2 + (-3-1)x + (4+8)\\=&3x^2 -4x +12\end{aligned}$
已知$3x^2 -4x +6=0$，移项可得$3x^2 -4x = -6$，
将$3x^2 -4x = -6$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-6 +12\\&=6\end{aligned}$
解：小聪的说法有道理，理由如下：
对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&7x^3 -6x^3y +3x^2y +3x^3 +6x^3y -3x^2y -10x^3 +3\\=&(7+3-10)x^3 + (-6+6)x^3y + (3-3)x^2y +3\\=&0+0+0+3\\=&3\end{aligned}$
化简结果为常数3，不含字母$x$和$y$，说明该多项式的值与$x,y$的取值无关，因此题目给出的$x=\frac{1}{4},y=2025$的条件是多余的，小聪的说法有道理。
---
变式探究1解答
解：先化简多项式：
$\begin{aligned}&\frac{3}{2}a^2 -2a -\frac{5}{2}a^2 +6a -5\\=&(\frac{3}{2}-\frac{5}{2})a^2 + (-2+6)a -5\\=&-a^2 +4a -5\end{aligned}$
将$a=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-2^2 +4×2 -5\\&=-4+8-5\\&=-1\end{aligned}$
---
变式探究2解答
解：先对所求式子合并同类项：
$\begin{aligned}&x^2 -3x +4 +2x^2 -x +8\\=&(1+2)x^2 + (-3-1)x + (4+8)\\=&3x^2 -4x +12\end{aligned}$
已知$3x^2 -4x +6=0$，移项可得$3x^2 -4x = -6$，
将$3x^2 -4x = -6$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-6 +12\\&=6\end{aligned}$
解析
【分析】
这组题围绕整式的加减运算展开，核心解题思路是先合并同类项化简多项式：1.例3只需合并多项式中的同类项，若化简结果为常数，说明多项式的值与x、y的取值无关，即可判断给出的x、y条件是否多余；2.变式1先合并同类项得到最简多项式，再代入a的值计算，比直接代入原式计算更简便；3.变式2先化简所求多项式，发现其包含已知的整式部分，通过整体代入的方法求值，无需单独计算x的值。
【解析】
例3解答
小聪的说法有道理，理由如下：
对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&7x^3 -6x^3y +3x^2y +3x^3 +6x^3y -3x^2y -10x^3 +3\\=&(7+3-10)x^3 + (-6+6)x^3y + (3-3)x^2y +3\\=&0+0+0+3\\=&3\end{aligned}$
化简结果为常数3，不含字母x和y，说明该多项式的值与x,y的取值无关，因此题目给出的$x=\frac{1}{4},y=2025$的条件是多余的，小聪的说法有道理。
变式探究1解答
先化简多项式：
$\begin{aligned}&\frac{3}{2}a^2 -2a -\frac{5}{2}a^2 +6a -5\\=&(\frac{3}{2}-\frac{5}{2})a^2 + (-2+6)a -5\\=&-a^2 +4a -5\end{aligned}$
将$a=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-2^2 +4×2 -5\\&=-4+8-5\\&=-1\end{aligned}$
变式探究2解答
先对所求式子合并同类项：
$\begin{aligned}&x^2 -3x +4 +2x^2 -x +8\\=&(1+2)x^2 + (-3-1)x + (4+8)\\=&3x^2 -4x +12\end{aligned}$
已知$3x^2 -4x +6=0$，移项可得$3x^2 -4x = -6$，
将$3x^2 -4x = -6$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-6 +12\\&=6\end{aligned}$
【答案】
例3：小聪的说法有道理，多项式值恒为3，与x、y取值无关；
变式1：$\boldsymbol{-1}$；
变式2：$\boldsymbol{6}$
【知识点】
合并同类项，整式加减运算，代数式求值
【点评】
这组题是整式加减的典型应用，突出了“先化简、再处理”的解题思路，既可以简化计算过程，还可以通过整体代入法避开未知量的求解，能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
这组题围绕整式的加减运算展开，核心解题思路是先合并同类项化简多项式：1.例3只需合并多项式中的同类项，若化简结果为常数，说明多项式的值与x、y的取值无关，即可判断给出的x、y条件是否多余；2.变式1先合并同类项得到最简多项式，再代入a的值计算，比直接代入原式计算更简便；3.变式2先化简所求多项式，发现其包含已知的整式部分，通过整体代入的方法求值，无需单独计算x的值。
【解析】
例3解答
小聪的说法有道理，理由如下：
对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&7x^3 -6x^3y +3x^2y +3x^3 +6x^3y -3x^2y -10x^3 +3\\=&(7+3-10)x^3 + (-6+6)x^3y + (3-3)x^2y +3\\=&0+0+0+3\\=&3\end{aligned}$
化简结果为常数3，不含字母x和y，说明该多项式的值与x,y的取值无关，因此题目给出的$x=\frac{1}{4},y=2025$的条件是多余的，小聪的说法有道理。
变式探究1解答
先化简多项式：
$\begin{aligned}&\frac{3}{2}a^2 -2a -\frac{5}{2}a^2 +6a -5\\=&(\frac{3}{2}-\frac{5}{2})a^2 + (-2+6)a -5\\=&-a^2 +4a -5\end{aligned}$
将$a=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-2^2 +4×2 -5\\&=-4+8-5\\&=-1\end{aligned}$
变式探究2解答
先对所求式子合并同类项：
$\begin{aligned}&x^2 -3x +4 +2x^2 -x +8\\=&(1+2)x^2 + (-3-1)x + (4+8)\\=&3x^2 -4x +12\end{aligned}$
已知$3x^2 -4x +6=0$，移项可得$3x^2 -4x = -6$，
将$3x^2 -4x = -6$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-6 +12\\&=6\end{aligned}$
【答案】
例3：小聪的说法有道理，多项式值恒为3，与x、y取值无关；
变式1：$\boldsymbol{-1}$；
变式2：$\boldsymbol{6}$
【知识点】
合并同类项，整式加减运算，代数式求值
【点评】
这组题是整式加减的典型应用，突出了“先化简、再处理”的解题思路，既可以简化计算过程，还可以通过整体代入法避开未知量的求解，能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
