1.(1)x 的2倍与 x 的$\frac{1}{2}$的和是；
(2)某校男生占学生总数的56%，女生人数是a人，学生总数为人。

(1) $\boldsymbol{\frac{5}{2}x}$；(2) $\boldsymbol{\frac{25a}{11}}$

【分析】
对于(1)，先分别表示出x的2倍和x的$\frac{1}{2}$，再将两者相加，合并同类项即可得到结果；对于(2)，先根据男生占比求出女生占学生总数的比例，再用女生人数除以女生对应的占比，最后化简为最简分数形式就能求出学生总数。
【解析】
(1) x的2倍可表示为$2x$，x的$\frac{1}{2}$可表示为$\frac{1}{2}x$，两者的和为：
$2x + \frac{1}{2}x = (\frac{4}{2}+\frac{1}{2})x = \frac{5}{2}x$
(2) 男生占学生总数的56%，则女生占学生总数的比例为：
$1-56\%=44\%=\frac{44}{100}=\frac{11}{25}$
已知女生人数为a人，学生总数=女生人数÷女生占总数的比例，即：
$a÷\frac{11}{25}=a×\frac{25}{11}=\frac{25a}{11}$
【答案】
(1) $\frac{5}{2}x$；(2) $\frac{25a}{11}$
【知识点】
列代数式、合并同类项、百分数应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根据数量关系列代数式的能力，解题时要注意占比和对应数量的匹配关系，保证同类项合并、分数运算的准确性。
【难度系数】
0.85

2.合并同类项$-2^n y^3 x^n$与$3x^2 y^3$的结果为。

解：
因为$-2^n y^3 x^n$与$3x^2 y^3$是同类项，
所以$n=2$。
则$-2^n = -2^2 = -4$，
合并同类项得：
$-2^n y^3 x^n + 3x^2 y^3 = -4x^2 y^3 + 3x^2 y^3 = (-4+3)x^2 y^3 = -x^2 y^3$
最终结果为$\boldsymbol{-x^2 y^3}$。

【分析】
要合并两个单项式，首先要明确它们是同类项，根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项。观察两个项，都含有x、y，且y的指数都是3，因此x的指数必须相等，据此可先求出n的值，再代入计算两个项的系数和，合并时保持字母和字母的指数不变即可得到结果。
【解析】
∵ $-2^n y^3 x^n$与$3x^2 y^3$可合并，说明二者是同类项
∴ 相同字母x的指数相等，即$n=2$
将$n=2$代入$-2^n y^3 x^n$，可得：$-2^2 x^2 y^3=-4x^2 y^3$
合并同类项，系数相加，字母和指数不变：
$-4x^2 y^3 + 3x^2 y^3 = (-4+3)x^2 y^3 = -x^2 y^3$
【答案】
$-x^2 y^3$
【知识点】
同类项的定义；合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，解题关键是先根据同类项的定义求出未知指数n的值，再按照合并同类项的规则运算，易错点是计算$-2^2$时容易误算为4，需要注意符号的运算。
【难度系数】
0.8

3.把多项式$xy - \frac{2}{3}x^2y^2 + \frac{3}{5}x^3y - \frac{1}{2}x + 10$按x降幂排列：。

解：$\frac{3}{5}x^3y - \frac{2}{3}x^2y^2 + xy - \frac{1}{2}x + 10$

【分析】
要解决按x降幂排列多项式的问题，首先明确按x降幂排列的定义：将多项式的各项按照x的指数从大到小的顺序排列。解题思路分三步：①拆分多项式的所有项，注意保留每项前的正负号；②分别找出每一项中x的指数；③按x的指数从大到小重新排列各项，指数相同的项顺序可按原式习惯排列，常数项x的指数为0，排在最后。
【解析】
首先拆分多项式的各项为：$xy$，$-\frac{2}{3}x^2y^2$，$\frac{3}{5}x^3y$，$-\frac{1}{2}x$，$10$。
分别确定每一项中x的指数：
$\frac{3}{5}x^3y$中x的指数为3；
$-\frac{2}{3}x^2y^2$中x的指数为2；
$xy$中x的指数为1；
$-\frac{1}{2}x$中x的指数为1；
常数项10中x的指数为0。
按x的指数从大到小排列各项，保留每项的符号，得到对应排列结果。
【答案】
$\frac{3}{5}x^3y - \frac{2}{3}x^2y^2 + xy - \frac{1}{2}x + 10$
【知识点】
多项式的降幂排列，单项式的次数，多项式的项
【点评】
本题考查多项式按指定字母降幂排列的应用，解题关键是注意排列时要将每项连同它前面的符号一起移动，不能遗漏符号，同时要明确是按哪个字母的指数排序，不要混淆不同字母的次数。
【难度系数】
0.85

4. 计算$3x^2 - x^2$的结果是()

A.2
B.$2x^2$
C.$2x$
D.$4x^2$

B

【分析】
本题考查合并同类项运算，解题思路如下：第一步先判断式子中的两项是否为同类项：$3x^2$和$-x^2$所含字母都是x，且x的指数都是2，符合同类项的定义，可以合并；第二步根据合并同类项的法则，只把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，计算系数的结果后保留字母部分即可得到答案。
【解析】
首先判定$3x^2$与$-x^2$是同类项，根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
计算系数部分：$3 + (-1) = 2$，字母部分保留$x^2$，因此$3x^2 - x^2 = 2x^2$。
【答案】
B
【知识点】
同类项的定义、合并同类项法则
【点评】
本题属于整式加减的基础题型，核心考查合并同类项的基本运算规则，熟练掌握同类项的判定和合并方法即可快速求解，是整式运算的常规基础考点。
【难度系数】
0.9

5.把多项式$2x^2 -5x +x^2 +4x -3x^2$合并同类项后，所得的结果是()

A.单项式
B.一次二项式
C.二次三项式
D.二次二项式

A

【分析】
这道题需要先对多项式合并同类项，再根据整式的分类判断结果类型。解题思路为：第一步先识别多项式中的同类项，即所含字母相同、相同字母指数也相同的项；第二步按照合并同类项法则（系数相加减，字母和字母的指数不变）合并所有同类项；第三步根据合并后的结果判断整式类型，对应选项选出答案。
【解析】
首先找出多项式中的同类项：
含$x^2$的项：$2x^2$、$x^2$、$-3x^2$
含$x$的项：$-5x$、$4x$
按照合并同类项法则计算：
$\begin{aligned}&2x^2 -5x +x^2 +4x -3x^2\\=&(2x^2 +x^2 -3x^2) + (-5x +4x)\\=&(2+1-3)x^2 + (-5+4)x\\=&0 -x\\=&-x\end{aligned}$
$-x$是数与字母的乘积，属于单项式，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1.合并同类项 2.单项式的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查合并同类项的法则应用，以及对单项式、多项式概念的区分，熟练掌握合并同类项的基本方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.9

6.某服装店以每套$a$元的价格购进100套西服，然后将进价提高20%作为销售价，销售50套后，余下部分按销售价的8折出售，售完后，获得的利润是()

A.$6a$元
B.$8a$元
C.$10a$元
D.$12a$元

B

【分析】
要计算售完100套西服的利润，需先明确“利润=总售价-总成本”的数量关系。首先计算购进100套西服的总成本，再分两部分计算总售价：前50套按提价20%后的价格销售，后50套按原销售价打8折销售，最后用总售价减去总成本即可得到利润。
【解析】
第一步：计算总成本
购进100套西服，每套进价a元，总成本为：$100 × a = 100a$（元）
第二步：计算前50套的总售价
提价20%后的销售单价为：$a × (1+20\%) = 1.2a$（元）
前50套总售价为：$50 × 1.2a = 60a$（元）
第三步：计算余下50套的总售价
8折后的销售单价为：$1.2a × 0.8 = 0.96a$（元）
余下50套总售价为：$50 × 0.96a = 48a$（元）
第四步：计算总利润
总售价为：$60a + 48a = 108a$（元）
利润=总售价-总成本，即$108a - 100a = 8a$（元）
【答案】
B
【知识点】
列代数式，整式加减运算，销售利润计算
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题核心是理清成本、不同阶段售价、销售额之间的数量关系，注意打折是在原销售价的基础上计算，避免混淆打折的基数即可正确解答。
【难度系数】
0.8

7.若代数式$mx^2 +5y^2 -2x^2 +3$的值与字母x的取值无关，则m的值是（）

A.－5
B.5
C.2
D.－2

C

【分析】
要解决这道题，首先要理解“代数式的值与x的取值无关”的含义：即代数式中所有含x的项的系数之和为0，这样无论x取何值，含x的项整体都为0，不会影响代数式的最终结果。解题时先对代数式中的同类项进行合并，找到含x的项的系数，令其等于0即可求出m的值。
【解析】
首先对代数式合并同类项：
$mx^2 +5y^2 -2x^2 +3 = (m-2)x^2 + 5y^2 + 3$
因为代数式的值与字母x的取值无关，所以含$x^2$项的系数必须为0，即：
$m - 2 = 0$
解得：$m = 2$
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；整式取值无关的性质
【点评】
本题是整式加减部分的基础常考题，核心是理解“代数式的值与某个字母无关”等价于该字母的所有同类项的系数和为0，掌握这一规律就能快速求解此类问题。
【难度系数】
0.7

8.化简求值：
$5x^2y^2 + \frac{1}{4}xy - 2x^2y^2 - \frac{1}{6}xy - 3x^2y^2, \mathrm{其中}$
$x=3, y=-4;$

解：
原式$=(5x^2y^2 - 2x^2y^2 - 3x^2y^2) + (\frac{1}{4}xy - \frac{1}{6}xy)$
$= 0 + \frac{3}{12}xy - \frac{2}{12}xy$
$= \frac{1}{12}xy$
当$x=3$，$y=-4$时，
原式$= \frac{1}{12} × 3 × (-4) = -1$

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题核心思路是先合并同类项简化原式，再代入数值计算，避免直接代入带来的繁杂运算。首先识别式子中的同类项：所有含$x^2y^2$的项是同类项，所有含$xy$的项是同类项；接下来根据合并同类项法则，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；最后将$x$、$y$的值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：首先对原式合并同类项：
原式$=(5x^2y^2 - 2x^2y^2 - 3x^2y^2) + (\frac{1}{4}xy - \frac{1}{6}xy)$
$= (5-2-3)x^2y^2 + (\frac{3}{12} - \frac{2}{12})xy$
$= 0 + \frac{1}{12}xy$
$= \frac{1}{12}xy$
将$x=3$，$y=-4$代入化简后的式子：
原式$= \frac{1}{12} × 3 × (-4) = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
合并同类项，整式加减运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考察同类项的识别与合并法则，先化简再求值的解题思路能大幅减少计算量，降低运算出错的概率，是整式加减部分需要熟练掌握的基本技能。
【难度系数】
0.85

9.(1)求$\frac{1}{2}m^2n + 2mn - 3nm^2 - 3nm + 4m^2n$的值，其中$m$是最小的正整数，$n$的绝对值等于1；
(2)已知$x^2 - \frac{5}{2}x =6$，求$2x^2 -5x +6$的值。

解：
(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}m^2n + 2mn - 3nm^2 - 3nm + 4m^2n\\=&(\frac{1}{2} - 3 + 4)m^2n + (2 - 3)mn\\=&\frac{3}{2}m^2n - mn\end{aligned}$
因为m是最小的正整数，所以$m=1$。
由$|n|=1$，得$n=1$或$n=-1$。
当$m=1,n=1$时，原式$=\frac{3}{2}×1^2×1 - 1×1=\frac{1}{2}$；
当$m=1,n=-1$时，原式$=\frac{3}{2}×1^2×(-1) - 1×(-1)=-\frac{1}{2}$。
(2) 已知$x^2 - \frac{5}{2}x = 6$，等式两边同乘2，得：
$2x^2 - 5x = 12$
将$2x^2 -5x=12$代入$2x^2 -5x +6$，得：
$2x^2 -5x +6 = 12 + 6 = 18$

【分析】
(1) 整式求值类问题优先考虑先化简再计算：先识别出原式中的同类项，合并同类项得到最简整式，再根据条件确定字母取值：最小的正整数是1，因此m=1；绝对值等于1的数有1和-1两个，因此n需要分两种情况分类代入计算，避免漏解。
(2) 观察所求代数式和已知等式的结构关系，发现所求式中$2x^2-5x$是已知式$x^2-\frac{5}{2}x$的2倍，因此无需解出x的值，直接对已知等式变形得到$2x^2-5x$的值，再整体代入所求式子计算即可，简化运算过程。
【解析】
(1) 先合并同类项化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}m^2n + 2mn - 3nm^2 - 3nm + 4m^2n\\=&(\frac{1}{2} - 3 + 4)m^2n + (2 - 3)mn\\=&\frac{3}{2}m^2n - mn\end{aligned}$
因为m是最小的正整数，所以$m=1$。
由$|n|=1$，得$n=1$或$n=-1$。
当$m=1,n=1$时，原式$=\frac{3}{2}×1^2×1 - 1×1=\frac{1}{2}$；
当$m=1,n=-1$时，原式$=\frac{3}{2}×1^2×(-1) - 1×(-1)=-\frac{1}{2}$。
(2) 已知$x^2 - \frac{5}{2}x = 6$，等式两边同乘2，得：
$2x^2 - 5x = 12$
将$2x^2 -5x=12$代入$2x^2 -5x +6$，得：
$2x^2 -5x +6 = 12 + 6 = 18$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$；(2) $18$
【知识点】
合并同类项，整式化简求值，整体代入法
【点评】
这两道题是整式运算的常规题型，第一问需要注意绝对值对应两个取值，分类讨论避免漏解；第二问考察整体代入思想，无需解出未知数即可求出结果，能大幅简化计算。
【难度系数】
0.7

10.如果整式A与整式B的和为一个有理数a，那么称A，B为数a的“友好整式”.例如：$x-4$与$-x+5$为数1的“友好整式”.若关于x的整式$4x^3 - kx^2 + 6$与$-4x^3 - 3x^m + k - 1$为数n的“友好整式”，求$mn$的值.

解：
先计算两个整式的和：
$\begin{aligned}&(4x^3 - kx^2 + 6) + (-4x^3 - 3x^m + k - 1)\\=&4x^3 - kx^2 + 6 - 4x^3 - 3x^m + k - 1\\=&-kx^2 - 3x^m + k + 5\end{aligned}$
由“友好整式”的定义可知，两个整式的和为有理数$n$，即结果不含字母$x$，因此所有含$x$的项需完全抵消：
可得$m=2$，且$-k - 3 = 0$，
解得$k=-3$。
此时和为$k+5=-3+5=2$，即$n=2$。
因此$mn=2×2=4$。

【分析】
解题首先需要明确“友好整式”的定义：两个整式相加的和为有理数，意味着合并同类项后，结果中所有含字母x的项都完全抵消，仅剩下常数项。解题思路如下：第一步先计算两个整式的和，合并同类项；第二步根据和不含x的特征，可知剩余含x的两项次数必须相同，且系数相加为0，据此求出m和k的值；第三步计算得到和的常数项即为n，最后代入计算mn的数值即可。
【解析】
先计算两个整式的和：
$\begin{aligned}&(4x^3 - kx^2 + 6) + (-4x^3 - 3x^m + k - 1)\\=&4x^3 - kx^2 + 6 - 4x^3 - 3x^m + k - 1\\=&-kx^2 - 3x^m + k + 5\end{aligned}$
根据“友好整式”的定义，两个整式的和为有理数$n$，即结果不含字母$x$，因此所有含$x$的项需完全抵消：
可得两个含$x$的项为同类项，即$m=2$，且系数和为0：$-k - 3 = 0$，
解得$k=-3$。
此时和为常数项$k+5=-3+5=2$，即$n=2$。
因此$mn=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
新定义运算，整式的加减，同类项
【点评】
本题将新定义与整式加减运算结合考查，解题关键是准确理解“友好整式”的含义，抓住“和为有理数即不含字母项”的核心特征，结合同类项的性质求解参数，整体考查基础，运算难度不大。
【难度系数】
0.7