1. ⊙O的半径为5 cm，点A在⊙O外，则AO的长可以是 （）

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

1.D

【分析】
解决本题首先要明确点与圆的位置关系的判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d＞r则点在圆外，d=r则点在圆上，d＜r则点在圆内。本题已知圆的半径为5cm，点A在圆外，因此点A到圆心的距离AO需要大于半径5cm，只需从选项中找出大于5cm的数值即可。
【解析】
设⊙O的半径为r，点A到圆心O的距离AO为d。
由题意可知，r=5cm，
∵点A在⊙O外，
∴根据点与圆的位置关系判定规则可得d＞r，即AO＞5cm。
逐一分析选项：
A.3cm＜5cm，不符合要求；
B.4cm＜5cm，不符合要求；
C.5cm=5cm，此时点A在圆上，不符合要求；
D.6cm＞5cm，符合要求。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查点与圆位置关系的判定，只要熟练掌握不同位置下点到圆心的距离和半径的大小对应关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2.如果$\odot O$是以原点O为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆，则点A(1,1)与$\odot O$的位置关系是 （）

A.点A在$\odot O$内
B.点A在$\odot O$外
C.点A在$\odot O$上
D.无法确定

2.C

【分析】
要判断点与圆的位置关系，只需计算点到圆心的距离，再与圆的半径比较即可：若距离小于半径，点在圆内；等于半径，点在圆上；大于半径，点在圆外。本题中已知圆心为原点、半径为$\sqrt{2}$，因此先计算点A到原点的距离，再和半径比较就能得出结论。
【解析】
由题意可知，$\odot O$的圆心为原点$O(0,0)$，半径$r=\sqrt{2}$。
根据平面直角坐标系中两点间的距离公式，点$A(1,1)$到圆心$O$的距离为：
$OA=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
可得$OA=r$，因此点$A$在$\odot O$上。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.点与圆的位置关系判定
2.两点间距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点与圆位置关系的判定方法，熟练掌握距离计算和判定规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3.(2025·宿迁沭阳县期末)已知$\odot O$的半径是$x^2 -5x -24=0$的根，且点A到圆心O的距离为6，则点A在 （）

A.$\odot O$上
B.$\odot O$内
C.$\odot O$外
D.无法确定

3.B

【分析】
要判断点A与$\odot O$的位置关系，需先求出$\odot O$的半径：第一步先解给定的一元二次方程得到方程的根，结合半径为正数的隐含条件筛选出符合要求的半径；第二步将点A到圆心的距离与半径比较大小，根据点与圆位置关系的判定规则即可得出结论。
【解析】
1. 求解一元二次方程$x^2 -5x -24=0$：
对左边因式分解得：$(x-8)(x+3)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=-3$
因为圆的半径为正数，所以$\odot O$的半径$r=8$。
2. 比较点到圆心的距离与半径的大小：
已知点A到圆心O的距离$d=6$，显然$6＜8$，即$d＜r$。
根据点与圆的位置关系判定规则：当$d＜r$时，点在圆内，因此点A在$\odot O$内。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题时要注意圆的半径为正数这一隐含条件，先准确求解得到半径，再结合点到圆心的距离与半径的大小关系判断位置即可。
【难度系数】
0.8

4.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，6为半径画圆，点$P(-3,4)$是坐标系内一点.
(1)点$P$与$\odot O$的位置关系是________；
(2)点$P$到$\odot O$上的各点距离的最大值为________，最小值为________.

4.(1)点P在⊙O内 (2)11 1

【分析】
(1)判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离$d$与圆半径$r$的大小：$d＜r$时点在圆内，$d=r$时点在圆上，$d＞r$时点在圆外。首先用勾股定理计算点$P$到原点$O$的距离$OP$，再和半径6比较即可得到位置关系。
(2)若点在圆内，点到圆上各点的距离最大值为半径与$d$的和，最小值为半径与$d$的差，原理是过该点和圆心的直线与圆的两个交点，分别对应距离的最大值和最小值，代入数值计算即可。
【解析】
(1)已知圆心$O$为坐标原点，点$P$坐标为$(-3,4)$，根据勾股定理可得：
$OP=\sqrt{(-3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
∵$\odot O$的半径$r=6$，$5＜6$，即$OP＜r$
∴点$P$在$\odot O$内。
(2)
∵点$P$在$\odot O$内部，过点$P$、圆心$O$作直线与$\odot O$交于两点，较近交点到$P$的距离为最小值，较远交点到$P$的距离为最大值。
∴距离最大值为$r+OP=6+5=11$，距离最小值为$r-OP=6-5=1$。
【答案】
(1)点P在$\odot O$内；(2)11；1
【知识点】
1.点与圆的位置关系判定
2.勾股定理
3.点到圆上点的距离最值
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是牢记点与圆位置关系的判定方法，以及圆内一点到圆上点的距离最值规律，计算难度低，掌握基础结论即可快速解答。
【难度系数】
0.85

5.(2025·锡山期中)如图,矩形ABCD的边AB=6 cm,AD=8 cm.
(1)以点A为圆心,8 cm为半径作$\odot A$,求点B,C,D与$\odot A$的位置关系;
(2)若以点A为圆心作$\odot A$,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一点在圆外,求$\odot A$的半径r的取值范围.

5.解:(1)如答图所示,连接AC.

∵在矩形ABCD中,AB=6 cm,AD=8 cm,
∴AD=BC=8 cm,AB=CD=6 cm,∠B=90°,
∴AC=$\sqrt{6^2+8^2}$=10(cm).
∵AB=6 cm＜8 cm,
∴点B在⊙A内.
∵AD=8 cm,
∴点D在⊙A上.
∵AC=10 cm＞8 cm,
∴点C在⊙A外.
(2)
∵以点A为圆心作⊙A,使B,C,D三点中至少有一个点在圆内,且至少有一点在圆外,
∴⊙A的半径r的取值范围是6 cm＜r＜10 cm.

【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离$d$与圆半径$r$的大小：$d＜r$时点在圆内，$d=r$时点在圆上，$d＞r$时点在圆外。
(1) 本题圆心为点$A$，$AB$、$AD$的长度已知，还需计算点$C$到$A$的距离即矩形对角线$AC$的长度，可利用矩形内角为直角的性质结合勾股定理求解，再分别将三个点到$A$的距离与半径$8\mathrm{cm}$比较即可得到位置关系。
(2) 要满足三点中至少一个在圆内、至少一个在圆外，只需让半径$r$大于三点到$A$的最小距离，小于三点到$A$的最大距离即可，先找到三个点到$A$的距离的最值，再确定$r$的范围。
【解析】
(1) 如答图所示，连接$AC$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AD=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=BC=8\ \mathrm{cm}$，$AB=CD=6\ \mathrm{cm}$，$∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm})$。
已知$\odot A$半径$r=8\ \mathrm{cm}$：
$\because AB=6\ \mathrm{cm}＜8\ \mathrm{cm}$，$\therefore$点$B$在$\odot A$内；
$\because AD=8\ \mathrm{cm}=8\ \mathrm{cm}$，$\therefore$点$D$在$\odot A$上；
$\because AC=10\ \mathrm{cm}＞8\ \mathrm{cm}$，$\therefore$点$C$在$\odot A$外。
(2) 三点到圆心$A$的距离分别为$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AD=8\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，最小距离为$6\ \mathrm{cm}$，最大距离为$10\ \mathrm{cm}$。
要使$B$、$C$、$D$三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则半径$r$需要大于最小距离，小于最大距离，即$6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 点$B$在$\odot A$内，点$D$在$\odot A$上，点$C$在$\odot A$外；
(2) $\odot A$的半径$r$的取值范围是$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}}$。

【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查点与圆位置关系的判定，解题关键是掌握点到圆心的距离与半径的大小关系对应点和圆的三种位置，结合矩形性质和勾股定理计算各点到圆心的距离，第二问需明确半径范围的边界逻辑，是点和圆位置关系的基础应用题。
【难度系数】
0.8

6.(2025·宿迁沭阳县期末)如图，A,B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M,N两点重合成一点C，构成△ABC。设AB=x，若以点B为圆心，1.6为半径作⊙B，使点M和点N都在⊙B外，则x的取值范围是（）

A.$1＜x＜2$
B.$1＜x＜1.4$
C.$1＜x＜1.6$
D.$0.6＜x＜1.4$

6.B

【分析】
解题时首先根据旋转的性质确定△ABC各边的长度表达式，再结合两个核心限制条件列不等式求解：第一，要构成三角形，需满足三角形三边关系；第二，点M、N都在⊙B外，需满足点到圆心的距离大于圆的半径，最后取所有不等式解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
解：由题意可知，$MN=4$，$MA=1$，$AB=x$，
∴$BN=MN-MA-AB=4-1-x=3-x$，
根据旋转的性质可得：$AC=MA=1$，$BC=BN=3-x$，
∵需构成△ABC，满足三角形三边关系：
1. $AC+AB＞BC$，即$1+x＞3-x$，解得$x＞1$；
2. $AC+BC＞AB$，即$1+(3-x)＞x$，解得$x＜2$；
3. $AB+BC＞AC$，即$x+(3-x)＞1$，化简得$3＞1$，恒成立；
∴构成三角形时x的范围为$1＜x＜2$。
∵点M、N都在以B为圆心，半径为1.6的⊙B外，点在圆外等价于点到圆心的距离大于半径，
∴$\begin{cases}MB＞1.6 \\ BN＞1.6 \end{cases}$，
又
∵$MB=MA+AB=1+x$，$BN=3-x$，代入得：
$\begin{cases}1+x＞1.6 \\ 3-x＞1.6 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x＞0.6 \\ x＜1.4 \end{cases}$，
联立所有条件，取公共解集得$1＜x＜1.4$。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、旋转的性质、点与圆的位置关系
【点评】
本题综合考查多个几何基础知识点，解题关键是先根据旋转性质推导各线段的表达式，再结合对应的限制条件列不等式求解，注意最终取值范围是所有条件的公共解集，避免漏看约束条件导致出错。
【难度系数】
0.7