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7. 如图，$\odot A$的半径为3，圆心A的坐标为$(1,0)$，点$B(m,0)$在$\odot A$外，则$m$的取值范围是 （
A.$m＜4$
B.$m＞-2$
C.$-2＜m＜4$
D.$m＜-2$或$m＞4$
D
）A.$m＜4$
B.$m＞-2$
C.$-2＜m＜4$
D.$m＜-2$或$m＞4$
答案
7.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆点与圆的位置关系判定方法：点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径。首先计算点B到圆心A的距离，因为两点都在x轴上，距离为横坐标差的绝对值，再根据点在圆外的条件列不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
已知⊙A的半径$r=3$，圆心A坐标为$(1,0)$，点$B(m,0)$在⊙A外，根据点在圆外的判定条件，可得点B到圆心A的距离$AB ＞ r$：
1. 计算AB的长度：因为A、B都在x轴上，所以$AB = |m - 1|$
2. 列不等式：$|m - 1| ＞ 3$
3. 解绝对值不等式：
当$m - 1 ≥ 0$时，$m - 1 ＞ 3$，解得$m ＞ 4$；
当$m - 1 ＜ 0$时，$-(m - 1) ＞ 3$，即$m - 1 ＜ -3$，解得$m ＜ -2$。
综上，m的取值范围是$m ＜ -2$或$m ＞ 4$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系，绝对值不等式求解，平面直角坐标系两点距离
【点评】本题是基础题，核心考查点与圆的位置关系的判定规则，结合平面直角坐标系中同坐标轴上两点的距离计算，解简单绝对值不等式即可得到答案，对基础知识的掌握要求较高。
【难度系数】0.8
要解决这道题，首先回忆点与圆的位置关系判定方法：点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径。首先计算点B到圆心A的距离，因为两点都在x轴上，距离为横坐标差的绝对值，再根据点在圆外的条件列不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
已知⊙A的半径$r=3$，圆心A坐标为$(1,0)$，点$B(m,0)$在⊙A外，根据点在圆外的判定条件，可得点B到圆心A的距离$AB ＞ r$：
1. 计算AB的长度：因为A、B都在x轴上，所以$AB = |m - 1|$
2. 列不等式：$|m - 1| ＞ 3$
3. 解绝对值不等式：
当$m - 1 ≥ 0$时，$m - 1 ＞ 3$，解得$m ＞ 4$；
当$m - 1 ＜ 0$时，$-(m - 1) ＞ 3$，即$m - 1 ＜ -3$，解得$m ＜ -2$。
综上，m的取值范围是$m ＜ -2$或$m ＞ 4$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系，绝对值不等式求解，平面直角坐标系两点距离
【点评】本题是基础题，核心考查点与圆的位置关系的判定规则，结合平面直角坐标系中同坐标轴上两点的距离计算，解简单绝对值不等式即可得到答案，对基础知识的掌握要求较高。
【难度系数】0.8
8.已知点P不在$\odot O$上，若点P到$\odot O$上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则$\odot O$的半径是
6.5 cm或2.5 cm
.答案
8.6.5 cm或2.5 cm
解析
【分析】
首先，已知点P不在$\odot O$上，因此点P与圆的位置关系分为两种：点P在圆内、点P在圆外，需分类讨论求解。无论点P在圆内还是圆外，点P到圆上所有点的最小距离和最大距离，都是过点P与圆心O的直线和圆的两个交点到P的距离：最小距离是较近交点到P的长度，最大距离是较远交点到P的长度。接下来结合两种位置关系，分别推导直径的长度，再计算半径即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$内部时：
此时点P到圆上点的最大距离与最小距离之和等于圆的直径，
即直径 $=4\ \mathrm{cm}+9\ \mathrm{cm}=13\ \mathrm{cm}$，
∴ 半径 $=13÷2=6.5\ \mathrm{cm}$；
② 当点P在$\odot O$外部时：
此时点P到圆上点的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，
即直径 $=9\ \mathrm{cm}-4\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{cm}$，
∴ 半径 $=5÷2=2.5\ \mathrm{cm}$。
综上，$\odot O$的半径为6.5 cm或2.5 cm。
【答案】
6.5 cm或2.5 cm
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆的直径与半径的关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的运用，解题时容易遗漏其中一种位置关系导致漏解，做题时要全面考虑点不在圆上的所有可能情况，再结合几何性质计算即可。
【难度系数】
0.6
首先，已知点P不在$\odot O$上，因此点P与圆的位置关系分为两种：点P在圆内、点P在圆外，需分类讨论求解。无论点P在圆内还是圆外，点P到圆上所有点的最小距离和最大距离，都是过点P与圆心O的直线和圆的两个交点到P的距离：最小距离是较近交点到P的长度，最大距离是较远交点到P的长度。接下来结合两种位置关系，分别推导直径的长度，再计算半径即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$内部时：
此时点P到圆上点的最大距离与最小距离之和等于圆的直径，
即直径 $=4\ \mathrm{cm}+9\ \mathrm{cm}=13\ \mathrm{cm}$，
∴ 半径 $=13÷2=6.5\ \mathrm{cm}$；
② 当点P在$\odot O$外部时：
此时点P到圆上点的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，
即直径 $=9\ \mathrm{cm}-4\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{cm}$，
∴ 半径 $=5÷2=2.5\ \mathrm{cm}$。
综上，$\odot O$的半径为6.5 cm或2.5 cm。
【答案】
6.5 cm或2.5 cm
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆的直径与半径的关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的运用，解题时容易遗漏其中一种位置关系导致漏解，做题时要全面考虑点不在圆上的所有可能情况，再结合几何性质计算即可。
【难度系数】
0.6
9.在平面直角坐标系中,以点$M(0,3)$为圆心,5为半径画圆,点$B$的坐标为$(a,0)$.
(1)若点$B$在圆上,则$a=$
(2)若点$B$在圆外,则$a$的取值范围是
(1)若点$B$在圆上,则$a=$
±4
;(2)若点$B$在圆外,则$a$的取值范围是
a＞4或a＜-4
.答案
9.(1)±4 (2)$a＞4$或$a＜-4$
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握点与圆的位置关系判定规则：设圆半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆上等价于d=r，点在圆外等价于d＞r。解题时首先用平面直角坐标系两点间距离公式求出点B到圆心M的距离，再结合对应位置关系的条件列方程或不等式，最后求解即可。第一问根据点在圆上的条件列方程求a的值，第二问根据点在圆外的条件列不等式求a的取值范围。
【解析】
(1) 已知圆M的半径$r=5$，点$B(a,0)$在圆M上，因此点B到圆心$M(0,3)$的距离等于半径。
根据两点间距离公式：$MB=\sqrt{(a-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{a^2+9}$
由$MB=5$可得：$\sqrt{a^2+9}=5$
两边同时平方得：$a^2+9=25$
整理得$a^2=16$，解得$a=\pm4$。
(2) 若点B在圆外，则点B到圆心M的距离大于半径，即$MB＞5$。
代入距离公式得：$\sqrt{a^2+9}＞5$
左右两边均为非负数，两边同时平方不等号方向不变，得$a^2+9＞25$
整理得$a^2＞16$，解得$a＞4$或$a＜-4$。
【答案】
(1) $\pm4$；(2) $a＞4$或$a＜-4$
【知识点】
点与圆的位置关系、两点间距离公式、平方不等式解法
【点评】
本题属于点与圆位置关系的基础应用题型，解题关键是将几何位置关系转化为代数的方程或不等式求解，需要注意求解平方相关的方程或不等式时，不要遗漏负的取值。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握点与圆的位置关系判定规则：设圆半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆上等价于d=r，点在圆外等价于d＞r。解题时首先用平面直角坐标系两点间距离公式求出点B到圆心M的距离，再结合对应位置关系的条件列方程或不等式，最后求解即可。第一问根据点在圆上的条件列方程求a的值，第二问根据点在圆外的条件列不等式求a的取值范围。
【解析】
(1) 已知圆M的半径$r=5$，点$B(a,0)$在圆M上，因此点B到圆心$M(0,3)$的距离等于半径。
根据两点间距离公式：$MB=\sqrt{(a-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{a^2+9}$
由$MB=5$可得：$\sqrt{a^2+9}=5$
两边同时平方得：$a^2+9=25$
整理得$a^2=16$，解得$a=\pm4$。
(2) 若点B在圆外，则点B到圆心M的距离大于半径，即$MB＞5$。
代入距离公式得：$\sqrt{a^2+9}＞5$
左右两边均为非负数，两边同时平方不等号方向不变，得$a^2+9＞25$
整理得$a^2＞16$，解得$a＞4$或$a＜-4$。
【答案】
(1) $\pm4$；(2) $a＞4$或$a＜-4$
【知识点】
点与圆的位置关系、两点间距离公式、平方不等式解法
【点评】
本题属于点与圆位置关系的基础应用题型，解题关键是将几何位置关系转化为代数的方程或不等式求解，需要注意求解平方相关的方程或不等式时，不要遗漏负的取值。
【难度系数】
0.8
10.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=6$,$AC=8$,$N$是$AB$边的中点,$D$,$E$分别是边$AC$,$BC$上的动点,始终保持$DE=5$,$M$是$DE$的中点,则$MN$的最小值为
2.5
.答案
10.2.5
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出定点N到点C的距离CN；②分析动点M的特征：DE为定长5，△CDE是直角三角形，M是DE中点，因此CM恒等于DE的一半2.5，可知M的运动轨迹是以C为圆心、2.5为半径的圆；③根据点到圆上点的最短距离规律：点到圆上点的最小距离=点到圆心的距离-半径，即可求出MN的最小值。
【解析】
1. 计算AB和CN的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$
∵N是AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得：
$CN=\frac{1}{2}AB=5$
2. 确定动点M的轨迹：
∵$∠ C=90°$，M是DE的中点，$DE=5$，在$Rt△ CDE$中，由斜边中线性质得：
$CM=\frac{1}{2}DE=2.5$
∴点M始终在以C为圆心，半径$r=2.5$的圆上运动。
3. 求MN的最小值：
根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最小距离为该点到圆心的距离减去半径，因此：
$MN_{\mathrm{最小值}}=CN - r=5 - 2.5=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题属于动态线段最值问题，解题的核心是通过直角三角形斜边中线的性质确定动点的运动轨迹，将动态线段最小值问题转化为点到圆的最短距离问题，考查了数形结合和转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：①先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出定点N到点C的距离CN；②分析动点M的特征：DE为定长5，△CDE是直角三角形，M是DE中点，因此CM恒等于DE的一半2.5，可知M的运动轨迹是以C为圆心、2.5为半径的圆；③根据点到圆上点的最短距离规律：点到圆上点的最小距离=点到圆心的距离-半径，即可求出MN的最小值。
【解析】
1. 计算AB和CN的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$
∵N是AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得：
$CN=\frac{1}{2}AB=5$
2. 确定动点M的轨迹：
∵$∠ C=90°$，M是DE的中点，$DE=5$，在$Rt△ CDE$中，由斜边中线性质得：
$CM=\frac{1}{2}DE=2.5$
∴点M始终在以C为圆心，半径$r=2.5$的圆上运动。
3. 求MN的最小值：
根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最小距离为该点到圆心的距离减去半径，因此：
$MN_{\mathrm{最小值}}=CN - r=5 - 2.5=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题属于动态线段最值问题，解题的核心是通过直角三角形斜边中线的性质确定动点的运动轨迹，将动态线段最小值问题转化为点到圆的最短距离问题，考查了数形结合和转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2\sqrt{5},BC=4,D$是$AB$的中点,若以点$D$为圆心,$r$为半径作$\odot D$,使点$B$在$\odot D$内,点$C$在$\odot D$外,试求$r$的取值范围.
答案
11.解:如答图,连接CD,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,显然DF//AE.
∵AB=AC=$2\sqrt{5}$,BC=4,
∴BE=$\frac{1}{2}BC$=2,
∴AE=$\sqrt{AB^2-BE^2}$=4.
∵D是AB的中点,
∴DF是△ABE的中位线,
∴DF=$\frac{1}{2}AE$=2,BF=$\frac{1}{2}BE$=1,
∴CF=3,
∴CD=$\sqrt{DF^2+CF^2}$=$\sqrt{13}$.
又DB=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{5}$,
∴r的取值范围是$\sqrt{5}＜r＜\sqrt{13}$.
解析
【分析】
要确定半径r的取值范围，需结合点与圆的位置关系的判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。本题中点B在⊙D内，因此r＞BD；点C在⊙D外，因此r＜CD，故只需要求出BD和CD的长度即可得到r的范围。
首先D是AB的中点，已知AB的长度，可直接求出BD的长度；求CD的长度时，可先利用等腰三角形三线合一的性质，过A作BC的高AE，用勾股定理求出AE的长度，再过D作BC的垂线DF，由DF平行于AE且D是AB中点，可知DF是△ABE的中位线，即可求出DF和BF的长度，最后在Rt△DFC中用勾股定理求出CD的长度，即可确定r的取值范围。
【解析】
解：如答图，连接CD，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，显然DF//AE。
∵AB=AC=$2\sqrt{5}$，BC=4，△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=$\frac{1}{2}BC$=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$。
∵D是AB的中点，DF//AE，
∴DF是△ABE的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}AE$=2，BF=$\frac{1}{2}BE$=1，
∴CF=BC-BF=4-1=3，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{DF^2+CF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
又
∵D是AB中点，
∴DB=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$，
∵点B在⊙D内，点C在⊙D外，
∴$r＞DB$且$r＜CD$，即r的取值范围是$\sqrt{5}＜r＜\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{5}＜r＜\sqrt{13}$
【知识点】
点与圆的位置关系、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的应用类题目，解题时需结合等腰三角形、勾股定理等知识求出关键点到圆心的距离，再根据点和圆的位置关系对应的数量关系确定半径的取值范围，辅助线的合理构造是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要确定半径r的取值范围，需结合点与圆的位置关系的判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。本题中点B在⊙D内，因此r＞BD；点C在⊙D外，因此r＜CD，故只需要求出BD和CD的长度即可得到r的范围。
首先D是AB的中点，已知AB的长度，可直接求出BD的长度；求CD的长度时，可先利用等腰三角形三线合一的性质，过A作BC的高AE，用勾股定理求出AE的长度，再过D作BC的垂线DF，由DF平行于AE且D是AB中点，可知DF是△ABE的中位线，即可求出DF和BF的长度，最后在Rt△DFC中用勾股定理求出CD的长度，即可确定r的取值范围。
【解析】
解：如答图，连接CD，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，显然DF//AE。
∵AB=AC=$2\sqrt{5}$，BC=4，△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=$\frac{1}{2}BC$=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$。
∵D是AB的中点，DF//AE，
∴DF是△ABE的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}AE$=2，BF=$\frac{1}{2}BE$=1，
∴CF=BC-BF=4-1=3，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{DF^2+CF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
又
∵D是AB中点，
∴DB=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$，
∵点B在⊙D内，点C在⊙D外，
∴$r＞DB$且$r＜CD$，即r的取值范围是$\sqrt{5}＜r＜\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{5}＜r＜\sqrt{13}$
【知识点】
点与圆的位置关系、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的应用类题目，解题时需结合等腰三角形、勾股定理等知识求出关键点到圆心的距离，再根据点和圆的位置关系对应的数量关系确定半径的取值范围，辅助线的合理构造是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是BC边上一动点(点P不与点B,C重合),连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,求线段MC的最小值.
答案
12.解:如答图,连接AM.
∵点B和点M关于AP对称,
∴AB=AM=3,
∴点M在以点A为圆心,3为半径的圆上,
∴当A,M,C三点共线时,CM最短.
∵AC=$\sqrt{3^2+4^2}$=5,AM=AB=3,
∴CM=5-3=2,
∴线段MC的最小值为2.
解析
【分析】
遇到带轴对称的线段最值问题，首先利用轴对称性质找不变量：点B和M关于AP对称，因此AM的长度始终等于AB，为定值3，由此可判断点M的运动轨迹是以A为圆心、AB长为半径的圆。求MC的最小值本质是求圆外一点C到圆上点的最短距离，根据点与圆的位置关系，该最短距离为点C到圆心A的距离减去圆的半径，因此先利用勾股定理求出AC的长度，再减去半径AM即可得到MC的最小值。
【解析】
解：连接AM。
∵点B和点M关于直线AP对称，
∴AB=AM=3，
∴点M的运动轨迹是以点A为圆心，3为半径的圆。
根据点到圆上点的最短距离性质，当A、M、C三点共线时，线段CM的长度最短。
在矩形ABCD中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
此时$CM=AC-AM=5-3=2$，
即线段MC的最小值为2。
【答案】
12.解:如答图,连接AM.
∵点B和点M关于AP对称,
∴AB=AM=3,
∴点M在以点A为圆心,3为半径的圆上,
∴当A,M,C三点共线时,CM最短.
∵AC=$\sqrt{3^2+4^2}$=5,AM=AB=3,
∴CM=5-3=2,
∴线段MC的最小值为2.
【知识点】
轴对称的性质；点与圆的位置关系；勾股定理
【点评】
本题是典型的动点几何最值问题，解题的核心是通过轴对称的性质确定动点的运动轨迹，将动态线段最值问题转化为点到圆的最短距离问题，考查了几何性质的综合运用能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
遇到带轴对称的线段最值问题，首先利用轴对称性质找不变量：点B和M关于AP对称，因此AM的长度始终等于AB，为定值3，由此可判断点M的运动轨迹是以A为圆心、AB长为半径的圆。求MC的最小值本质是求圆外一点C到圆上点的最短距离，根据点与圆的位置关系，该最短距离为点C到圆心A的距离减去圆的半径，因此先利用勾股定理求出AC的长度，再减去半径AM即可得到MC的最小值。
【解析】
解：连接AM。
∵点B和点M关于直线AP对称，
∴AB=AM=3，
∴点M的运动轨迹是以点A为圆心，3为半径的圆。
根据点到圆上点的最短距离性质，当A、M、C三点共线时，线段CM的长度最短。
在矩形ABCD中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
此时$CM=AC-AM=5-3=2$，
即线段MC的最小值为2。
【答案】
12.解:如答图,连接AM.
∵点B和点M关于AP对称,
∴AB=AM=3,
∴点M在以点A为圆心,3为半径的圆上,
∴当A,M,C三点共线时,CM最短.
∵AC=$\sqrt{3^2+4^2}$=5,AM=AB=3,
∴CM=5-3=2,
∴线段MC的最小值为2.
【知识点】
轴对称的性质；点与圆的位置关系；勾股定理
【点评】
本题是典型的动点几何最值问题，解题的核心是通过轴对称的性质确定动点的运动轨迹，将动态线段最值问题转化为点到圆的最短距离问题，考查了几何性质的综合运用能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
