9.(2025·江阴期中)如图,⊙O的半径为3,P是弦AB延长线上的一点,连接OP.若OP=4,∠P=30°,则弦AB的长是 ()

A.4

B.2\sqrt{3}$$
C.2\sqrt{5}$$
$D.2\sqrt{6}$

9.C

10.如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于点P，AP=4，BP=12，$∠ APC=30°$，则CD的长为

10.$4\sqrt{15}$

11.已知$\odot O$的半径为5，弦$AB=8$，则圆上到弦$AB$所在直线距离为2的点有个.

11.3

12.(2025·昆山期末)如图，AB是$\odot O$的弦，点P在弦AB上，$\odot O$的半径为7.若$PA=3,OP=5,PB$的长为.

12.8

13.如图,点A,B,C在$\odot O$上,$AB=CB=9$,$AD// BC$,$CD\bot AD$,且$AD=2$.
(1)求线段$CD$,$AC$的长;
(2)求$\odot O$的半径.

13.解:(1)如答图①,作$AE⊥BC$于点E,
则$AE=DC,EC=AD=2$,
$\therefore BE=BC-EC=9-2=7$,
$\therefore CD=AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{9^2-7^2}=4\sqrt{2}$,
$\therefore AC=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+2^2}=6$.

(2)如答图②,作$BF⊥AC$于点F,连接OA.
$\because AB=BC,\therefore AF=CF=\frac{1}{2}AC=3$,
$\therefore BF=\sqrt{AB^2-AF^2}=\sqrt{9^2-3^2}=6\sqrt{2}$.
$\because BF$垂直平分弦$AC$,$\therefore BF$一定过圆心$O$,
设$\odot O$的半径为r,则$OF=6\sqrt{2}-r$.
在$Rt△OAF$中,由勾股定理得$(6\sqrt{2}-r)^2+3^2=r^2$,
解得$r=\frac{27\sqrt{2}}{8}$,即$\odot O$的半径为$\frac{27\sqrt{2}}{8}$.

14.如图,在矩形ABCD中,AB=20,AD=15,P,Q分别是AB,AD边上的动点,PQ=16,以PQ为直径的$\odot O$与BD交于点M,N,求MN的最大值.

14.解:过点A作$AH⊥BD$于点H,连接OM,如答图.
$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠BAD=90°$.
在$Rt△ABD$中,$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25$.
$\because \frac{1}{2}AH·BD=\frac{1}{2}AD·AB$,
$\therefore AH=\frac{20×15}{25}=12$.
$\because \odot O$的直径为16,$\therefore \odot O$的半径为8.
$\because$ 当点O在AH上时,OH最短,
且$HM=\sqrt{OM^2-OH^2}$,$\therefore$ 此时HM取得最大值.
$\because OH=AH-OA=4$,
$\therefore HM$的最大值为$\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$.
$\because OH⊥MN$,$\therefore MN=2MH$,
$\therefore MN$的最大值为$2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.