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1.如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形.若AB=3，BC=4，则DF的长为
5
.答案
1.5
解析
【分析】
解题时可借助矩形的性质和圆的半径相等的特点搭建未知线段DF与已知边长的关联：首先回忆矩形对角线相等的性质，可知矩形ODEF中DF=OE，矩形OABC中OB=AC；其次OB和OE都是半圆O的半径，二者相等，因此DF=OB，最后只需在直角三角形OAB中用勾股定理计算OB的长度即可得到DF的长。
【解析】
连接OB、OE。
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ ∠OAB=90°，OA=BC=4，且矩形对角线相等，即OB=AC。
在Rt△OAB中，AB=3，OA=4，由勾股定理得：
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$。
∵ 四边形ODEF是矩形，矩形对角线相等，
∴ DF = OE。
又
∵ OB、OE都是半圆O的半径，
∴ OE = OB = 5，
∴ DF = 5。
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题属于基础几何题，将矩形性质和圆的基本性质结合考查，解题的核心是找到同圆半径相等这一中间桥梁，把所求线段转化为可利用勾股定理计算的线段，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可借助矩形的性质和圆的半径相等的特点搭建未知线段DF与已知边长的关联：首先回忆矩形对角线相等的性质，可知矩形ODEF中DF=OE，矩形OABC中OB=AC；其次OB和OE都是半圆O的半径，二者相等，因此DF=OB，最后只需在直角三角形OAB中用勾股定理计算OB的长度即可得到DF的长。
【解析】
连接OB、OE。
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ ∠OAB=90°，OA=BC=4，且矩形对角线相等，即OB=AC。
在Rt△OAB中，AB=3，OA=4，由勾股定理得：
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$。
∵ 四边形ODEF是矩形，矩形对角线相等，
∴ DF = OE。
又
∵ OB、OE都是半圆O的半径，
∴ OE = OB = 5，
∴ DF = 5。
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题属于基础几何题，将矩形性质和圆的基本性质结合考查，解题的核心是找到同圆半径相等这一中间桥梁，把所求线段转化为可利用勾股定理计算的线段，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.如图，CD是$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$，垂足为E.若$AB=4$，$CE=6$，则$\odot O$的半径r为
$\frac{10}{3}$
.答案
2.$\frac{10}{3}$
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的情况，首先应用垂径定理得到弦长一半的长度；要求圆的半径，可连接半径OA构造直角三角形，再用含半径r的式子表示出直角三角形的另一条直角边OE，最后结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，$AB=4$，
∴ 根据垂径定理可得$AE=\frac{1}{2}AB=2$，
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OC=r$，
∵ $CE=6$，
∴ $OE=CE-OC=6-r$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=AE^2+OE^2$，
代入数据得：$r^2=2^2+(6-r)^2$，
展开整理得：$12r=40$，
解得：$r=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常考题型，解题核心是掌握“遇弦连半径”的辅助线作法，结合垂径定理构造直角三角形，再用勾股定理建立方程求解即可。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直于弦的情况，首先应用垂径定理得到弦长一半的长度；要求圆的半径，可连接半径OA构造直角三角形，再用含半径r的式子表示出直角三角形的另一条直角边OE，最后结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥CD$，$AB=4$，
∴ 根据垂径定理可得$AE=\frac{1}{2}AB=2$，
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OC=r$，
∵ $CE=6$，
∴ $OE=CE-OC=6-r$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=AE^2+OE^2$，
代入数据得：$r^2=2^2+(6-r)^2$，
展开整理得：$12r=40$，
解得：$r=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的常考题型，解题核心是掌握“遇弦连半径”的辅助线作法，结合垂径定理构造直角三角形，再用勾股定理建立方程求解即可。
【难度系数】
0.7
3.(2025·广安)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠BCD=120°,⊙O的半径为6,则BD的长为
$6\sqrt{3}$
.答案
3.$6\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题要求弦BD的长度，可按以下思路推导：首先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠BAD的度数；再根据圆周角定理，得到弧BD所对的圆心角∠BOD的度数；最后连接OB、OD，构造等腰△BOD，结合垂径定理和直角三角形的三角函数计算BD的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵∠BCD=120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°。
连接OB、OD，根据圆周角定理得：
∠BOD = 2∠BAD = 2×60°=120°。
过点O作OE⊥BD于点E，由垂径定理可知：
BD=2BE，∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=60°。
在Rt△BOE中，OB=6，
∴BE = OB·sin60° = 6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴BD=2BE=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，综合考查了圆的核心性质，解题的关键是通过连接半径、作弦的垂线构造直角三角形，将弦长计算转化为解直角三角形的问题，熟练掌握圆的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
本题要求弦BD的长度，可按以下思路推导：首先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠BAD的度数；再根据圆周角定理，得到弧BD所对的圆心角∠BOD的度数；最后连接OB、OD，构造等腰△BOD，结合垂径定理和直角三角形的三角函数计算BD的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵∠BCD=120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°。
连接OB、OD，根据圆周角定理得：
∠BOD = 2∠BAD = 2×60°=120°。
过点O作OE⊥BD于点E，由垂径定理可知：
BD=2BE，∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=60°。
在Rt△BOE中，OB=6，
∴BE = OB·sin60° = 6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴BD=2BE=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，综合考查了圆的核心性质，解题的关键是通过连接半径、作弦的垂线构造直角三角形，将弦长计算转化为解直角三角形的问题，熟练掌握圆的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
4.(2025·宜兴期中)如图，A，B，C是$\odot O$上的点，$OC⊥ AB$于点D，$BC// OA$。若$BC=6$，则OD的长为
3
。答案
4.3
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件$OC⊥AB$，想到垂径定理，可得$D$是$AB$中点，即$AD=BD$，同时得到两个直角$∠ ADO=∠ BDC=90°$；再结合$BC// OA$的条件，可推出内错角$∠ OAD=∠ CBD$，由此可证明$△ OAD$和$△ CBD$全等，得到对应边相等的关系：$OA=BC$、$OD=CD$；最后结合圆的半径相等，$OA=OC$，即可推出$OD$是$OC$的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：$\because OC⊥ AB$，由垂径定理可得：
$AD=BD$，$∠ ADO=∠ BDC=90°$，
$\because BC// OA$，
$\therefore ∠ OAD=∠ CBD$（两直线平行，内错角相等），
在$△ OAD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ OAD=∠ CBD \\AD=BD \\∠ ADO=∠ BDC\end{cases}$
$\therefore △ OAD≌△ CBD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OA=BC=6$，$OD=CD$，
$\because OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OA=6$，
$\therefore OD=\dfrac{1}{2}OC=\dfrac{1}{2}×6=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形全等的综合题，解题的突破口是利用垂径定理得到相等的线段，再结合平行线的性质构造全等三角形，从而得到待求线段和已知线段的数量关系。
【难度系数】
$0.7$
解题时首先结合已知条件$OC⊥AB$，想到垂径定理，可得$D$是$AB$中点，即$AD=BD$，同时得到两个直角$∠ ADO=∠ BDC=90°$；再结合$BC// OA$的条件，可推出内错角$∠ OAD=∠ CBD$，由此可证明$△ OAD$和$△ CBD$全等，得到对应边相等的关系：$OA=BC$、$OD=CD$；最后结合圆的半径相等，$OA=OC$，即可推出$OD$是$OC$的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：$\because OC⊥ AB$，由垂径定理可得：
$AD=BD$，$∠ ADO=∠ BDC=90°$，
$\because BC// OA$，
$\therefore ∠ OAD=∠ CBD$（两直线平行，内错角相等），
在$△ OAD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ OAD=∠ CBD \\AD=BD \\∠ ADO=∠ BDC\end{cases}$
$\therefore △ OAD≌△ CBD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OA=BC=6$，$OD=CD$，
$\because OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OA=6$，
$\therefore OD=\dfrac{1}{2}OC=\dfrac{1}{2}×6=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形全等的综合题，解题的突破口是利用垂径定理得到相等的线段，再结合平行线的性质构造全等三角形，从而得到待求线段和已知线段的数量关系。
【难度系数】
$0.7$
5.(2025·宿迁沭阳县期中)如图,将$\odot O$的一部分沿着弦$AB$翻折,劣弧恰好经过圆心$O$,$AB=6$,则$\odot O$的半径为
$2\sqrt{3}$
.答案
5.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是结合翻折的性质与圆的相关定理分析：首先翻折前后图形对称，因此圆心O到折痕AB的距离等于半径的一半；其次作过圆心垂直于弦AB的辅助线，利用垂径定理得到弦长的一半，最后在直角三角形中用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，设$\odot O$的半径为$r$。
由翻折的性质可知，点O到弦AB的距离$OC=\frac{1}{2}r$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理$OA^2=OC^2+AC^2$，代入得：
$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+3^2$
化简得：$r^2=\frac{1}{4}r^2+9$
移项计算：$\frac{3}{4}r^2=9$，$r^2=12$
因为半径为正数，所以$r=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，翻折的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆中辅助线的典型题型，解题关键是通过翻折性质得到圆心到弦的距离和半径的关系，结合垂径定理构造直角三角形求解，对学生的几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解决本题的核心是结合翻折的性质与圆的相关定理分析：首先翻折前后图形对称，因此圆心O到折痕AB的距离等于半径的一半；其次作过圆心垂直于弦AB的辅助线，利用垂径定理得到弦长的一半，最后在直角三角形中用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，设$\odot O$的半径为$r$。
由翻折的性质可知，点O到弦AB的距离$OC=\frac{1}{2}r$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理$OA^2=OC^2+AC^2$，代入得：
$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+3^2$
化简得：$r^2=\frac{1}{4}r^2+9$
移项计算：$\frac{3}{4}r^2=9$，$r^2=12$
因为半径为正数，所以$r=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，翻折的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆中辅助线的典型题型，解题关键是通过翻折性质得到圆心到弦的距离和半径的关系，结合垂径定理构造直角三角形求解，对学生的几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
6. 如图,点A,B,C,D在⊙O上,AB=AC,∠ADC=130°,则∠BAC=
$80°$
.答案
6.$80°$
解析
【分析】
解题时首先观察图形，四边形ABCD内接于⊙O，可先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠ABC的度数；再结合已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠ACB=∠ABC；最后利用三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∵ ∠ADC=130°，
∴ ∠ABC=180°-130°=50°，
又
∵ AB=AC，
∴ ∠ACB=∠ABC=50°（等腰三角形两底角相等），
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-50°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，核心是利用圆内接四边形的性质求出等腰三角形的底角度数，再结合三角形内角和求解，掌握相关基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，四边形ABCD内接于⊙O，可先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠ABC的度数；再结合已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠ACB=∠ABC；最后利用三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∵ ∠ADC=130°，
∴ ∠ABC=180°-130°=50°，
又
∵ AB=AC，
∴ ∠ACB=∠ABC=50°（等腰三角形两底角相等），
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-50°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，核心是利用圆内接四边形的性质求出等腰三角形的底角度数，再结合三角形内角和求解，掌握相关基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.(2025·宿迁宿豫区期末)如图，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的弦，$AB=2$，$∠ BAC=30°$.若点D在$\odot O$上，且$∠ BAD=60°$，则CD长为
1或2
.答案
7.1或2
解析
【分析】
首先由AB是$\odot O$的直径且$AB=2$，可得$\odot O$半径为1，所有半径长度均为1。已知$∠ BAC=30°$、$∠ BAD=60°$，题目未说明点D与点C的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①点D和点C在AB同侧；②点D和点C在AB异侧。通过连接OC、OD，利用圆周角定理求出对应圆心角的度数，再结合特殊三角形的性质即可计算出CD的长度。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，$AB=2$，$\therefore$$\odot O$的半径$OA=OB=OC=OD=1$，分两种情况讨论：
1. 点D与点C在AB同侧
$\because$$∠ BAC=30°$，$∠ BAD=60°$，$\therefore$$∠ CAD=∠ BAD-∠ BAC=30°$
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ COD=2∠ CAD=60°$
又$\because$$OC=OD=1$，$\therefore$$△ OCD$是等边三角形，$\therefore$$CD=OC=1$。
2. 点D与点C在AB异侧
$\because$$∠ BAC=30°$，$OA=OC$，$\therefore$$∠ OCA=∠ BAC=30°$，可得$∠ AOC=180°-30°-30°=120°$
$\because$$∠ BAD=60°$，$OA=OD$，$\therefore$$△ OAD$是等边三角形，$∠ AOD=60°$
$\therefore$$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=120°+60°=180°$，即CD是$\odot O$的直径，$\therefore$$CD=AB=2$。
综上，CD的长度为1或2。
【答案】
1或2
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题的易错点是忽略点D位置的不确定性，未分情况讨论导致漏解，解题时结合圆的性质和特殊三角形的判定性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
首先由AB是$\odot O$的直径且$AB=2$，可得$\odot O$半径为1，所有半径长度均为1。已知$∠ BAC=30°$、$∠ BAD=60°$，题目未说明点D与点C的位置关系，因此需要分两种情况讨论：①点D和点C在AB同侧；②点D和点C在AB异侧。通过连接OC、OD，利用圆周角定理求出对应圆心角的度数，再结合特殊三角形的性质即可计算出CD的长度。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，$AB=2$，$\therefore$$\odot O$的半径$OA=OB=OC=OD=1$，分两种情况讨论：
1. 点D与点C在AB同侧
$\because$$∠ BAC=30°$，$∠ BAD=60°$，$\therefore$$∠ CAD=∠ BAD-∠ BAC=30°$
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ COD=2∠ CAD=60°$
又$\because$$OC=OD=1$，$\therefore$$△ OCD$是等边三角形，$\therefore$$CD=OC=1$。
2. 点D与点C在AB异侧
$\because$$∠ BAC=30°$，$OA=OC$，$\therefore$$∠ OCA=∠ BAC=30°$，可得$∠ AOC=180°-30°-30°=120°$
$\because$$∠ BAD=60°$，$OA=OD$，$\therefore$$△ OAD$是等边三角形，$∠ AOD=60°$
$\therefore$$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=120°+60°=180°$，即CD是$\odot O$的直径，$\therefore$$CD=AB=2$。
综上，CD的长度为1或2。
【答案】
1或2
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题的易错点是忽略点D位置的不确定性，未分情况讨论导致漏解，解题时结合圆的性质和特殊三角形的判定性质即可快速求解。
【难度系数】
0.6
8.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AC=13$，$BC=20$，把$\overset{\frown}{AB}$沿弦AB向下折叠交BC于点D，若D为BC的中点，则$△ ABC$的面积为
120
。答案
8.120
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质推导角的关系，得到等腰三角形，再结合中点性质和勾股定理求高，最后计算面积。思考步骤：1.折叠前后同一段弧所对的异侧圆周角互补，可得∠ADB+∠ACB=180°，结合平角定义推出∠ADC=∠ACB，因此AD=AC；2.根据D是BC中点求出DC的长度；3.过A作BC的垂线，利用等腰三角形三线合一得到DE的长度，用勾股定理求出高AE；4.代入三角形面积公式计算结果。
【解析】
解：
∵将$\overset{\frown}{AB}$沿弦AB折叠交BC于点D，
∴$\overset{\frown}{AB}$折叠前后所对的异侧圆周角互补，即$∠ ADB + ∠ ACB = 180°$，
又
∵$∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
∴$∠ ADC = ∠ ACB$，
∴$AD = AC = 13$。
∵D为BC中点，$BC=20$，
∴$BD=DC=\frac{1}{2}BC=10$。
过点A作$AE ⊥ BC$于点E，
∵$AD=AC$，$AE ⊥ DC$，
∴根据等腰三角形三线合一，得$DE=EC=\frac{1}{2}DC=5$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{144}=12$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AE = \frac{1}{2} × 20 × 12 = 120$。
【答案】
120
【知识点】
折叠的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的折叠性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过折叠的角关系推导出AD=AC，进而作出高辅助线求解。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质推导角的关系，得到等腰三角形，再结合中点性质和勾股定理求高，最后计算面积。思考步骤：1.折叠前后同一段弧所对的异侧圆周角互补，可得∠ADB+∠ACB=180°，结合平角定义推出∠ADC=∠ACB，因此AD=AC；2.根据D是BC中点求出DC的长度；3.过A作BC的垂线，利用等腰三角形三线合一得到DE的长度，用勾股定理求出高AE；4.代入三角形面积公式计算结果。
【解析】
解：
∵将$\overset{\frown}{AB}$沿弦AB折叠交BC于点D，
∴$\overset{\frown}{AB}$折叠前后所对的异侧圆周角互补，即$∠ ADB + ∠ ACB = 180°$，
又
∵$∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
∴$∠ ADC = ∠ ACB$，
∴$AD = AC = 13$。
∵D为BC中点，$BC=20$，
∴$BD=DC=\frac{1}{2}BC=10$。
过点A作$AE ⊥ BC$于点E，
∵$AD=AC$，$AE ⊥ DC$，
∴根据等腰三角形三线合一，得$DE=EC=\frac{1}{2}DC=5$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{144}=12$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AE = \frac{1}{2} × 20 × 12 = 120$。
【答案】
120
【知识点】
折叠的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的折叠性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过折叠的角关系推导出AD=AC，进而作出高辅助线求解。
【难度系数】
0.6
