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8.如图,在平面内有四点A,B,C,D,其中$AB=AC=6$,$∠ BAC=60°$,若$∠ BDC=90°$,则AD的最大值是
3+3√3
.答案
8. 3+3√3
解析
【分析】
首先由AB=AC且∠BAC=60°，可判定△ABC为等边三角形，得到BC的长度；再根据∠BDC=90°，结合“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知点D的运动轨迹是以BC为直径的圆；要求AD的最大值，可转化为求定点A到该圆上动点的最大距离，根据圆的性质，该最大值等于点A到圆心的距离加上圆的半径，依次计算对应长度即可得到结果。
【解析】
1. 判定等边三角形：
∵AB=AC=6，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=6。
2. 确定点D的轨迹：
取BC的中点O，
∵∠BDC=90°，
∴点D在以O为圆心，BC长的一半为半径的圆上，圆的半径$r = \frac{BC}{2} = 3$。
3. 计算点A到圆心O的距离：
∵△ABC是等边三角形，O是BC中点，
∴AO⊥BC，
在Rt△ABO中，AB=6，BO=3，由勾股定理得：
$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
4. 求AD的最大值：
当A、O、D三点共线，且O在A、D之间时，AD取得最大值，最大值为$AO + r = 3\sqrt{3} + 3 = 3 + 3\sqrt{3}$。
【答案】
$3+3\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，圆周角定理，点与圆的距离最值
【点评】
本题是辅助圆的典型应用，解题的关键是根据直角条件确定动点的轨迹为圆，将线段最值问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题，能很好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
首先由AB=AC且∠BAC=60°，可判定△ABC为等边三角形，得到BC的长度；再根据∠BDC=90°，结合“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知点D的运动轨迹是以BC为直径的圆；要求AD的最大值，可转化为求定点A到该圆上动点的最大距离，根据圆的性质，该最大值等于点A到圆心的距离加上圆的半径，依次计算对应长度即可得到结果。
【解析】
1. 判定等边三角形：
∵AB=AC=6，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=6。
2. 确定点D的轨迹：
取BC的中点O，
∵∠BDC=90°，
∴点D在以O为圆心，BC长的一半为半径的圆上，圆的半径$r = \frac{BC}{2} = 3$。
3. 计算点A到圆心O的距离：
∵△ABC是等边三角形，O是BC中点，
∴AO⊥BC，
在Rt△ABO中，AB=6，BO=3，由勾股定理得：
$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
4. 求AD的最大值：
当A、O、D三点共线，且O在A、D之间时，AD取得最大值，最大值为$AO + r = 3\sqrt{3} + 3 = 3 + 3\sqrt{3}$。
【答案】
$3+3\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，圆周角定理，点与圆的距离最值
【点评】
本题是辅助圆的典型应用，解题的关键是根据直角条件确定动点的轨迹为圆，将线段最值问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题，能很好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
9.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,P是AB边上的一个动点,以BP为直径的圆交CP于点Q,若线段AQ长度的最小值是4,则△ABC的面积为
48
.答案
9. 48
解析
【分析】首先观察到BP是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，连接BQ可得到∠BQC=90°，由此确定动点Q的轨迹是以BC为直径的圆；接下来求AQ的最小值，根据点到圆上任意点的距离最小值为点到圆心的距离减去半径，设BC的中点为M（即轨迹圆的圆心），设轨迹圆半径为r，结合勾股定理表示出AM的长度，再根据AQ最小值为4列方程求解r，最后计算△ABC的面积即可。
【解析】
解：连接BQ，取BC的中点M，连接AM。
∵ BP为圆的直径，
∴ ∠BQP=90°，即∠BQC=90°，
∴ 点Q的轨迹是以BC为直径的圆，圆心为M，半径$r=\frac{1}{2}BC$。
根据点到圆上点的距离性质，AQ的最小值为$AM - r$。
已知$∠ABC=90°$，$AB=8$，$BM=r$，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：$AM=\sqrt{AB^2 + BM^2}=\sqrt{8^2 + r^2}=\sqrt{64 + r^2}$。
由题意AQ最小值为4，列方程：
$\sqrt{64 + r^2} - r = 4$
移项得$\sqrt{64 + r^2}=r + 4$，两边平方：
$64 + r^2=r^2 + 8r + 16$
化简得$8r=48$，解得$r=6$。
∴ $BC=2r=12$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×8×12=48$。
【答案】48
【知识点】圆周角定理，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】本题是几何动点最值的典型题型，解题的核心是通过圆周角定理确定动点的轨迹，将动态线段最值问题转化为点到圆的距离问题，结合方程思想求解，对轨迹分析能力有一定要求。
【难度系数】0.3
【解析】
解：连接BQ，取BC的中点M，连接AM。
∵ BP为圆的直径，
∴ ∠BQP=90°，即∠BQC=90°，
∴ 点Q的轨迹是以BC为直径的圆，圆心为M，半径$r=\frac{1}{2}BC$。
根据点到圆上点的距离性质，AQ的最小值为$AM - r$。
已知$∠ABC=90°$，$AB=8$，$BM=r$，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：$AM=\sqrt{AB^2 + BM^2}=\sqrt{8^2 + r^2}=\sqrt{64 + r^2}$。
由题意AQ最小值为4，列方程：
$\sqrt{64 + r^2} - r = 4$
移项得$\sqrt{64 + r^2}=r + 4$，两边平方：
$64 + r^2=r^2 + 8r + 16$
化简得$8r=48$，解得$r=6$。
∴ $BC=2r=12$，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×8×12=48$。
【答案】48
【知识点】圆周角定理，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】本题是几何动点最值的典型题型，解题的核心是通过圆周角定理确定动点的轨迹，将动态线段最值问题转化为点到圆的距离问题，结合方程思想求解，对轨迹分析能力有一定要求。
【难度系数】0.3
10.(2025·宿迁宿豫区一模)如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=8,点E在边AB上运动,以AE为直径作圆与DE交于点F,连接BF,则线段BF的最小值为
2√29−4
.答案
10. 2√29−4
解析
【分析】
解决本题首先要确定动点F的运动轨迹：①由AE为直径，根据“直径所对的圆周角为直角”可得∠AFD=90°，结合定边AD，可知F的轨迹是以AD为直径的圆，圆心为AD中点，半径为AD的一半；②求BF的最小值属于定点到圆上动点的最短距离问题，规律是“定点到圆心的距离减去半径即为最短距离”，最后利用勾股定理计算定点到圆心的距离即可求出结果。
【解析】
取AD的中点O，连接OF、OB。
∵AE是圆的直径，点F在圆上，
∴∠AFE=90°，即∠AFD=90°，
∴点F在以AD为直径的圆O上，因此$OF=\frac{1}{2}AD=4$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAB=90°，$AO=\frac{1}{2}AD=4$，$AB=10$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{AO^2+AB^2}=\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$。
根据点到圆上点的最短距离规律，$BF≥ OB-OF$，当且仅当O、F、B三点共线时，BF取得最小值，
∴BF的最小值为$2\sqrt{29}-4$。
【答案】
$2\sqrt{29}-4$
【知识点】
圆周角定理，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题是动态几何最值问题，核心是通过“定角对定边”构造辅助圆确定动点轨迹，将线段最值问题转化为定点到圆的最短距离问题，对辅助线构造能力和最值模型的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解决本题首先要确定动点F的运动轨迹：①由AE为直径，根据“直径所对的圆周角为直角”可得∠AFD=90°，结合定边AD，可知F的轨迹是以AD为直径的圆，圆心为AD中点，半径为AD的一半；②求BF的最小值属于定点到圆上动点的最短距离问题，规律是“定点到圆心的距离减去半径即为最短距离”，最后利用勾股定理计算定点到圆心的距离即可求出结果。
【解析】
取AD的中点O，连接OF、OB。
∵AE是圆的直径，点F在圆上，
∴∠AFE=90°，即∠AFD=90°，
∴点F在以AD为直径的圆O上，因此$OF=\frac{1}{2}AD=4$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAB=90°，$AO=\frac{1}{2}AD=4$，$AB=10$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{AO^2+AB^2}=\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$。
根据点到圆上点的最短距离规律，$BF≥ OB-OF$，当且仅当O、F、B三点共线时，BF取得最小值，
∴BF的最小值为$2\sqrt{29}-4$。
【答案】
$2\sqrt{29}-4$
【知识点】
圆周角定理，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题是动态几何最值问题，核心是通过“定角对定边”构造辅助圆确定动点轨迹，将线段最值问题转化为定点到圆的最短距离问题，对辅助线构造能力和最值模型的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
11.在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$∠ B＞∠ C$，$BC=4$，则$AC$的最大值为
8√3/3
。答案
11. 8√3/3
解析
【分析】
本题中△ABC的边BC长度固定为4，BC所对的内角∠A恒为60°，符合“定弦对定角”的几何模型，可构造△ABC的外接圆，点A的运动轨迹为该外接圆上的一段弧。要求AC的最大值，结合“圆中最长的弦是直径”的性质，可先求出外接圆的直径，再验证直径对应的角度是否满足∠B＞∠C的条件即可。
【解析】
1. 构造△ABC的外接圆$\odot O$：因为BC=4为定长，$∠ BAC=60°$为定角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=120°$。
2. 求$\odot O$的半径：过点O作$OD⊥ BC$于点D，由等腰三角形三线合一得$BD=\frac{1}{2}BC=2$，$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$。在$Rt△ BOD$中，$\sin∠ BOD=\frac{BD}{OB}$，即$\sin60°=\frac{2}{OB}$，解得$OB=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，因此$\odot O$的直径为$2OB=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
3. 求AC的最大值：根据圆的性质，圆内最长的弦为直径，因此当AC为$\odot O$的直径时，AC取得最大值。此时直径所对的圆周角$∠ ABC=90°$，可得$∠ C=180°-60°-90°=30°$，满足$∠ B＞∠ C$的条件，最大值有效。
【答案】
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
定弦定角模型；圆周角定理；圆的弦长性质
【点评】
本题是辅助圆的典型应用题型，解题关键是识别出定弦定角的几何特征，通过构造外接圆将三角形边长最值问题转化为圆的弦长最值问题，求解后注意验证最值对应的情况是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
本题中△ABC的边BC长度固定为4，BC所对的内角∠A恒为60°，符合“定弦对定角”的几何模型，可构造△ABC的外接圆，点A的运动轨迹为该外接圆上的一段弧。要求AC的最大值，结合“圆中最长的弦是直径”的性质，可先求出外接圆的直径，再验证直径对应的角度是否满足∠B＞∠C的条件即可。
【解析】
1. 构造△ABC的外接圆$\odot O$：因为BC=4为定长，$∠ BAC=60°$为定角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=120°$。
2. 求$\odot O$的半径：过点O作$OD⊥ BC$于点D，由等腰三角形三线合一得$BD=\frac{1}{2}BC=2$，$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$。在$Rt△ BOD$中，$\sin∠ BOD=\frac{BD}{OB}$，即$\sin60°=\frac{2}{OB}$，解得$OB=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，因此$\odot O$的直径为$2OB=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
3. 求AC的最大值：根据圆的性质，圆内最长的弦为直径，因此当AC为$\odot O$的直径时，AC取得最大值。此时直径所对的圆周角$∠ ABC=90°$，可得$∠ C=180°-60°-90°=30°$，满足$∠ B＞∠ C$的条件，最大值有效。
【答案】
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
定弦定角模型；圆周角定理；圆的弦长性质
【点评】
本题是辅助圆的典型应用题型，解题关键是识别出定弦定角的几何特征，通过构造外接圆将三角形边长最值问题转化为圆的弦长最值问题，求解后注意验证最值对应的情况是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
12.在平面直角坐标系中，已知点$A(3,0)$，点$B(-1,0)$，$C$是$y$轴上一动点，当$∠ BCA=45°$时，点$C$的坐标为
(0,2+√7)或(0,−2−√7)
.答案
12. (0,2+√7)或(0,−2−√7)
解析
【分析】
首先观察到∠BCA=45°为定角，所对的边AB是定长（A、B为定点，AB=4），根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此可构造辅助圆：以AB为弦，作弦AB所对圆周角为45°的圆，该圆与y轴的交点即为点C。解题步骤为：①先求AB的长度与中点坐标；②确定辅助圆的圆心位置与半径；③利用点到圆心的距离等于半径，代入y轴上点的横坐标x=0求y的值，再筛选出符合∠BCA=45°的坐标即可。
【解析】
1. 计算AB的相关参数：
已知A(3,0)，B(-1,0)，则AB的长度为$|3 - (-1)| = 4$，AB的中点坐标为$(\frac{3 + (-1)}{2}, 0)=(1, 0)$，AB的垂直平分线为直线$x=1$。
2. 确定辅助圆的圆心与半径：
因为∠BCA=45°，所以弦AB所对的圆心角为$2×45°=90°$，即圆心P与A、B构成的△PAB是等腰直角三角形，AB为斜边。
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此圆心到AB（x轴）的距离为$\frac{1}{2}AB=2$，半径$PA=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
分两种情况讨论：
(1) 圆心在x轴上方：圆心坐标为$P_1(1, 2)$，设点C坐标为$(0,y)$，由点C在圆上，得$CP_1=2\sqrt{2}$，即：
$\sqrt{(0-1)^2 + (y-2)^2}=2\sqrt{2}$
两边平方得：$1 + (y-2)^2=8$
整理得：$(y-2)^2=7$
解得$y=2+\sqrt{7}$或$y=2-\sqrt{7}$，其中$y=2-\sqrt{7}$对应的∠BCA为135°，不符合要求舍去，得$C_1(0,2+\sqrt{7})$。
(2) 圆心在x轴下方：圆心坐标为$P_2(1, -2)$，同理$CP_2=2\sqrt{2}$，即：
$\sqrt{(0-1)^2 + (y+2)^2}=2\sqrt{2}$
两边平方得：$1 + (y+2)^2=8$
整理得：$(y+2)^2=7$
解得$y=-2-\sqrt{7}$或$y=-2+\sqrt{7}$，其中$y=-2+\sqrt{7}$对应的∠BCA为135°，不符合要求舍去，得$C_2(0,-2-\sqrt{7})$。
【答案】
$(0,2+\sqrt{7})$或$(0,-2-\sqrt{7})$
【知识点】
圆周角定理，垂直平分线性质，两点间距离公式
【点评】
本题利用"定角对定边"的性质构造辅助圆，将角度存在性问题转化为圆与坐标轴的交点问题，解题时需注意分类讨论圆心的位置，同时要舍去对应角度为135°的无效解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.3
首先观察到∠BCA=45°为定角，所对的边AB是定长（A、B为定点，AB=4），根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此可构造辅助圆：以AB为弦，作弦AB所对圆周角为45°的圆，该圆与y轴的交点即为点C。解题步骤为：①先求AB的长度与中点坐标；②确定辅助圆的圆心位置与半径；③利用点到圆心的距离等于半径，代入y轴上点的横坐标x=0求y的值，再筛选出符合∠BCA=45°的坐标即可。
【解析】
1. 计算AB的相关参数：
已知A(3,0)，B(-1,0)，则AB的长度为$|3 - (-1)| = 4$，AB的中点坐标为$(\frac{3 + (-1)}{2}, 0)=(1, 0)$，AB的垂直平分线为直线$x=1$。
2. 确定辅助圆的圆心与半径：
因为∠BCA=45°，所以弦AB所对的圆心角为$2×45°=90°$，即圆心P与A、B构成的△PAB是等腰直角三角形，AB为斜边。
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此圆心到AB（x轴）的距离为$\frac{1}{2}AB=2$，半径$PA=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
分两种情况讨论：
(1) 圆心在x轴上方：圆心坐标为$P_1(1, 2)$，设点C坐标为$(0,y)$，由点C在圆上，得$CP_1=2\sqrt{2}$，即：
$\sqrt{(0-1)^2 + (y-2)^2}=2\sqrt{2}$
两边平方得：$1 + (y-2)^2=8$
整理得：$(y-2)^2=7$
解得$y=2+\sqrt{7}$或$y=2-\sqrt{7}$，其中$y=2-\sqrt{7}$对应的∠BCA为135°，不符合要求舍去，得$C_1(0,2+\sqrt{7})$。
(2) 圆心在x轴下方：圆心坐标为$P_2(1, -2)$，同理$CP_2=2\sqrt{2}$，即：
$\sqrt{(0-1)^2 + (y+2)^2}=2\sqrt{2}$
两边平方得：$1 + (y+2)^2=8$
整理得：$(y+2)^2=7$
解得$y=-2-\sqrt{7}$或$y=-2+\sqrt{7}$，其中$y=-2+\sqrt{7}$对应的∠BCA为135°，不符合要求舍去，得$C_2(0,-2-\sqrt{7})$。
【答案】
$(0,2+\sqrt{7})$或$(0,-2-\sqrt{7})$
【知识点】
圆周角定理，垂直平分线性质，两点间距离公式
【点评】
本题利用"定角对定边"的性质构造辅助圆，将角度存在性问题转化为圆与坐标轴的交点问题，解题时需注意分类讨论圆心的位置，同时要舍去对应角度为135°的无效解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.3
13.如图，在$△ ABC$中，$AB=40\sqrt{2}$，$∠ ACB=45°$，$M$，$N$分别是$AB$，$BC$的中点，则$MN$的最大值是
40
.答案
13. 40
解析
【分析】
首先由M、N分别为AB、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AC的数量关系：$MN=\frac{1}{2}AC$，因此求MN的最大值可转化为求AC的最大值。已知AB为定长，$∠ ACB$为定角，符合“定弦定角”模型，点C的轨迹是$△ ABC$的外接圆上的弧，根据圆中最长的弦为直径，可知当AC为外接圆直径时AC最大，进而可求出MN的最大值。
【解析】
1. 因为M、N分别是AB、BC的中点，所以MN是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}AC}$，因此MN的最大值由AC的最大值决定。
2. 已知$AB=40\sqrt{2}$，$∠ ACB=45°$，即定弦AB所对的圆周角恒为$45°$，因此点C在$△ ABC$的外接圆$\odot O$上运动。
3. 连接OA、OB，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ ACB=90°$。
4. 设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=OB=R$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$OA^2+OB^2=AB^2$，即$R^2+R^2=(40\sqrt{2})^2$，
化简得$2R^2=3200$，解得$R=40$，因此$\odot O$的直径为$2R=80$。
5. 圆中最长的弦为直径，因此AC的最大值为80，代入$MN=\frac{1}{2}AC$得MN的最大值为$\frac{1}{2}×80=40$。
【答案】
40
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，定弦定角模型
【点评】
本题将线段最值问题与圆的性质相结合，解题的突破口是利用中位线转化所求线段，再通过“定弦定角”构造辅助圆确定动点轨迹，将最值问题转化为圆的直径求解，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
首先由M、N分别为AB、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AC的数量关系：$MN=\frac{1}{2}AC$，因此求MN的最大值可转化为求AC的最大值。已知AB为定长，$∠ ACB$为定角，符合“定弦定角”模型，点C的轨迹是$△ ABC$的外接圆上的弧，根据圆中最长的弦为直径，可知当AC为外接圆直径时AC最大，进而可求出MN的最大值。
【解析】
1. 因为M、N分别是AB、BC的中点，所以MN是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理可得：$\boldsymbol{MN=\frac{1}{2}AC}$，因此MN的最大值由AC的最大值决定。
2. 已知$AB=40\sqrt{2}$，$∠ ACB=45°$，即定弦AB所对的圆周角恒为$45°$，因此点C在$△ ABC$的外接圆$\odot O$上运动。
3. 连接OA、OB，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ ACB=90°$。
4. 设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=OB=R$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$OA^2+OB^2=AB^2$，即$R^2+R^2=(40\sqrt{2})^2$，
化简得$2R^2=3200$，解得$R=40$，因此$\odot O$的直径为$2R=80$。
5. 圆中最长的弦为直径，因此AC的最大值为80，代入$MN=\frac{1}{2}AC$得MN的最大值为$\frac{1}{2}×80=40$。
【答案】
40
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，定弦定角模型
【点评】
本题将线段最值问题与圆的性质相结合，解题的突破口是利用中位线转化所求线段，再通过“定弦定角”构造辅助圆确定动点轨迹，将最值问题转化为圆的直径求解，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
14.(2025·宿迁沭阳县二模)在$△ ABC$中，若$AB=6$，$∠ ACB=45°$.则$△ ABC$的面积的最大值为________.
答案
14. 9√2+9
解析
【分析】
要计算△ABC的面积最大值，首先观察已知条件：AB为定长6，∠ACB为定角45°，三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，底AB固定，因此只需找到AB边上的高的最大值即可。根据“定弦对定角”的几何特征，点C的轨迹是过A、B两点且弦AB所对圆周角为45°的圆，当点C到AB的距离最大时，对应的高最大，面积也最大，后续只需结合圆的性质计算最大高即可。
【解析】
1. 构造辅助圆：因为AB=6为定长，∠ACB=45°为定角，所以点C的轨迹是以AB为弦、所对圆周角为45°的圆，设圆心为O，半径为R。
2. 求圆心角及半径：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ ACB=90°$。在等腰$Rt△ AOB$中，$OA=OB=R$，由勾股定理得$OA^2+OB^2=AB^2$，即$2R^2=6^2=36$，解得$R=3\sqrt{2}$。
3. 求圆心到AB的距离：过O作$OD⊥ AB$于点D，等腰$Rt△ AOB$中，斜边上的高$OD=\frac{1}{2}AB=3$（也可通过面积法：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}· AB· OD$，代入数值解得$OD=3$）。
4. 求最大高及最大面积：当点C在AB的垂直平分线与优弧AB的交点处时，点C到AB的距离最大，最大高$h=OD+R=3+3\sqrt{2}$。此时△ABC的面积为：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}× AB× h=\frac{1}{2}×6×(3+3\sqrt{2})=9+9\sqrt{2}$
【答案】
$9\sqrt{2}+9$
【知识点】
定弦定角模型，圆周角定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何最值的典型题型，通过识别定弦定角的特征构造辅助圆，将动点轨迹的不确定问题转化为圆上点到直线的距离最值问题，解题思路清晰，熟练掌握辅助圆的构造技巧是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
要计算△ABC的面积最大值，首先观察已知条件：AB为定长6，∠ACB为定角45°，三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，底AB固定，因此只需找到AB边上的高的最大值即可。根据“定弦对定角”的几何特征，点C的轨迹是过A、B两点且弦AB所对圆周角为45°的圆，当点C到AB的距离最大时，对应的高最大，面积也最大，后续只需结合圆的性质计算最大高即可。
【解析】
1. 构造辅助圆：因为AB=6为定长，∠ACB=45°为定角，所以点C的轨迹是以AB为弦、所对圆周角为45°的圆，设圆心为O，半径为R。
2. 求圆心角及半径：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ ACB=90°$。在等腰$Rt△ AOB$中，$OA=OB=R$，由勾股定理得$OA^2+OB^2=AB^2$，即$2R^2=6^2=36$，解得$R=3\sqrt{2}$。
3. 求圆心到AB的距离：过O作$OD⊥ AB$于点D，等腰$Rt△ AOB$中，斜边上的高$OD=\frac{1}{2}AB=3$（也可通过面积法：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}· AB· OD$，代入数值解得$OD=3$）。
4. 求最大高及最大面积：当点C在AB的垂直平分线与优弧AB的交点处时，点C到AB的距离最大，最大高$h=OD+R=3+3\sqrt{2}$。此时△ABC的面积为：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}× AB× h=\frac{1}{2}×6×(3+3\sqrt{2})=9+9\sqrt{2}$
【答案】
$9\sqrt{2}+9$
【知识点】
定弦定角模型，圆周角定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何最值的典型题型，通过识别定弦定角的特征构造辅助圆，将动点轨迹的不确定问题转化为圆上点到直线的距离最值问题，解题思路清晰，熟练掌握辅助圆的构造技巧是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.6
15.如图,在半径为2的$\odot O$中,弦$AB⊥$直径$CD$,垂足为$E$,$∠ ACD=30°$,$P$为$\odot O$上一动点,$CF⊥ AP$于点$F$,连接$OF$.点$P$在$\odot O$上运动的过程中,求线段$OF$长度的最小值.
答案
15. 解:如答图,取AC的中点H,连接OH,HF,则OH⊥AC,
∴∠CHO=90°.
∵∠HCO=30°,
∴OH=1/2 OC=1,
∴CH=√3,
∴AC=2√3.
∵CF⊥AP,
∴∠AFC=90°,
∴HF=1/2 AC=√3,
∴OF≥FH−OH,即OF≥√3−1,
∴OF的最小值为√3−1.
解析
【分析】
求解动态线段的最小值，首先要确定动点F的运动轨迹：已知CF始终垂直AP，因此∠AFC恒为90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知点F的轨迹是以线段AC为直径的圆。接下来我们只需确定该轨迹圆的圆心、半径，以及圆心到点O的距离，即可根据“圆外一点到圆上所有点的最短距离为点到圆心的距离减去半径”求出OF的最小值。具体步骤：①取AC中点H作为轨迹圆的圆心；②结合已知的∠ACD=30°、⊙O半径为2，利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出OH、AC的长度；③得到轨迹圆半径HF后，利用三角形三边关系求最值。
【解析】
如答图，取AC的中点H，连接OH，HF。
∵ H是弦AC的中点，O是圆心，根据垂径定理的推论，得OH⊥AC，
∴ ∠CHO=90°。
在Rt△COH中，∠HCO=30°，OC=2（⊙O的半径），
∴ OH=$\frac{1}{2}$OC=1，
由勾股定理得CH=$\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ AC=2CH=$2\sqrt{3}$。
∵ CF⊥AP，
∴ ∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，H是斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得
HF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$。
在△OHF中，由三角形三边关系可知OF≥HF-OH，当且仅当O、H、F三点共线，且F落在线段OH上时，等号成立，
∴ OF≥$\sqrt{3}-1$，即OF的最小值为$\sqrt{3}-1$。
【答案】
线段OF长度的最小值为$\boldsymbol{\sqrt{3}-1}$。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于动态几何最值的典型题型，解题关键是根据恒定的直角判断出动点的轨迹为圆，将动态问题转化为静态的线段长度计算问题，对学生的轨迹分析能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
求解动态线段的最小值，首先要确定动点F的运动轨迹：已知CF始终垂直AP，因此∠AFC恒为90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知点F的轨迹是以线段AC为直径的圆。接下来我们只需确定该轨迹圆的圆心、半径，以及圆心到点O的距离，即可根据“圆外一点到圆上所有点的最短距离为点到圆心的距离减去半径”求出OF的最小值。具体步骤：①取AC中点H作为轨迹圆的圆心；②结合已知的∠ACD=30°、⊙O半径为2，利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出OH、AC的长度；③得到轨迹圆半径HF后，利用三角形三边关系求最值。
【解析】
如答图，取AC的中点H，连接OH，HF。
∵ H是弦AC的中点，O是圆心，根据垂径定理的推论，得OH⊥AC，
∴ ∠CHO=90°。
在Rt△COH中，∠HCO=30°，OC=2（⊙O的半径），
∴ OH=$\frac{1}{2}$OC=1，
由勾股定理得CH=$\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ AC=2CH=$2\sqrt{3}$。
∵ CF⊥AP，
∴ ∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，H是斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得
HF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$。
在△OHF中，由三角形三边关系可知OF≥HF-OH，当且仅当O、H、F三点共线，且F落在线段OH上时，等号成立，
∴ OF≥$\sqrt{3}-1$，即OF的最小值为$\sqrt{3}-1$。
【答案】
线段OF长度的最小值为$\boldsymbol{\sqrt{3}-1}$。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，点与圆的位置关系，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于动态几何最值的典型题型，解题关键是根据恒定的直角判断出动点的轨迹为圆，将动态问题转化为静态的线段长度计算问题，对学生的轨迹分析能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
