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1.(2025·宿迁沭阳外国语学校期末)下列一元二次方程中,两根之和为-1的是 (
A.$x^2 + x + 2 = 0$
B.$x^2 - x - 5 = 0$
C.$x^2 + x - 3 = 0$
D.$2x^2 - x - 1 = 0$
C
)A.$x^2 + x + 2 = 0$
B.$x^2 - x - 5 = 0$
C.$x^2 + x - 3 = 0$
D.$2x^2 - x - 1 = 0$
答案
1.C
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路分两步：第一步先判断方程是否有两个实数根（即判别式Δ=b²-4ac≥0），无实根的选项直接排除；第二步对有实根的选项，利用韦达定理“两根之和x₁+x₂=-b/a”计算，选出两根之和为-1的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）：
1. 根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，仅当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根，可使用韦达定理计算根与系数的关系；
2. 两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
逐个分析选项：
选项A：$x^2 + x + 2 = 0$，$a=1,b=1,c=2$，$\Delta=1^2-4×1×2=-7＜0$，方程无实根，排除；
选项B：$x^2 - x - 5 = 0$，$a=1,b=-1$，两根之和为$-\frac{-1}{1}=1≠-1$，排除；
选项C：$x^2 + x - 3 = 0$，$a=1,b=1$，$\Delta=1^2-4×1×(-3)=13＞0$有实根，两根之和为$-\frac{1}{1}=-1$，符合要求；
选项D：$2x^2 - x - 1 = 0$，$a=2,b=-1$，两根之和为$-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}≠-1$，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 韦达定理（根与系数的关系）
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略“方程有实根”的前提直接计算两根之和误选A，牢记韦达定理的适用条件是解题关键。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路分两步：第一步先判断方程是否有两个实数根（即判别式Δ=b²-4ac≥0），无实根的选项直接排除；第二步对有实根的选项，利用韦达定理“两根之和x₁+x₂=-b/a”计算，选出两根之和为-1的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）：
1. 根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，仅当$\Delta≥0$时，方程有两个实数根，可使用韦达定理计算根与系数的关系；
2. 两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
逐个分析选项：
选项A：$x^2 + x + 2 = 0$，$a=1,b=1,c=2$，$\Delta=1^2-4×1×2=-7＜0$，方程无实根，排除；
选项B：$x^2 - x - 5 = 0$，$a=1,b=-1$，两根之和为$-\frac{-1}{1}=1≠-1$，排除；
选项C：$x^2 + x - 3 = 0$，$a=1,b=1$，$\Delta=1^2-4×1×(-3)=13＞0$有实根，两根之和为$-\frac{1}{1}=-1$，符合要求；
选项D：$2x^2 - x - 1 = 0$，$a=2,b=-1$，两根之和为$-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}≠-1$，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 韦达定理（根与系数的关系）
【点评】
本题属于基础易错题，解题时容易忽略“方程有实根”的前提直接计算两根之和误选A，牢记韦达定理的适用条件是解题关键。
【难度系数】
0.8
2.(2025·兰州)若关于x的一元二次方程$x^2 + 2x + a = 0$有两个不相等的实数根，则a的值可以是（
A.3
B.2
C.1
D.0
D
）A.3
B.2
C.1
D.0
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要利用一元二次方程根的个数和判别式的对应关系解题。首先回忆知识点：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，判别式$\Delta=B^2-4AC$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，没有实数根。本题已知方程有两个不相等的实根，因此先确定方程对应$A、B、C$的值，代入判别式列不等式求解$a$的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + a = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta＞0$，
其中$\Delta = 2^2 - 4×1× a = 4 - 4a$，
代入不等式得：$4-4a＞0$，
解得：$a＜1$。
观察选项，只有D选项的$0$满足$a＜1$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式与根的个数的对应关系是解题的关键，解题时注意不要混淆方程中的参数和判别式公式里的系数即可。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们需要利用一元二次方程根的个数和判别式的对应关系解题。首先回忆知识点：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，判别式$\Delta=B^2-4AC$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，没有实数根。本题已知方程有两个不相等的实根，因此先确定方程对应$A、B、C$的值，代入判别式列不等式求解$a$的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + a = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta＞0$，
其中$\Delta = 2^2 - 4×1× a = 4 - 4a$，
代入不等式得：$4-4a＞0$，
解得：$a＜1$。
观察选项，只有D选项的$0$满足$a＜1$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式与根的个数的对应关系是解题的关键，解题时注意不要混淆方程中的参数和判别式公式里的系数即可。
【难度系数】
0.9
3.(2025·宿迁泗阳县期中)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1x_2$的值为（
A.$-5$
B.$-3$
C.$-\dfrac{5}{3}$
D.$\dfrac{5}{3}$
A
）A.$-5$
B.$-3$
C.$-\dfrac{5}{3}$
D.$\dfrac{5}{3}$
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系公式，对于一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$；接下来确定题目所给方程的二次项系数$a$、常数项$c$；最后代入两根之积的公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题中给出的方程为$x^2 - 3x -5=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$c=-5$。
代入公式计算得：$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的直接应用，只需熟记公式并准确提取方程各项系数即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系公式，对于一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$；接下来确定题目所给方程的二次项系数$a$、常数项$c$；最后代入两根之积的公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
题中给出的方程为$x^2 - 3x -5=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$c=-5$。
代入公式计算得：$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的直接应用，只需熟记公式并准确提取方程各项系数即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
4.(2025·宿迁宿豫区一模)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2ax + ab = \frac{1}{4}b^2 + 1$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，先将原方程移项整理为一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），注意区分一般式的系数和题目中的参数$a$、$b$；第二步，代入判别式公式$\Delta=B^2-4AC$计算并化简；第三步，结合完全平方的非负性判断$\Delta$和0的大小关系，即可确定根的情况。
【解析】
解：将原方程移项整理为一般形式：
$x^2 - 2ax + ab - \frac{1}{4}b^2 - 1 = 0$
其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2a$，常数项$C=ab - \frac{1}{4}b^2 - 1$
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= B^2 - 4AC \\&= (-2a)^2 - 4×1×(ab - \frac{1}{4}b^2 - 1) \\&= 4a^2 - 4ab + b^2 + 4 \\&= (2a - b)^2 + 4\end{aligned}$
∵ 任何数的平方都是非负数，即$(2a - b)^2 ≥ 0$
∴ $\Delta = (2a - b)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$
∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.完全平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是正确整理方程、熟练计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的正负即可求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，先将原方程移项整理为一元二次方程的一般形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），注意区分一般式的系数和题目中的参数$a$、$b$；第二步，代入判别式公式$\Delta=B^2-4AC$计算并化简；第三步，结合完全平方的非负性判断$\Delta$和0的大小关系，即可确定根的情况。
【解析】
解：将原方程移项整理为一般形式：
$x^2 - 2ax + ab - \frac{1}{4}b^2 - 1 = 0$
其中二次项系数$A=1$，一次项系数$B=-2a$，常数项$C=ab - \frac{1}{4}b^2 - 1$
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= B^2 - 4AC \\&= (-2a)^2 - 4×1×(ab - \frac{1}{4}b^2 - 1) \\&= 4a^2 - 4ab + b^2 + 4 \\&= (2a - b)^2 + 4\end{aligned}$
∵ 任何数的平方都是非负数，即$(2a - b)^2 ≥ 0$
∴ $\Delta = (2a - b)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$
∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.完全平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是正确整理方程、熟练计算判别式，结合平方的非负性判断判别式的正负即可求解。
【难度系数】
0.8
5.(2025·宿迁泗洪县期末)若$(2x+1)^4=a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$，则$a_0+a_2+a_4$的值为（
A.82
B.81
C.42
D.41
D
）A.82
B.81
C.42
D.41
答案
5.D
解析
【分析】
本题是求多项式偶次项系数的和，我们可以采用特殊值代入法求解，不需要直接展开多项式。思路是：分别将x=1和x=-1代入等式，得到两个关于系数的等式，再将两个等式相加，就能抵消奇次项的系数，只剩下偶次项系数和的2倍，最后除以2即可得到所求结果。
【解析】
解：① 当x=1时，代入等式得：
$(2×1 + 1)^4 = a_0×1^4 + a_1×1^3 + a_2×1^2 + a_3×1 + a_4$
即：$a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 3^4 = 81$ ---（1）
② 当x=-1时，代入等式得：
$[2×(-1) + 1]^4 = a_0×(-1)^4 + a_1×(-1)^3 + a_2×(-1)^2 + a_3×(-1) + a_4$
即：$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 = (-1)^4 = 1$ ---（2）
③ 将（1）+（2）得：
$2a_0 + 2a_2 + 2a_4 = 81 + 1 = 82$
两边同时除以2得：$a_0 + a_2 + a_4 = 41$
【答案】
D
【知识点】
特殊值代入法，多项式系数，整式运算
【点评】
本题考查多项式系数和的求解，用特殊值代入法比直接展开计算更简便，解题的核心是根据所求系数的特征选择合适的x值，通过等式加减消去不需要的奇次项系数，快速得到答案。
【难度系数】
0.7
本题是求多项式偶次项系数的和，我们可以采用特殊值代入法求解，不需要直接展开多项式。思路是：分别将x=1和x=-1代入等式，得到两个关于系数的等式，再将两个等式相加，就能抵消奇次项的系数，只剩下偶次项系数和的2倍，最后除以2即可得到所求结果。
【解析】
解：① 当x=1时，代入等式得：
$(2×1 + 1)^4 = a_0×1^4 + a_1×1^3 + a_2×1^2 + a_3×1 + a_4$
即：$a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 3^4 = 81$ ---（1）
② 当x=-1时，代入等式得：
$[2×(-1) + 1]^4 = a_0×(-1)^4 + a_1×(-1)^3 + a_2×(-1)^2 + a_3×(-1) + a_4$
即：$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 = (-1)^4 = 1$ ---（2）
③ 将（1）+（2）得：
$2a_0 + 2a_2 + 2a_4 = 81 + 1 = 82$
两边同时除以2得：$a_0 + a_2 + a_4 = 41$
【答案】
D
【知识点】
特殊值代入法，多项式系数，整式运算
【点评】
本题考查多项式系数和的求解，用特殊值代入法比直接展开计算更简便，解题的核心是根据所求系数的特征选择合适的x值，通过等式加减消去不需要的奇次项系数，快速得到答案。
【难度系数】
0.7
6.(2025·广东)不解方程,判断一元二次方程$2x^2 + x - 1 = 0$的根的情况是
方程有两个不相等的实数根
.答案
6.方程有两个不相等的实数根
解析
【分析】
不解方程判断一元二次方程根的情况，需利用一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路为：首先确定一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中$a、b、c$的取值，接着代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的正负判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + x - 1 = 0$，可得$a=2$，$b=1$，$c=-1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-1) = 1+8=9$
因为$\Delta=9＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
方程有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础考查题，核心是根的判别式的应用，只要熟记判别式的计算公式以及不同取值对应的根的三种情况，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
不解方程判断一元二次方程根的情况，需利用一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路为：首先确定一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中$a、b、c$的取值，接着代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的正负判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + x - 1 = 0$，可得$a=2$，$b=1$，$c=-1$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-1) = 1+8=9$
因为$\Delta=9＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
方程有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 判别式与根的对应关系
【点评】
本题属于基础考查题，核心是根的判别式的应用，只要熟记判别式的计算公式以及不同取值对应的根的三种情况，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
7.(2025·宿迁宿豫区二模)若关于$x$的一元二次方程$x^2 -kx +2=0$的一个根为$-1$,则它的另一个根为
-2
.答案
7.-2
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：思路1：利用一元二次方程根的定义，先将已知根x=-1代入原方程求出参数k的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，已知一个根、二次项系数和常数项，可直接计算出另一个根，该方法更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，一元二次方程$x^2 -kx +2=0$中，二次项系数$a=1$，常数项$c=2$。
根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，可得：
$-1 × x_1 = \frac{2}{1}$
解得$x_1=-2$。
方法二（代入求参法）：
将$x=-1$代入原方程，得：
$(-1)^2 - k×(-1) + 2 = 0$
化简得$1+k+2=0$，解得$k=-3$。
原方程变为$x^2 + 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-2$，即另一个根为-2。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程根的相关性质，两种解法都适用，其中利用根与系数的关系可跳过求参数的步骤，提升解题速度，建议熟练掌握该技巧。
【难度系数】
0.9
解题可从两种思路入手：思路1：利用一元二次方程根的定义，先将已知根x=-1代入原方程求出参数k的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，已知一个根、二次项系数和常数项，可直接计算出另一个根，该方法更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，一元二次方程$x^2 -kx +2=0$中，二次项系数$a=1$，常数项$c=2$。
根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}$，可得：
$-1 × x_1 = \frac{2}{1}$
解得$x_1=-2$。
方法二（代入求参法）：
将$x=-1$代入原方程，得：
$(-1)^2 - k×(-1) + 2 = 0$
化简得$1+k+2=0$，解得$k=-3$。
原方程变为$x^2 + 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-2$，即另一个根为-2。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程根的相关性质，两种解法都适用，其中利用根与系数的关系可跳过求参数的步骤，提升解题速度，建议熟练掌握该技巧。
【难度系数】
0.9
8.(2025·宿迁沭阳县二模)设$a,b$是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，则$a^2 + 2a + b$的值为
2025
。答案
8.2025
解析
【分析】
本题可通过一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解，无需直接计算a、b的具体值：首先利用a是方程的根，推导得到a²+a的数值；再将所求代数式拆分为含a²+a和a+b的形式，最后通过根与系数的关系求出两根之和a+b，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的实数根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + a - 2026 = 0$，即$a^2 + a = 2026$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{1}{1} = -1$。
对所求代数式变形可得：
$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b)$
将$a^2 + a = 2026$，$a + b = -1$代入上式得：
原式$= 2026 + (-1) = 2025$
【答案】
2025
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型题型，解题核心是通过代数式变形，结合根的定义和韦达定理简化计算，避免直接求解方程得到a、b的值，减少计算量。
【难度系数】
0.7
本题可通过一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解，无需直接计算a、b的具体值：首先利用a是方程的根，推导得到a²+a的数值；再将所求代数式拆分为含a²+a和a+b的形式，最后通过根与系数的关系求出两根之和a+b，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的实数根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + a - 2026 = 0$，即$a^2 + a = 2026$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{1}{1} = -1$。
对所求代数式变形可得：
$a^2 + 2a + b = (a^2 + a) + (a + b)$
将$a^2 + a = 2026$，$a + b = -1$代入上式得：
原式$= 2026 + (-1) = 2025$
【答案】
2025
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型题型，解题核心是通过代数式变形，结合根的定义和韦达定理简化计算，避免直接求解方程得到a、b的值，减少计算量。
【难度系数】
0.7
9.(2025·宿迁宿城区二模)设$x_1,x_2$是方程$x^2+mx-2=0$的两个根，且$x_1+x_2=2x_1x_2$，则$m=$
4
答案
9.4
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；接下来根据该定理写出题干方程的两根和、两根积的含m表达式；再代入题目给出的等量关系$x_1+x_2=2x_1x_2$，得到关于m的方程，求解后验证方程是否有实根即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+mx-2=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-2$。
根据韦达定理，方程的两根满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$。
已知$x_1+x_2=2x_1x_2$，将上述结果代入等式得：
$-m=2×(-2)$
计算得$-m=-4$，解得$m=4$。
验证：当$m=4$时，方程的判别式$\Delta=m^2-4ac=4^2-4×1×(-2)=24＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
4
【知识点】
韦达定理；解一元一次方程；根的判别式
【点评】
本题是基础常考题，核心是熟练掌握韦达定理的内容，注意不要记错两根之和的符号，求解后验证判别式可确保结果的正确性。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；接下来根据该定理写出题干方程的两根和、两根积的含m表达式；再代入题目给出的等量关系$x_1+x_2=2x_1x_2$，得到关于m的方程，求解后验证方程是否有实根即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+mx-2=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-2$。
根据韦达定理，方程的两根满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$。
已知$x_1+x_2=2x_1x_2$，将上述结果代入等式得：
$-m=2×(-2)$
计算得$-m=-4$，解得$m=4$。
验证：当$m=4$时，方程的判别式$\Delta=m^2-4ac=4^2-4×1×(-2)=24＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
4
【知识点】
韦达定理；解一元一次方程；根的判别式
【点评】
本题是基础常考题，核心是熟练掌握韦达定理的内容，注意不要记错两根之和的符号，求解后验证判别式可确保结果的正确性。
【难度系数】
0.8
10.(2025·泸州)若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,则$2α^2 -3α +3β$的值为
10
.答案
10.10
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先观察所求代数式中含有$2α^2$，已知$α$是给定一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义，根代入方程等式成立，可对$2α^2$进行降次变形；2. 将变形后的式子代入所求代数式，化简后可得到含两根之和$α+β$的形式；3. 最后利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，简化计算。
【解析】
∵ $α$是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根
∴ 将$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2=6α+1$
将$2α^2=6α+1$代入所求代数式：
$\begin{aligned}2α^2 -3α +3β&=(6α+1)-3α+3β\\&=3α+3β+1\\&=3(α+β)+1\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 -6x -1=0$，$a=2$，$b=-6$，两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=\frac{6}{2}=3$
将$α+β=3$代入得：$3×3 +1=10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合常考题，解题核心是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求解方程根的复杂运算，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先观察所求代数式中含有$2α^2$，已知$α$是给定一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义，根代入方程等式成立，可对$2α^2$进行降次变形；2. 将变形后的式子代入所求代数式，化简后可得到含两根之和$α+β$的形式；3. 最后利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，简化计算。
【解析】
∵ $α$是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根
∴ 将$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2=6α+1$
将$2α^2=6α+1$代入所求代数式：
$\begin{aligned}2α^2 -3α +3β&=(6α+1)-3α+3β\\&=3α+3β+1\\&=3(α+β)+1\end{aligned}$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 -6x -1=0$，$a=2$，$b=-6$，两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=\frac{6}{2}=3$
将$α+β=3$代入得：$3×3 +1=10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合常考题，解题核心是利用根的定义对高次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求解方程根的复杂运算，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共60分)
11.(20分)用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2=4x$；
(2)$(x-3)^2 -4=0$；
(3)$2x^2 -4x -5=0$；
(4)$(x-1)(x+2)=2(x+2)$。
11.(20分)用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2=4x$；
(2)$(x-3)^2 -4=0$；
(3)$2x^2 -4x -5=0$；
(4)$(x-1)(x+2)=2(x+2)$。
答案
11.解:(1)移项,得$x^2-4x=0$,
因式分解,得$x(x-4)=0$,
$\therefore x=0$或$x-4=0,\therefore x_1=0,x_2=4$.
(2)移项,得$(x-3)^2=4$,
开平方,得$x-3=\pm2$,
$\therefore x=3\pm2,\therefore x_1=5,x_2=1$.
(3)$\because a=2,b=-4,c=-5$,
$\therefore b^2-4ac=56,\therefore x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$,
$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$.
(4)移项,得$(x-1)(x+2)-2(x+2)=0$,
因式分解,得$(x+2)(x-1-2)=0$,
$\therefore x+2=0$或$x-3=0,\therefore x_1=-2,x_2=3$.
因式分解,得$x(x-4)=0$,
$\therefore x=0$或$x-4=0,\therefore x_1=0,x_2=4$.
(2)移项,得$(x-3)^2=4$,
开平方,得$x-3=\pm2$,
$\therefore x=3\pm2,\therefore x_1=5,x_2=1$.
(3)$\because a=2,b=-4,c=-5$,
$\therefore b^2-4ac=56,\therefore x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$,
$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$.
(4)移项,得$(x-1)(x+2)-2(x+2)=0$,
因式分解,得$(x+2)(x-1-2)=0$,
$\therefore x+2=0$或$x-3=0,\therefore x_1=-2,x_2=3$.
解析
【分析】
解一元二次方程需先观察方程特征选择最优解法：
(1) 方程左右两边都含未知数x，优先移项后提取公因式因式分解求解，注意不能直接两边除以x，避免丢失x=0的根；
(2) 方程左侧是完全平方式，右侧是常数，符合直接开平方法的形式，用直接开平方法最简便；
(3) 方程各项系数无特殊特征，难以因式分解，选择公式法求解，先确定a、b、c的值，再计算判别式，最后代入求根公式即可；
(4) 方程左右两边都含有公因式$(x+2)$，优先移项后提取公因式因式分解求解，不能直接两边除以$(x+2)$，避免丢失x=-2的根。
【解析】
(1) 移项,得$x^2-4x=0$,
因式分解,得$x(x-4)=0$,
$\therefore x=0$或$x-4=0,\therefore x_1=0,x_2=4$.
(2) 移项,得$(x-3)^2=4$,
开平方,得$x-3=\pm2$,
$\therefore x=3\pm2,\therefore x_1=5,x_2=1$.
(3) $\because a=2,b=-4,c=-5$,
$\therefore b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-5)=56$,
$\therefore x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$,
$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$.
(4) 移项,得$(x-1)(x+2)-2(x+2)=0$,
因式分解,得$(x+2)(x-1-2)=0$,
$\therefore x+2=0$或$x-3=0,\therefore x_1=-2,x_2=3$.
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=4$；
(2) $x_1=5,x_2=1$；
(3) $x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$；
(4) $x_1=-2,x_2=3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，需根据方程的结构特征灵活选用简便解法，解题时注意不要随意除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需先观察方程特征选择最优解法：
(1) 方程左右两边都含未知数x，优先移项后提取公因式因式分解求解，注意不能直接两边除以x，避免丢失x=0的根；
(2) 方程左侧是完全平方式，右侧是常数，符合直接开平方法的形式，用直接开平方法最简便；
(3) 方程各项系数无特殊特征，难以因式分解，选择公式法求解，先确定a、b、c的值，再计算判别式，最后代入求根公式即可；
(4) 方程左右两边都含有公因式$(x+2)$，优先移项后提取公因式因式分解求解，不能直接两边除以$(x+2)$，避免丢失x=-2的根。
【解析】
(1) 移项,得$x^2-4x=0$,
因式分解,得$x(x-4)=0$,
$\therefore x=0$或$x-4=0,\therefore x_1=0,x_2=4$.
(2) 移项,得$(x-3)^2=4$,
开平方,得$x-3=\pm2$,
$\therefore x=3\pm2,\therefore x_1=5,x_2=1$.
(3) $\because a=2,b=-4,c=-5$,
$\therefore b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-5)=56$,
$\therefore x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$,
$\therefore x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$.
(4) 移项,得$(x-1)(x+2)-2(x+2)=0$,
因式分解,得$(x+2)(x-1-2)=0$,
$\therefore x+2=0$或$x-3=0,\therefore x_1=-2,x_2=3$.
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=4$；
(2) $x_1=5,x_2=1$；
(3) $x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$；
(4) $x_1=-2,x_2=3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，需根据方程的结构特征灵活选用简便解法，解题时注意不要随意除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
