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10.(2025·广安)已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为a和b，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
29
.答案
10.29
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用一元二次方程根的定义：因为a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，将x=a代入方程一定成立，由此可得$a^2 -5a = 24$，即$a^2=5a+24$，将该式代入所求代数式可消去二次项，把代数式化简为$a+b+24$；第二步，利用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$a+b$的值；第三步，整体代入化简后的代数式即可算出结果。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，即$a^2=5a+24$，
把$a^2=5a+24$代入$a^2 -4a +b$，得：
$\begin{aligned}原式&=5a+24-4a+b\\&=a+b+24\end{aligned}$
又
∵a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两根，根据根与系数的关系：
$a+b=-\frac{-5}{1}=5$，
∴原式$=5+24=29$。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题核心是利用根的定义对所求代数式降次变形，结合韦达定理整体代入计算，避免了求解方程根的繁琐，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，利用一元二次方程根的定义：因为a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，将x=a代入方程一定成立，由此可得$a^2 -5a = 24$，即$a^2=5a+24$，将该式代入所求代数式可消去二次项，把代数式化简为$a+b+24$；第二步，利用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$a+b$的值；第三步，整体代入化简后的代数式即可算出结果。
【解析】
解：
∵a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 -5a -24=0$，即$a^2=5a+24$，
把$a^2=5a+24$代入$a^2 -4a +b$，得：
$\begin{aligned}原式&=5a+24-4a+b\\&=a+b+24\end{aligned}$
又
∵a、b是方程$x^2 -5x -24=0$的两根，根据根与系数的关系：
$a+b=-\frac{-5}{1}=5$，
∴原式$=5+24=29$。
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题核心是利用根的定义对所求代数式降次变形，结合韦达定理整体代入计算，避免了求解方程根的繁琐，体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
11.已知实数$m,n$满足$m^2 + 2m -1=0$，$n^2 + 2n -1=0$，且$m≠n$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=$
2
.答案
11.2
解析
【分析】
首先观察已知条件中m、n满足的方程结构完全相同，且m≠n，可判断m、n是一元二次方程$x^2+2x-1=0$的两个不相等的实数根。再将所求的代数式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分变形为$\frac{m+n}{mn}$，最后利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入变形后的式子即可算出结果。
【解析】
解：
∵实数m、n满足$m^2 + 2m -1=0$，$n^2 + 2n -1=0$，且$m≠n$，
∴m、n是关于x的一元二次方程$x^2 + 2x -1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：
$m + n = -\frac{b}{a} = -2$，$mn = \frac{c}{a} = -1$，
对$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分化简得：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n} = \frac{n + m}{mn}$，
将$m + n = -2$，$mn = -1$代入上式得：
原式$=\frac{-2}{-1}=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；分式化简求值
【点评】
本题的解题核心是利用两个方程的结构特征，将m、n转化为同一一元二次方程的两个不等实根，再结合整体代入的思想对所求分式变形后计算，避免了直接解方程的繁琐，是根与系数关系的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件中m、n满足的方程结构完全相同，且m≠n，可判断m、n是一元二次方程$x^2+2x-1=0$的两个不相等的实数根。再将所求的代数式$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分变形为$\frac{m+n}{mn}$，最后利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入变形后的式子即可算出结果。
【解析】
解：
∵实数m、n满足$m^2 + 2m -1=0$，$n^2 + 2n -1=0$，且$m≠n$，
∴m、n是关于x的一元二次方程$x^2 + 2x -1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：
$m + n = -\frac{b}{a} = -2$，$mn = \frac{c}{a} = -1$，
对$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分化简得：
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n} = \frac{n + m}{mn}$，
将$m + n = -2$，$mn = -1$代入上式得：
原式$=\frac{-2}{-1}=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；分式化简求值
【点评】
本题的解题核心是利用两个方程的结构特征，将m、n转化为同一一元二次方程的两个不等实根，再结合整体代入的思想对所求分式变形后计算，避免了直接解方程的繁琐，是根与系数关系的典型应用题型。
【难度系数】
0.8
12.(2025·宿迁泗洪县期中)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
(1)求下列代数式的值:①$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$；②$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$.
(2)已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，求$p$的值.
(1)求下列代数式的值:①$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$；②$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$.
(2)已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，求$p$的值.
答案
12.解:(1)由根与系数的关系,得 $x_1 + x_2 = p$,$x_1x_2=1$,
∴①原式$=\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}=\frac{p}{1}=p$.
②原式$=\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{p^2 - 2×1}{1}=p^2 - 2$.
(2)$\because x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$,$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 2p + 1$,
$\therefore p^2 - 2 = 2p + 1$,$\therefore p^2 - 2p - 3 = 0$,
$\therefore p_1=3$,$p_2=-1$.
$\because$ 当 $p=-1$ 时,方程 $x^2 + x + 1 = 0$ 无实根,
$\therefore p_2=-1$ 舍去,从而 $p=3$.
综上,$p$ 的值为 3.
∴①原式$=\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}=\frac{p}{1}=p$.
②原式$=\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{p^2 - 2×1}{1}=p^2 - 2$.
(2)$\because x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$,$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 2p + 1$,
$\therefore p^2 - 2 = 2p + 1$,$\therefore p^2 - 2p - 3 = 0$,
$\therefore p_1=3$,$p_2=-1$.
$\because$ 当 $p=-1$ 时,方程 $x^2 + x + 1 = 0$ 无实根,
$\therefore p_2=-1$ 舍去,从而 $p=3$.
综上,$p$ 的值为 3.
解析
【分析】
首先，题目明确一元二次方程有两个不相等的实数根，我们可以先根据根与系数的关系（韦达定理）直接得到两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的表达式。对于(1)中的两个代数式，通过通分、完全平方公式变形，可将其转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入数值即可求解。对于(2)，同样利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的式子，结合已知条件列出关于$p$的方程，解出$p$后，需要结合方程有两个不相等实根的判别式条件，检验$p$的取值是否符合要求，舍去不符合的解。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$，
∴由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = p$，$x_1x_2 = 1$。
(1) ① 对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分得：$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$，
将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$代入得：原式$=\frac{p}{1}=p$。
② 对$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$通分得：$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$，
由完全平方公式变形得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
原式$=\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{p^2 - 2×1}{1} = p^2 - 2$。
(2)
∵$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，结合$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，
整理得$p^2 - 2p - 3 = 0$，因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，
解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
检验：当$p=-1$时，原方程为$x^2 + x + 1 = 0$，此时判别式$\Delta=1^2 - 4×1×1=-3＜0$，方程无实根，不符合题意，舍去；
当$p=3$时，原方程为$x^2 - 3x + 1 = 0$，判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×1×1=5＞0$，符合题意。
综上，$p$的值为3。
【答案】
(1) ① $p$；② $p^2-2$
(2) $3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题重点考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题关键是熟练掌握常见代数式的恒等变形技巧，求出参数值后要结合方程根的存在条件检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确一元二次方程有两个不相等的实数根，我们可以先根据根与系数的关系（韦达定理）直接得到两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的表达式。对于(1)中的两个代数式，通过通分、完全平方公式变形，可将其转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入数值即可求解。对于(2)，同样利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的式子，结合已知条件列出关于$p$的方程，解出$p$后，需要结合方程有两个不相等实根的判别式条件，检验$p$的取值是否符合要求，舍去不符合的解。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$，
∴由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = p$，$x_1x_2 = 1$。
(1) ① 对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分得：$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$，
将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$代入得：原式$=\frac{p}{1}=p$。
② 对$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$通分得：$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$，
由完全平方公式变形得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
原式$=\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{p^2 - 2×1}{1} = p^2 - 2$。
(2)
∵$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，结合$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入得：
$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，
整理得$p^2 - 2p - 3 = 0$，因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，
解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
检验：当$p=-1$时，原方程为$x^2 + x + 1 = 0$，此时判别式$\Delta=1^2 - 4×1×1=-3＜0$，方程无实根，不符合题意，舍去；
当$p=3$时，原方程为$x^2 - 3x + 1 = 0$，判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×1×1=5＞0$，符合题意。
综上，$p$的值为3。
【答案】
(1) ① $p$；② $p^2-2$
(2) $3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题重点考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题关键是熟练掌握常见代数式的恒等变形技巧，求出参数值后要结合方程根的存在条件检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
13.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$的两个实数根$x_1, x_2$满足$x_1x_2 + x_1 + x_2 ＞ 0$，求$a$的取值范围。
答案
13.解:$\because x_1$,$x_2$ 是 $x^2 - 2x + a = 0$ 的两个实数根,
$\therefore x_1 + x_2 = 2$,$x_1x_2 = a$.
$\because x_1x_2 + x_1 + x_2 ＞ 0$,$\therefore 2 + a ＞ 0$,解得 $a ＞ -2$.
又$\because$ 根的判别式$(-2)^2 - 4a ≥ 0$,解得 $a ≤ 1$,
$\therefore a$ 的取值范围为 $-2 ＜ a ≤ 1$.
$\therefore x_1 + x_2 = 2$,$x_1x_2 = a$.
$\because x_1x_2 + x_1 + x_2 ＞ 0$,$\therefore 2 + a ＞ 0$,解得 $a ＞ -2$.
又$\because$ 根的判别式$(-2)^2 - 4a ≥ 0$,解得 $a ≤ 1$,
$\therefore a$ 的取值范围为 $-2 ＜ a ≤ 1$.
解析
【分析】
解题时首先要明确题目给出的是有两个实数根的一元二次方程，因此需要同时满足两个条件：一是方程要有两个实数根，即根的判别式大于等于0；二是满足题干给出的两根关系式的不等式。我们可以先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入不等式得到a的一个取值范围，再结合判别式的限制条件，取两个范围的公共部分即可得到a的最终取值范围。
【解析】
解：
∵$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = a$。
∵$x_1x_2 + x_1 + x_2 ＞ 0$，
将上述结果代入得：$a + 2 ＞ 0$，
解得：$a ＞ -2$。
又
∵方程有两个实数根，
∴根的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × a ≥ 0$，
即$4 - 4a ≥ 0$，
解得：$a ≤ 1$。
综合两个条件，可得$a$的取值范围为$-2 ＜ a ≤ 1$。
【答案】
$-2 ＜ a ≤ 1$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根相关性质的基础综合题，易错点是容易忽略“两个实数根”的隐含条件，遗漏根的判别式大于等于0的限制，仅根据不等式求出$a＞-2$就当作最终结果，解题时要注意审题，充分挖掘题干的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题目给出的是有两个实数根的一元二次方程，因此需要同时满足两个条件：一是方程要有两个实数根，即根的判别式大于等于0；二是满足题干给出的两根关系式的不等式。我们可以先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入不等式得到a的一个取值范围，再结合判别式的限制条件，取两个范围的公共部分即可得到a的最终取值范围。
【解析】
解：
∵$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x + a = 0$的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = a$。
∵$x_1x_2 + x_1 + x_2 ＞ 0$，
将上述结果代入得：$a + 2 ＞ 0$，
解得：$a ＞ -2$。
又
∵方程有两个实数根，
∴根的判别式$\Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × a ≥ 0$，
即$4 - 4a ≥ 0$，
解得：$a ≤ 1$。
综合两个条件，可得$a$的取值范围为$-2 ＜ a ≤ 1$。
【答案】
$-2 ＜ a ≤ 1$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根相关性质的基础综合题，易错点是容易忽略“两个实数根”的隐含条件，遗漏根的判别式大于等于0的限制，仅根据不等式求出$a＞-2$就当作最终结果，解题时要注意审题，充分挖掘题干的隐含条件。
【难度系数】
0.7
14.(2025·南充)设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
14.(1)解:把 $x_1=-1$ 代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,
得 $m^2=6$,
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$,$\therefore (x-1)(x-2)=6$,即 $x^2 - 3x - 4 = 0$,
$\therefore (x-4)(x+1)=0$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=4$,
$\therefore x_2=4$,$m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明:$\because$ 方程$(x-1)(x-2)=m^2$ 即 $x^2 - 3x + 2 - m^2=0$ 的两根为 $x_1$,$x_2$,
$\therefore x_1 + x_2 = 3$,$x_1 · x_2 = 2 - m^2$,
$\therefore (x_1 - 1)(x_2 - 1)=x_1 · x_2 - (x_1 + x_2) + 1=2 - m^2 - 3 + 1=-m^2$.
$\because m^2 ≥ 0$,$\therefore -m^2 ≤ 0$,即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$.
得 $m^2=6$,
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$,$\therefore (x-1)(x-2)=6$,即 $x^2 - 3x - 4 = 0$,
$\therefore (x-4)(x+1)=0$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=4$,
$\therefore x_2=4$,$m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明:$\because$ 方程$(x-1)(x-2)=m^2$ 即 $x^2 - 3x + 2 - m^2=0$ 的两根为 $x_1$,$x_2$,
$\therefore x_1 + x_2 = 3$,$x_1 · x_2 = 2 - m^2$,
$\therefore (x_1 - 1)(x_2 - 1)=x_1 · x_2 - (x_1 + x_2) + 1=2 - m^2 - 3 + 1=-m^2$.
$\because m^2 ≥ 0$,$\therefore -m^2 ≤ 0$,即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$.
解析
【分析】
(1) 已知方程的一个根$x_1=-1$，解题思路为：先将已知根代入原方程，求出参数$m$的取值，再将$m$的值代回原方程，通过因式分解法解一元二次方程，即可得到另一个根$x_2$；
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，解题思路为：先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得到两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的表达式，再将待证的代数式展开，代入两根和、积的表达式化简，最后结合平方数的非负性即可证明结论。
【解析】
(1) 把 $x_1=-1$ 代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，
得 $(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即 $m^2=6$，
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$，
将$m^2=6$代入原方程得 $(x-1)(x-2)=6$，整理得 $x^2 - 3x - 4 = 0$，
因式分解得 $(x-4)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：$x^2 - 3x + 2 - m^2=0$，
$\because x_1,x_2$是该方程的两根，
$\therefore$ 由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = 3$，$x_1 · x_2 = 2 - m^2$，
将$(x_1 - 1)(x_2 - 1)$展开得：
$x_1 · x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$，
代入$x_1+x_2=3$、$x_1x_2=2-m^2$得：
原式$=2 - m^2 - 3 + 1=-m^2$，
$\because m^2 ≥ 0$，
$\therefore -m^2 ≤ 0$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问考察方程根的应用及一元二次方程的求解，属于基础考点；第二问需要结合根与系数的关系对代数式变形求证，侧重考察代数变形能力，整体题型常规，是该模块的高频考法。
【难度系数】
0.7
(1) 已知方程的一个根$x_1=-1$，解题思路为：先将已知根代入原方程，求出参数$m$的取值，再将$m$的值代回原方程，通过因式分解法解一元二次方程，即可得到另一个根$x_2$；
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，解题思路为：先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得到两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的表达式，再将待证的代数式展开，代入两根和、积的表达式化简，最后结合平方数的非负性即可证明结论。
【解析】
(1) 把 $x_1=-1$ 代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，
得 $(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即 $m^2=6$，
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$，
将$m^2=6$代入原方程得 $(x-1)(x-2)=6$，整理得 $x^2 - 3x - 4 = 0$，
因式分解得 $(x-4)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：$x^2 - 3x + 2 - m^2=0$，
$\because x_1,x_2$是该方程的两根，
$\therefore$ 由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = 3$，$x_1 · x_2 = 2 - m^2$，
将$(x_1 - 1)(x_2 - 1)$展开得：
$x_1 · x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$，
代入$x_1+x_2=3$、$x_1x_2=2-m^2$得：
原式$=2 - m^2 - 3 + 1=-m^2$，
$\because m^2 ≥ 0$，
$\therefore -m^2 ≤ 0$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问考察方程根的应用及一元二次方程的求解，属于基础考点；第二问需要结合根与系数的关系对代数式变形求证，侧重考察代数变形能力，整体题型常规，是该模块的高频考法。
【难度系数】
0.7
