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1.(2025·广西)已知$x_1$,$x_2$是方程$x^2 -20x -25=0$的两个实数根,则$x_1 + x_2 =$（
A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
C
）A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
答案
1.C
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两个实数根的和，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需解方程求根。解题思路为：首先确定给定方程的二次项系数a、一次项系数b（注意系数要带对应符号），再代入两根之和的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，若其两个实数根为$x_1$、$x_2$，则根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
已知方程为$x^2 -20x -25=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$b=-20$，$c=-25$。
将系数代入两根之和的公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是基础考查题，主要对韦达定理的直接应用进行检验，解题的关键是准确识别方程各项的系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两个实数根的和，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需解方程求根。解题思路为：首先确定给定方程的二次项系数a、一次项系数b（注意系数要带对应符号），再代入两根之和的公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，若其两个实数根为$x_1$、$x_2$，则根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
已知方程为$x^2 -20x -25=0$，对比一般形式可得：$a=1$，$b=-20$，$c=-25$。
将系数代入两根之和的公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是基础考查题，主要对韦达定理的直接应用进行检验，解题的关键是准确识别方程各项的系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
2.(2025·湖北)一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
2.D
解析
【分析】
遇到考查一元二次方程两根和、积的题目，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）快速求解，无需解方程即可得到结果。解题思路如下：第一步先将给定方程与一元二次方程标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数的正负符号；第二步代入韦达定理公式分别计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第三步将计算结果和四个选项逐一比对，选出正确结论即可，也可通过直接解方程求根后验证计算结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^2-4x+3=0$，可得$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{(-4)}{1}=4$，
$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
逐一判断选项：
A.$x_1+x_2=-4$，与计算结果不符，错误；
B.$x_1+x_2=3$，与计算结果不符，错误；
C.$x_1x_2=4$，与计算结果不符，错误；
D.$x_1x_2=3$，与计算结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础考查题，重点对韦达定理的应用进行检验，解题的关键是准确提取方程各项的系数，尤其注意不要遗漏一次项系数的负号，熟练掌握公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
遇到考查一元二次方程两根和、积的题目，优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）快速求解，无需解方程即可得到结果。解题思路如下：第一步先将给定方程与一元二次方程标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数的正负符号；第二步代入韦达定理公式分别计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第三步将计算结果和四个选项逐一比对，选出正确结论即可，也可通过直接解方程求根后验证计算结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^2-4x+3=0$，可得$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{(-4)}{1}=4$，
$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
逐一判断选项：
A.$x_1+x_2=-4$，与计算结果不符，错误；
B.$x_1+x_2=3$，与计算结果不符，错误；
C.$x_1x_2=4$，与计算结果不符，错误；
D.$x_1x_2=3$，与计算结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础考查题，重点对韦达定理的应用进行检验，解题的关键是准确提取方程各项的系数，尤其注意不要遗漏一次项系数的负号，熟练掌握公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3.(2025·苏州)已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$
-3
。答案
3.-3
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：先将已知根$x_1=1$代入原方程求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），由两根之和的公式直接计算未知根，该方法计算更简便，更贴合本节知识点。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+2x-m=0$，对应$a=1$，$b=2$，因此$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-2-1=-3$。
方法二（代入求参再解方程）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2+2x-m=0$，得$1^2+2×1 -m=0$，解得$m=3$。
则原方程为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x-1)(x+3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础题型，既可以通过代入已知根求参数再解方程求解，也可以直接用韦达定理简化计算，掌握根与系数的关系可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路1：先将已知根$x_1=1$代入原方程求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），由两根之和的公式直接计算未知根，该方法计算更简便，更贴合本节知识点。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+2x-m=0$，对应$a=1$，$b=2$，因此$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-2-1=-3$。
方法二（代入求参再解方程）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2+2x-m=0$，得$1^2+2×1 -m=0$，解得$m=3$。
则原方程为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x-1)(x+3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础题型，既可以通过代入已知根求参数再解方程求解，也可以直接用韦达定理简化计算，掌握根与系数的关系可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
4.(2025·武汉期末)一个直角三角形的两条直角边的长$a,b$是一元二次方程$x^2 -7x +5=0$的两个实数根,则这个直角三角形的斜边长为
$\sqrt{39}$
.答案
4.$\sqrt{39}$
解析
【分析】
要求直角三角形的斜边长，首先根据勾股定理，可知斜边长的平方等于两条直角边长的平方和，即$c^2=a^2+b^2$。已知$a,b$是一元二次方程的两个实数根，不需要单独求解$a,b$的具体值，可利用一元二次方程根与系数的关系先求出$a+b$和$ab$的值，再将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，整体代入计算得到斜边长的平方，最后开平方取正值即可得到斜边长。
【解析】
解：
∵ $a,b$是一元二次方程$x^2-7x+5=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$a+b=7$，$ab=5$，
设该直角三角形的斜边长为$c$，根据勾股定理可得：
$c^2=a^2+b^2$，
又
∵ $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
代入数值计算得：
$c^2=7^2 - 2×5=49-10=39$，
∵ $c$为三角形边长，$c＞0$，
∴ $c=\sqrt{39}$。
【答案】
$\sqrt{39}$
【知识点】
1.勾股定理 2.一元二次方程根与系数的关系 3.完全平方公式变形
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，解题核心是运用整体思想，通过完全平方公式变形将直角边长的平方和转化为两根之和与两根之积的表达式，无需解出方程的根即可快速计算结果，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
要求直角三角形的斜边长，首先根据勾股定理，可知斜边长的平方等于两条直角边长的平方和，即$c^2=a^2+b^2$。已知$a,b$是一元二次方程的两个实数根，不需要单独求解$a,b$的具体值，可利用一元二次方程根与系数的关系先求出$a+b$和$ab$的值，再将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$，整体代入计算得到斜边长的平方，最后开平方取正值即可得到斜边长。
【解析】
解：
∵ $a,b$是一元二次方程$x^2-7x+5=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$a+b=7$，$ab=5$，
设该直角三角形的斜边长为$c$，根据勾股定理可得：
$c^2=a^2+b^2$，
又
∵ $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
代入数值计算得：
$c^2=7^2 - 2×5=49-10=39$，
∵ $c$为三角形边长，$c＞0$，
∴ $c=\sqrt{39}$。
【答案】
$\sqrt{39}$
【知识点】
1.勾股定理 2.一元二次方程根与系数的关系 3.完全平方公式变形
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，解题核心是运用整体思想，通过完全平方公式变形将直角边长的平方和转化为两根之和与两根之积的表达式，无需解出方程的根即可快速计算结果，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
5.已知方程$x^2 +5x +1=0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，求下列代数式的值.
(1)$(x_1 -1)(x_2 -1)$；
(2)$x_1x_2^2 +x_1^2x_2$；
(3)$x_1^2 +x_2^2$；
(4)$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$.
(1)$(x_1 -1)(x_2 -1)$；
(2)$x_1x_2^2 +x_1^2x_2$；
(3)$x_1^2 +x_2^2$；
(4)$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$.
答案
5.解:根据根与系数的关系可得 $x_1 + x_2 = -5$,$x_1x_2=1$.
(1)$(x_1 -1)(x_2 -1)=x_1x_2-(x_1 + x_2)+1=1+5+1=7$.
(2)$x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)=1×(-5)=-5$.
(3)$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=(-5)^2 -2×1=23$.
(4)$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-5)^2 -2×1}{1}=23$.
(1)$(x_1 -1)(x_2 -1)=x_1x_2-(x_1 + x_2)+1=1+5+1=7$.
(2)$x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)=1×(-5)=-5$.
(3)$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=(-5)^2 -2×1=23$.
(4)$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-5)^2 -2×1}{1}=23$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题无需直接求解两根的具体值，思路如下：首先根据给定的一元二次方程，利用根与系数的关系先求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；再将每个待求代数式通过展开、提公因式、公式变形、通分等方式，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 +5x +1=0$的两个实数根$x_1,x_2$，可得：
$x_1 + x_2 = -5$，$x_1x_2=1$
(1) 展开代数式变形：
$(x_1 -1)(x_2 -1)=x_1x_2-(x_1 + x_2)+1$
代入数值计算：
原式$=1-(-5)+1=7$
(2) 提取公因式变形：
$x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$
代入数值计算：
原式$=1×(-5)=-5$
(3) 利用完全平方公式变形：
$x_1^2 +x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=(-5)^2 -2×1=23$
(4) 先通分再结合完全平方公式变形：
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
原式$=\frac{(-5)^2 -2×1}{1}=23$
【答案】
(1)$\boxed{7}$；(2)$\boxed{-5}$；(3)$\boxed{23}$；(4)$\boxed{23}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式变形，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查整体代入的思想，无需解出方程的根，只要熟练掌握常见代数式的变形技巧，就能快速计算出结果，是巩固根与系数相关知识的典型练习题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题无需直接求解两根的具体值，思路如下：首先根据给定的一元二次方程，利用根与系数的关系先求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；再将每个待求代数式通过展开、提公因式、公式变形、通分等方式，转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 +5x +1=0$的两个实数根$x_1,x_2$，可得：
$x_1 + x_2 = -5$，$x_1x_2=1$
(1) 展开代数式变形：
$(x_1 -1)(x_2 -1)=x_1x_2-(x_1 + x_2)+1$
代入数值计算：
原式$=1-(-5)+1=7$
(2) 提取公因式变形：
$x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)$
代入数值计算：
原式$=1×(-5)=-5$
(3) 利用完全平方公式变形：
$x_1^2 +x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=(-5)^2 -2×1=23$
(4) 先通分再结合完全平方公式变形：
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
原式$=\frac{(-5)^2 -2×1}{1}=23$
【答案】
(1)$\boxed{7}$；(2)$\boxed{-5}$；(3)$\boxed{23}$；(4)$\boxed{23}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式变形，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查整体代入的思想，无需解出方程的根，只要熟练掌握常见代数式的变形技巧，就能快速计算出结果，是巩固根与系数相关知识的典型练习题。
【难度系数】
0.8
6.(2025·宿迁宿豫区期中)若关于x的一元二次方程$x^2 -kx +4=0$有两个不相等的负实数根，则k的值可以是（
A.－4
B.4
C.－6
D.6
C
）A.－4
B.4
C.－6
D.6
答案
6.C
解析
【分析】要解决这道题，需结合一元二次方程根的特征分三步推导k的取值范围：首先，方程有两个不相等的实数根，说明判别式大于0；其次，两个根都是负实数根，根据韦达定理，两根之和小于0、两根之积大于0；最后结合所有限制条件筛选符合的选项即可。
【解析】设方程$x^2 -kx +4=0$的两根为$x_1$、$x_2$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-k$，常数项$c=4$。
1. 由方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = b^2-4ac = (-k)^2 -4×1×4 = k^2-16＞0$
解得$k＞4$或$k＜-4$。
2. 由两根都是负实数根，结合根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}=k＜0$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=4＞0$，该条件恒成立。
3. 综合以上条件，$k$的取值范围为$k＜-4$，选项中只有$-6$符合要求。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】本题是一元二次方程根的判别式和韦达定理的综合应用题，解题时需梳理清楚所有限制条件，不要漏判根的正负对应的运算特征，避免错选。
【难度系数】0.7
【解析】设方程$x^2 -kx +4=0$的两根为$x_1$、$x_2$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-k$，常数项$c=4$。
1. 由方程有两个不相等的实数根，可得判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = b^2-4ac = (-k)^2 -4×1×4 = k^2-16＞0$
解得$k＞4$或$k＜-4$。
2. 由两根都是负实数根，结合根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}=k＜0$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=4＞0$，该条件恒成立。
3. 综合以上条件，$k$的取值范围为$k＜-4$，选项中只有$-6$符合要求。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】本题是一元二次方程根的判别式和韦达定理的综合应用题，解题时需梳理清楚所有限制条件，不要漏判根的正负对应的运算特征，避免错选。
【难度系数】0.7
7.(2025·河北)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于
（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
7.C
解析
【分析】
要判断点$(m,n)$所在象限，需先求出$m$、$n$的值，其中$m$是方程两根之和，$n$是两根之积。解题步骤为：①将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定系数$a$、$b$、$c$；②根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，分别计算得到$m$、$n$的取值；③结合各象限内点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据根与系数的关系，两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$，
因此点$(m,n)$的坐标为$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心是对韦达定理的直接应用，解题时需注意先将方程化为一般形式再确定系数，计算两根之和时不要遗漏负号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
要判断点$(m,n)$所在象限，需先求出$m$、$n$的值，其中$m$是方程两根之和，$n$是两根之积。解题步骤为：①将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定系数$a$、$b$、$c$；②根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，分别计算得到$m$、$n$的取值；③结合各象限内点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
根据根与系数的关系，两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$，
因此点$(m,n)$的坐标为$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限内点的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心是对韦达定理的直接应用，解题时需注意先将方程化为一般形式再确定系数，计算两根之和时不要遗漏负号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
8.(2025·宿迁泗洪县二模)若关于$x$的一元二次方程$ax^2-(3a+1)x+2(a+1)=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，且有$x_1 - x_1x_2 + x_2 = 1 - a$，则$a$的值是（
A.1
B.$-1$
C.1或$-1$
D.$-2$
B
）A.1
B.$-1$
C.1或$-1$
D.$-2$
答案
8.B
解析
【分析】
本题需结合一元二次方程的相关性质逐步推导：首先，题目明确是一元二次方程且有两个不相等的实数根，因此先确定隐含限制条件：二次项系数不为0，且根的判别式大于0；其次，给出的含两根的代数式可变形为两根之和减两根之积，刚好可以用根与系数的关系（韦达定理）转化为含a的表达式，代入等式求解a的可能值，最后用限制条件排除不符合的取值即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴$a≠ 0$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta ＞0$，
$\Delta =[-(3a+1)]^2 -4· a· 2(a+1)=9a^2+6a+1-8a^2-8a=a^2-2a+1=(a-1)^2＞0$，
解得$a≠ 1$。
根据根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=\frac{3a+1}{a}$，$x_1x_2=\frac{2(a+1)}{a}$。
将$x_1 - x_1x_2 + x_2 = 1 - a$变形为$(x_1+x_2)-x_1x_2=1-a$，代入上述结果：
$\frac{3a+1}{a}-\frac{2(a+1)}{a}=1-a$
左边化简得：$\frac{3a+1-2a-2}{a}=\frac{a-1}{a}$，
因此$\frac{a-1}{a}=1-a$，
移项提取公因式得：$(a-1)(\frac{1}{a}+1)=0$，
解得$a=1$或$a=-1$。
结合之前的限制条件$a≠ 0$且$a≠ 1$，舍去$a=1$，故$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的综合基础题，解题的关键是不要忽略一元二次方程二次项系数不为0、判别式大于0这两个隐含限制条件，避免求出a的取值后不验证直接选C的错误。
【难度系数】
0.6
本题需结合一元二次方程的相关性质逐步推导：首先，题目明确是一元二次方程且有两个不相等的实数根，因此先确定隐含限制条件：二次项系数不为0，且根的判别式大于0；其次，给出的含两根的代数式可变形为两根之和减两根之积，刚好可以用根与系数的关系（韦达定理）转化为含a的表达式，代入等式求解a的可能值，最后用限制条件排除不符合的取值即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴$a≠ 0$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta ＞0$，
$\Delta =[-(3a+1)]^2 -4· a· 2(a+1)=9a^2+6a+1-8a^2-8a=a^2-2a+1=(a-1)^2＞0$，
解得$a≠ 1$。
根据根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=\frac{3a+1}{a}$，$x_1x_2=\frac{2(a+1)}{a}$。
将$x_1 - x_1x_2 + x_2 = 1 - a$变形为$(x_1+x_2)-x_1x_2=1-a$，代入上述结果：
$\frac{3a+1}{a}-\frac{2(a+1)}{a}=1-a$
左边化简得：$\frac{3a+1-2a-2}{a}=\frac{a-1}{a}$，
因此$\frac{a-1}{a}=1-a$，
移项提取公因式得：$(a-1)(\frac{1}{a}+1)=0$，
解得$a=1$或$a=-1$。
结合之前的限制条件$a≠ 0$且$a≠ 1$，舍去$a=1$，故$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的综合基础题，解题的关键是不要忽略一元二次方程二次项系数不为0、判别式大于0这两个隐含限制条件，避免求出a的取值后不验证直接选C的错误。
【难度系数】
0.6
9.(1)设$x_1,x_2$是方程$x^2-3x-2026=0$的两个根，则$x_1^2-2x_1+x_2=$
(2)已知$α,β$是方程$x^2-3x-4=0$的两个实数根，则$2α^2-3α+β^2$的值为
2029
；(2)已知$α,β$是方程$x^2-3x-4=0$的两个实数根，则$2α^2-3α+β^2$的值为
21
。答案
9.(1)2029 (2)21
解析
【分析】
（1）解题思路：首先利用一元二次方程根的定义，将含x₁的二次项转化为一次式，代入所求代数式化简后，会出现两根之和的形式，再结合根与系数的关系求出两根之和，整体代入计算即可。
（2）解题思路：所求代数式含α²、β²两个二次项，先利用方程根的定义分别将两个二次项降次为一次式，代入代数式化简后得到含两根之和的式子，再用根与系数的关系求出两根之和，整体代入计算即可。
【解析】
（1）
∵x₁是方程$x^2-3x-2026=0$的根
∴$x_1^2-3x_1-2026=0$，即$x_1^2=3x_1+2026$
代入$x_1^2-2x_1+x_2$得：
原式=$3x_1+2026-2x_1+x_2=x_1+x_2+2026$
由根与系数的关系，方程$x^2-3x-2026=0$的两根之和$x_1+x_2=3$
∴原式=$3+2026=2029$
（2）
∵α、β是方程$x^2-3x-4=0$的两个实数根
∴$α^2-3α-4=0$，$β^2-3β-4=0$，且两根之和$α+β=3$
即$α^2=3α+4$，$β^2=3β+4$
代入$2α^2-3α+β^2$得：
原式=$2(3α+4)-3α+(3β+4)=6α+8-3α+3β+4=3α+3β+12=3(α+β)+12$
将$α+β=3$代入得：原式=$3×3+12=21$
【答案】
(1)2029；(2)21
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的综合应用，核心解题技巧是利用根的定义实现降次转化，再结合根与系数的关系整体代入计算，规避了直接求方程根的繁琐运算，考查了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
（1）解题思路：首先利用一元二次方程根的定义，将含x₁的二次项转化为一次式，代入所求代数式化简后，会出现两根之和的形式，再结合根与系数的关系求出两根之和，整体代入计算即可。
（2）解题思路：所求代数式含α²、β²两个二次项，先利用方程根的定义分别将两个二次项降次为一次式，代入代数式化简后得到含两根之和的式子，再用根与系数的关系求出两根之和，整体代入计算即可。
【解析】
（1）
∵x₁是方程$x^2-3x-2026=0$的根
∴$x_1^2-3x_1-2026=0$，即$x_1^2=3x_1+2026$
代入$x_1^2-2x_1+x_2$得：
原式=$3x_1+2026-2x_1+x_2=x_1+x_2+2026$
由根与系数的关系，方程$x^2-3x-2026=0$的两根之和$x_1+x_2=3$
∴原式=$3+2026=2029$
（2）
∵α、β是方程$x^2-3x-4=0$的两个实数根
∴$α^2-3α-4=0$，$β^2-3β-4=0$，且两根之和$α+β=3$
即$α^2=3α+4$，$β^2=3β+4$
代入$2α^2-3α+β^2$得：
原式=$2(3α+4)-3α+(3β+4)=6α+8-3α+3β+4=3α+3β+12=3(α+β)+12$
将$α+β=3$代入得：原式=$3×3+12=21$
【答案】
(1)2029；(2)21
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的综合应用，核心解题技巧是利用根的定义实现降次转化，再结合根与系数的关系整体代入计算，规避了直接求方程根的繁琐运算，考查了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
