11.(2025·宿迁泗阳县期中)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2 = 0$.
(1)若方程有实数根,求$k$的取值范围.
(2)方程的一个根可以为1吗?如果可以,求$k$的值;如果不可以,说明理由.

11.解:(1)根据题意,得$b^2 -4ac=[-2(k+1)]^2 -4(k^2 +2)≥0$,整理,得$2k-1≥0$,解得$k≥\frac{1}{2}$.
(2)$\because x=1,\therefore 1-2(k+1)+k^2 +2=0$,
$\therefore k^2 -2k +1=0,\therefore k_1=k_2=1.$
综上,方程的一个根可以为1,此时$k$的值为1.

12. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 4mx + 3m^2 = 0 $。
(1)求证:该方程总有两个实数根；
(2)若$ m＞0 $，且该方程的两个实数根的差为2，求$ m $的值。

12.(1)证明:$\because a=1,b=-4m,c=3m^2$,
$\therefore b^2 -4ac=(-4m)^2 -4×1×3m^2=4m^2.$
$\because$无论$m$取何值,$4m^2≥0$恒成立,
即$b^2 -4ac≥0$恒成立,$\therefore$原方程总有两个实数根.
(2)解:$\because x^2 -4mx +3m^2=0$,
解得$x_1=m,x_2=3m.$
$\because m＞0$,且该方程的两个实数根的差为2,
$\therefore 3m -m=2,\therefore m=1.$

13.已知$a,b,c$为$△ ABC$的三条边的长，且关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 -2bx -a +c=0$有两个相等的实数根，试判断该三角形的形状，并说明理由。

13.解:该三角形是直角三角形,理由如下:
$\because$方程$(a+c)x^2 -2bx -a +c=0$有两个相等的实数根,
$\therefore (-2b)^2 -4(a+c)(-a+c)=0$,
$\therefore a^2 +b^2 =c^2,\therefore △ ABC$是直角三角形.

14.已知关于$x$的方程$x^2-(m+2)x+(2m-1)=0$.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.

14.(1)证明:$\because b^2 -4ac=[-(m+2)]^2 -4(2m-1)=(m-2)^2 +4$,
$\therefore$在实数范围内,$m$无论取何值,$(m-2)^2 +4≥4＞0$,
$\therefore$关于$x$的方程$x^2 -(m+2)x+(2m-1)=0$恒有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because$此方程的一个根是1,
$\therefore 1^2 -1×(m+2)+(2m-1)=0$,解得$m=2$,
原方程为$x^2 -4x +3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,
$\therefore$方程的另一根为3.
当该直角三角形的两直角边长是1,3时,由勾股定理,得斜边的长度为$\sqrt{10}$,
该直角三角形的周长为$1+3+\sqrt{10}=4+\sqrt{10}$.
当该直角三角形的直角边和斜边长分别是1,3时,由勾股定理,得该直角三角形的另一直角边长为$2\sqrt{2}$,则该直角三角形的周长为$1+3+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}.$