11.(2025·宿迁泗阳县期中)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2 = 0$.
(1)若方程有实数根,求$k$的取值范围.
(2)方程的一个根可以为1吗?如果可以,求$k$的值;如果不可以,说明理由.

11.解:(1)根据题意,得$b^2 -4ac=[-2(k+1)]^2 -4(k^2 +2)≥0$,整理,得$2k-1≥0$,解得$k≥\frac{1}{2}$.
(2)$\because x=1,\therefore 1-2(k+1)+k^2 +2=0$,
$\therefore k^2 -2k +1=0,\therefore k_1=k_2=1.$
综上,方程的一个根可以为1,此时$k$的值为1.

【分析】
（1）一元二次方程有实数根时，根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，我们先确定题中方程对应的$a$、$b$、$c$的取值，代入判别式即可得到关于$k$的不等式，解不等式就能得到$k$的取值范围。
（2）根据方程根的定义，若$x=1$是方程的根，代入原方程后等式成立，我们将$x=1$代入方程得到关于$k$的方程，若所得方程有解，且解满足（1）中$k$的取值范围，就说明1可以是方程的根，同时求出对应的$k$值。
【解析】
(1) 已知方程是一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式$\Delta ≥ 0$。
其中$a=1$，$b=-2(k+1)$，$c=k^2+2$，代入判别式得：
$\Delta = [-2(k+1)]^2 - 4 × 1 × (k^2+2) ≥ 0$
展开计算：$4(k^2+2k+1) - 4k^2 - 8 ≥ 0$
去括号整理得：$8k - 4 ≥ 0$，即$2k-1 ≥ 0$
解得：$k ≥ \frac{1}{2}$
(2) 将$x=1$代入原方程得：
$1^2 - 2(k+1) × 1 + k^2 + 2 = 0$
整理得：$k^2 - 2k + 1 = 0$
因式分解得：$(k-1)^2 = 0$，解得$k_1=k_2=1$
由(1)可知$k ≥ \frac{1}{2}$，$1$满足该取值范围，因此1可以是方程的根。
【答案】
(1) $k≥\frac{1}{2}$
(2) 可以，此时$k$的值为1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的定义
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查根的判别式和根的定义的应用，解题时注意第二问求出的参数需要验证是否满足方程有实根的前提条件，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8

12. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 4mx + 3m^2 = 0 $。
(1)求证:该方程总有两个实数根；
(2)若$ m＞0 $，且该方程的两个实数根的差为2，求$ m $的值。

12.(1)证明:$\because a=1,b=-4m,c=3m^2$,
$\therefore b^2 -4ac=(-4m)^2 -4×1×3m^2=4m^2.$
$\because$无论$m$取何值,$4m^2≥0$恒成立,
即$b^2 -4ac≥0$恒成立,$\therefore$原方程总有两个实数根.
(2)解:$\because x^2 -4mx +3m^2=0$,
解得$x_1=m,x_2=3m.$
$\because m＞0$,且该方程的两个实数根的差为2,
$\therefore 3m -m=2,\therefore m=1.$

【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是验证判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$恒成立：首先确定方程各项系数，代入判别式化简，判断化简结果的非负性即可完成证明。
(2) 已知$m＞0$且两根差为2，可先通过因式分解法求出方程的两个根，再结合根的大小关系列关于$m$的方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2 - 4mx + 3m^2 = 0$中，$a=1$，$b=-4m$，$c=3m^2$，
代入判别式得：
$\Delta = b^2-4ac = (-4m)^2 - 4×1×3m^2 = 16m^2 - 12m^2 = 4m^2$
∵ 无论$m$取何值，$m^2≥0$恒成立，因此$4m^2≥0$，即$\Delta≥0$恒成立，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2) 解：对原方程因式分解可得：
$(x - m)(x - 3m) = 0$
∴ $x_1=m$，$x_2=3m$，
∵ $m＞0$，
∴ $3m ＞ m$，
又
∵ 两个实数根的差为2，
∴ $3m - m = 2$，解得$m=1$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{m=1}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程、含参数的一元二次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问是根的判别式的常规应用，第二问既可以通过因式分解求根解题，也可通过韦达定理求解，熟练掌握一元二次方程的基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8

13.已知$a,b,c$为$△ ABC$的三条边的长，且关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 -2bx -a +c=0$有两个相等的实数根，试判断该三角形的形状，并说明理由。

13.解:该三角形是直角三角形,理由如下:
$\because$方程$(a+c)x^2 -2bx -a +c=0$有两个相等的实数根,
$\therefore (-2b)^2 -4(a+c)(-a+c)=0$,
$\therefore a^2 +b^2 =c^2,\therefore △ ABC$是直角三角形.

【分析】
要判断三角形的形状，需先得到三角形三边a、b、c的数量关系。首先已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，两个相等实根对应判别式Δ=0，因此我们先代入对应系数写出判别式表达式，令其等于0，再通过整式运算化简得到a、b、c的关系，最后结合勾股定理的逆定理判断三角形形状即可。
【解析】
该三角形是直角三角形，理由如下：
∵a、b、c为△ABC的三条边的长，
∴a＞0，c＞0，即a+c≠0，满足一元二次方程的定义。
∵方程$(a+c)x^2 -2bx -a +c=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-2b)^2 - 4(a+c)(-a + c) = 0$，
展开计算得：$4b^2 - 4(c^2 - a^2) = 0$，
两边同时除以4得：$b^2 - c^2 + a^2 = 0$，
整理得：$a^2 + b^2 = c^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，整式化简
【点评】
本题是代数与几何的基础综合题，将一元二次方程根的判定和三角形形状判断结合，解题核心是熟练掌握根的判别式和根的对应关系，通过运算推导得到三边的数量关系即可完成判断。
【难度系数】
0.75

14.已知关于$x$的方程$x^2-(m+2)x+(2m-1)=0$.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.

14.(1)证明:$\because b^2 -4ac=[-(m+2)]^2 -4(2m-1)=(m-2)^2 +4$,
$\therefore$在实数范围内,$m$无论取何值,$(m-2)^2 +4≥4＞0$,
$\therefore$关于$x$的方程$x^2 -(m+2)x+(2m-1)=0$恒有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because$此方程的一个根是1,
$\therefore 1^2 -1×(m+2)+(2m-1)=0$,解得$m=2$,
原方程为$x^2 -4x +3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,
$\therefore$方程的另一根为3.
当该直角三角形的两直角边长是1,3时,由勾股定理,得斜边的长度为$\sqrt{10}$,
该直角三角形的周长为$1+3+\sqrt{10}=4+\sqrt{10}$.
当该直角三角形的直角边和斜边长分别是1,3时,由勾股定理,得该直角三角形的另一直角边长为$2\sqrt{2}$,则该直角三角形的周长为$1+3+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}.$

【分析】
（1）要证明一元二次方程恒有两个不相等的实数根，核心思路是利用根的判别式判断：先计算$\Delta =b^2-4ac$，通过配方变形后，证明无论$m$取任意实数值，$\Delta$始终大于0即可得证。
（2）已知方程的一个根为1，先将$x=1$代入原方程求出参数$m$的值，再解一元二次方程得到另一根；求直角三角形周长时，由于未明确两条边哪条是斜边，需分类讨论：①1、3均为直角边；②3为斜边、1为直角边，分别用勾股定理计算第三边，再求和得到周长即可。
【解析】
(1) 证明：对于方程$x^2-(m+2)x+(2m-1)=0$，其中$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=2m-1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=[-(m+2)]^2 -4×1×(2m-1)=m^2+4m+4-8m+4=(m-2)^2 +4$，
$\because$ 对任意实数$m$，都有$(m-2)^2≥0$，
$\therefore (m-2)^2 +4≥4＞0$，
$\therefore$ 该方程恒有两个不相等的实数根。
(2) 解：$\because$ 方程的一个根是1，将$x=1$代入原方程得：
$1^2 -1×(m+2)+(2m-1)=0$，
整理得$m-2=0$，解得$m=2$，
将$m=2$代入原方程得$x^2 -4x +3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，
$\therefore$ 方程的另一根为3。
分两种情况计算直角三角形周长：
① 当1、3为直角三角形的两条直角边长时，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，
此时周长为$1+3+\sqrt{10}=4+\sqrt{10}$；
② 当1为直角边长，3为斜边长时，由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$，
此时周长为$1+3+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 方程恒有两个不相等的实数根，证明见解析；
(2) 方程的另一个根为3，以此两根为边长的直角三角形的周长为$4+\sqrt{10}$或$4+2\sqrt{2}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，勾股定理
【点评】
本题属于一元二次方程与几何的综合基础题，既考查了一元二次方程的相关性质，也结合了勾股定理的应用，解题时要注意第二问需分类讨论斜边的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7