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13.(15分)(2025·宿迁宿城区期中)已知关于x的一元二次方程$2x^2 -4x +m=0$.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程的两实数根为$x_1,x_2$,且满足$3x_1 +2x_2=2$,求实数m的值.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程的两实数根为$x_1,x_2$,且满足$3x_1 +2x_2=2$,求实数m的值.
答案
13.解:(1)由题意,得$b^2-4ac=(-4)^2-4×2m≥0$,
解得$m≤2$,
$\therefore$实数$m$的取值范围是$m≤2$.
(2)由根与系数的关系,得$x_1+x_2=2,x_1x_2=\frac{m}{2}$,
又$\because3x_1+2x_2=2$,
$\therefore x_1+4=2$,解得$x_1=-2$,从而$x_2=4$,
$\therefore\frac{m}{2}=-8,\therefore m=-16$.
解得$m≤2$,
$\therefore$实数$m$的取值范围是$m≤2$.
(2)由根与系数的关系,得$x_1+x_2=2,x_1x_2=\frac{m}{2}$,
又$\because3x_1+2x_2=2$,
$\therefore x_1+4=2$,解得$x_1=-2$,从而$x_2=4$,
$\therefore\frac{m}{2}=-8,\therefore m=-16$.
解析
【分析】
（1）一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ≥0，我们可以先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式公式得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围。
（2）已知方程两根的数量关系，我们先利用根与系数的关系求出x₁+x₂的值，再将给出的3x₁+2x₂=2变形，代入x₁+x₂的数值求出x₁，进而求出x₂，最后通过两根之积的公式计算m的值，注意要验证m是否符合第一问的取值范围。
【解析】
(1) 若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ=b²-4ac≥0。
在方程$2x^2 -4x +m=0$中，a=2，b=-4，c=m，代入得：
$(-4)^2-4×2m≥0$
$16-8m≥0$
解得$m≤2$
∴实数m的取值范围是$m≤2$。
(2) 根据根与系数的关系，方程两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{4}{2}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m}{2}$
已知$3x_1 +2x_2=2$，将式子变形为：
$x_1+2(x_1+x_2)=2$
把$x_1+x_2=2$代入得：
$x_1+2×2=2$，解得$x_1=-2$
将$x_1=-2$代入$x_1+x_2=2$，得$x_2=4$
再代入两根之积的公式：$\frac{m}{2}=(-2)×4=-8$
解得$m=-16$，符合$m≤2$的要求。
【答案】
(1) $m≤2$；(2) $m=-16$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元一次不等式解法
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，核心考察判别式和韦达定理的应用，解题时注意第二问求出的参数需要符合第一问的取值要求，熟练掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ≥0，我们可以先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式公式得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围。
（2）已知方程两根的数量关系，我们先利用根与系数的关系求出x₁+x₂的值，再将给出的3x₁+2x₂=2变形，代入x₁+x₂的数值求出x₁，进而求出x₂，最后通过两根之积的公式计算m的值，注意要验证m是否符合第一问的取值范围。
【解析】
(1) 若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ=b²-4ac≥0。
在方程$2x^2 -4x +m=0$中，a=2，b=-4，c=m，代入得：
$(-4)^2-4×2m≥0$
$16-8m≥0$
解得$m≤2$
∴实数m的取值范围是$m≤2$。
(2) 根据根与系数的关系，方程两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{4}{2}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m}{2}$
已知$3x_1 +2x_2=2$，将式子变形为：
$x_1+2(x_1+x_2)=2$
把$x_1+x_2=2$代入得：
$x_1+2×2=2$，解得$x_1=-2$
将$x_1=-2$代入$x_1+x_2=2$，得$x_2=4$
再代入两根之积的公式：$\frac{m}{2}=(-2)×4=-8$
解得$m=-16$，符合$m≤2$的要求。
【答案】
(1) $m≤2$；(2) $m=-16$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元一次不等式解法
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，核心考察判别式和韦达定理的应用，解题时注意第二问求出的参数需要符合第一问的取值要求，熟练掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
14.(15分)(2025·宿迁沭阳县期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -3x -k^2 +k +1=0$($k$为常数).
(1)求证:无论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程有两个实数根$x_1,x_2$,且$(x_1 +1)(x_2 +1)=3$,求$k$的值.
(1)求证:无论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程有两个实数根$x_1,x_2$,且$(x_1 +1)(x_2 +1)=3$,求$k$的值.
答案
14.解:(1)$\because b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-k^2+k+1)=4k^2-4k+5=(2k-1)^2+4＞0$,
$\therefore$无论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because$该方程有两个实数根$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=-k^2+k+1$.
$\because(x_1+1)(x_2+1)=3$,
$\therefore x_1x_2+x_1+x_2+1=3$,即$-k^2+k+1+3+1=3$,整理,得$k^2-k-2=0$,
$\therefore k_1=2,k_2=-1,\therefore k$的值为$2$或$-1$.
$\therefore$无论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because$该方程有两个实数根$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=-k^2+k+1$.
$\because(x_1+1)(x_2+1)=3$,
$\therefore x_1x_2+x_1+x_2+1=3$,即$-k^2+k+1+3+1=3$,整理,得$k^2-k-2=0$,
$\therefore k_1=2,k_2=-1,\therefore k$的值为$2$或$-1$.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需通过根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断：先代入系数计算$\Delta$，再通过配方变形，判断$\Delta$是否恒大于0即可得证。
(2) 题目出现方程两根的代数关系式，优先用根与系数的关系（韦达定理）写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式；再将$(x_1+1)(x_2+1)$展开整理，代入两根和、两根积的表达式得到关于$k$的方程，解方程即可求出$k$的值，因第一问已证$\Delta$恒正，无需额外检验。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 -3x -k^2 +k +1=0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-k^2+k+1$，
则判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×(-k^2 +k +1) \\&= 9 +4k^2 -4k -4 \\&= 4k^2 -4k +5 \\&= (2k-1)^2 +4\end{aligned}$
$\because (2k-1)^2≥0$，$\therefore (2k-1)^2 +4 ≥ 4 ＞0$，
$\therefore$无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：$\because$方程有两个实数根$x_1,x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -k^2 +k +1$，
将$(x_1+1)(x_2+1)=3$左边展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$，
代入两根和、两根积的表达式：
$-k^2 +k +1 + 3 +1 = 3$，
整理得$k^2 -k -2 =0$，
因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，
解得$k_1=2$，$k_2=-1$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $k$的值为$2$或$-1$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问核心是通过配方判断判别式的符号，第二问考察韦达定理的应用和代数式变形能力，计算难度较低，侧重对基础公式的掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需通过根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号判断：先代入系数计算$\Delta$，再通过配方变形，判断$\Delta$是否恒大于0即可得证。
(2) 题目出现方程两根的代数关系式，优先用根与系数的关系（韦达定理）写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式；再将$(x_1+1)(x_2+1)$展开整理，代入两根和、两根积的表达式得到关于$k$的方程，解方程即可求出$k$的值，因第一问已证$\Delta$恒正，无需额外检验。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 -3x -k^2 +k +1=0$，其中$a=1$，$b=-3$，$c=-k^2+k+1$，
则判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×(-k^2 +k +1) \\&= 9 +4k^2 -4k -4 \\&= 4k^2 -4k +5 \\&= (2k-1)^2 +4\end{aligned}$
$\because (2k-1)^2≥0$，$\therefore (2k-1)^2 +4 ≥ 4 ＞0$，
$\therefore$无论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：$\because$方程有两个实数根$x_1,x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -k^2 +k +1$，
将$(x_1+1)(x_2+1)=3$左边展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$，
代入两根和、两根积的表达式：
$-k^2 +k +1 + 3 +1 = 3$，
整理得$k^2 -k -2 =0$，
因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，
解得$k_1=2$，$k_2=-1$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $k$的值为$2$或$-1$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问核心是通过配方判断判别式的符号，第二问考察韦达定理的应用和代数式变形能力，计算难度较低，侧重对基础公式的掌握。
【难度系数】
0.8
