13.(15分)(2025·宿迁宿城区期中)已知关于x的一元二次方程$2x^2 -4x +m=0$.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程的两实数根为$x_1,x_2$,且满足$3x_1 +2x_2=2$,求实数m的值.

13.解:(1)由题意,得$b^2-4ac=(-4)^2-4×2m≥0$,
解得$m≤2$,
$\therefore$实数$m$的取值范围是$m≤2$.
(2)由根与系数的关系,得$x_1+x_2=2,x_1x_2=\frac{m}{2}$,
又$\because3x_1+2x_2=2$,
$\therefore x_1+4=2$,解得$x_1=-2$,从而$x_2=4$,
$\therefore\frac{m}{2}=-8,\therefore m=-16$.

14.(15分)(2025·宿迁沭阳县期末)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -3x -k^2 +k +1=0$($k$为常数).
(1)求证:无论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程有两个实数根$x_1,x_2$,且$(x_1 +1)(x_2 +1)=3$,求$k$的值.

14.解:(1)$\because b^2-4ac=(-3)^2-4×1×(-k^2+k+1)=4k^2-4k+5=(2k-1)^2+4＞0$,
$\therefore$无论$k$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because$该方程有两个实数根$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=-k^2+k+1$.
$\because(x_1+1)(x_2+1)=3$,
$\therefore x_1x_2+x_1+x_2+1=3$,即$-k^2+k+1+3+1=3$,整理,得$k^2-k-2=0$,
$\therefore k_1=2,k_2=-1,\therefore k$的值为$2$或$-1$.