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1.(2025·新疆)如图,小明在数学综合实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地.设矩形的宽为x m,根据题意可列方程为 (
A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
A
)A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先结合图形和题干条件梳理边的关系：已知墙面足够长，因此平行于墙面的一边不需要使用围栏，围栏仅围2条垂直于墙面的宽和1条平行于墙面的长。已知矩形的宽为x m，先计算2条宽的总长度，再用围栏总长度减去2条宽的长度，即可得到平行于墙面的长的长度，最后根据矩形面积公式结合已知面积即可列出对应方程。
【解析】
1. 表示矩形的长：
已知矩形垂直于墙的宽为x m，因此2条宽的总长度为2x m，围栏总长为24 m，所以平行于墙的矩形长为$(24-2x)$m。
2. 列面积方程：
根据矩形面积=长×宽，已知场地面积为$40\ \mathrm{m^2}$，代入对应量可得：
$x(24-2x)=40$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是结合图形特征，明确靠墙一侧无需围栏，正确表示出矩形的长和宽后代入面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先结合图形和题干条件梳理边的关系：已知墙面足够长，因此平行于墙面的一边不需要使用围栏，围栏仅围2条垂直于墙面的宽和1条平行于墙面的长。已知矩形的宽为x m，先计算2条宽的总长度，再用围栏总长度减去2条宽的长度，即可得到平行于墙面的长的长度，最后根据矩形面积公式结合已知面积即可列出对应方程。
【解析】
1. 表示矩形的长：
已知矩形垂直于墙的宽为x m，因此2条宽的总长度为2x m，围栏总长为24 m，所以平行于墙的矩形长为$(24-2x)$m。
2. 列面积方程：
根据矩形面积=长×宽，已知场地面积为$40\ \mathrm{m^2}$，代入对应量可得：
$x(24-2x)=40$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是结合图形特征，明确靠墙一侧无需围栏，正确表示出矩形的长和宽后代入面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2.(2025·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”其大意是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?设这个矩形的宽为x步,根据题意可列方程为 (
A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
A
)A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
答案
2.A
解析
【分析】
解这道题的核心是抓住题目中的等量关系列方程。首先明确已知条件：设矩形的宽为x步，长与宽的和为60步，矩形面积为864平方步。第一步先用含x的代数式表示出矩形的长，再结合矩形面积=长×宽的公式，将对应量代入即可得到方程，最后匹配选项得出答案。
【解析】
解：已知设矩形的宽为$ x $步，
∵长与宽共60步，
∴矩形的长为$ (60-x) $步，
根据矩形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，结合面积为864平方步，代入得：
$ x(60-x)=864 $，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 列方程找等量关系
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查方程的实际应用，解题关键是准确用未知数表示出长，再代入面积公式，属于基础类应用题，侧重对基础等量关系识别能力的考查。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是抓住题目中的等量关系列方程。首先明确已知条件：设矩形的宽为x步，长与宽的和为60步，矩形面积为864平方步。第一步先用含x的代数式表示出矩形的长，再结合矩形面积=长×宽的公式，将对应量代入即可得到方程，最后匹配选项得出答案。
【解析】
解：已知设矩形的宽为$ x $步，
∵长与宽共60步，
∴矩形的长为$ (60-x) $步，
根据矩形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，结合面积为864平方步，代入得：
$ x(60-x)=864 $，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 列方程找等量关系
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查方程的实际应用，解题关键是准确用未知数表示出长，再代入面积公式，属于基础类应用题，侧重对基础等量关系识别能力的考查。
【难度系数】
0.8
3.(2025·宿迁宿豫区期中)A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的.世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准.已知一张A4纸的面积为623.7 cm²,长比宽多8.7 cm.设它的宽为x cm,则可得方程为（
A.$2[x+(x-8.7)]=623.7$
B.$2[x+(x+8.7)]=623.7$
C.$x(x-8.7)=623.7$
D.$x(x+8.7)=623.7$
D
）A.$2[x+(x-8.7)]=623.7$
B.$2[x+(x+8.7)]=623.7$
C.$x(x-8.7)=623.7$
D.$x(x+8.7)=623.7$
答案
3.D
解析
【分析】
要列出符合题意的方程，首先要明确本题的等量关系为矩形纸张的面积=长×宽。首先根据宽为x cm，结合“长比宽多8.7 cm”的条件表示出长，再代入面积公式即可得到方程，解题时注意区分面积公式和周长公式，避免误选周长相关的选项。
【解析】
已知设A4纸的宽为$ x $ cm，
∵长比宽多8.7 cm，
∴A4纸的长为$ (x+8.7) $ cm，
又
∵矩形面积=长×宽，且A4纸的面积为$ 623.7 \mathrm{ cm}^2 $，
代入等量关系可得方程：$ x(x+8.7)=623.7 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用，矩形面积公式
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是找准题目中的等量关系，正确表示出矩形的长，同时注意区分矩形面积和周长的计算公式，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.85
要列出符合题意的方程，首先要明确本题的等量关系为矩形纸张的面积=长×宽。首先根据宽为x cm，结合“长比宽多8.7 cm”的条件表示出长，再代入面积公式即可得到方程，解题时注意区分面积公式和周长公式，避免误选周长相关的选项。
【解析】
已知设A4纸的宽为$ x $ cm，
∵长比宽多8.7 cm，
∴A4纸的长为$ (x+8.7) $ cm，
又
∵矩形面积=长×宽，且A4纸的面积为$ 623.7 \mathrm{ cm}^2 $，
代入等量关系可得方程：$ x(x+8.7)=623.7 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用，矩形面积公式
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是找准题目中的等量关系，正确表示出矩形的长，同时注意区分矩形面积和周长的计算公式，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.85
4.如图,在长为50 m,宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260 m²,道路的宽应为多少米?
第4题图
第4题图答案
4.解:设道路的宽为 x m.根据等量关系列方程,得
(50−2x)(38−2x)=1260,
整理,得 $x^2−44x+160=0$,
解得 $x=4$ 或 $x=40$(不合题意,舍去),所以 $x=4$.
答:道路的宽应为 4 m.
(50−2x)(38−2x)=1260,
整理,得 $x^2−44x+160=0$,
解得 $x=4$ 或 $x=40$(不合题意,舍去),所以 $x=4$.
答:道路的宽应为 4 m.
解析
【分析】
本题属于面积类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确核心等量关系：草坪的面积=1260m²；第二步，分析草坪的形状特征：四周修筑同宽的道路后，草坪仍为矩形，它的长等于原矩形的长减去2倍道路宽（左右两侧各有1段道路），宽等于原矩形的宽减去2倍道路宽（上下两侧各有1段道路）；第三步，设道路宽为未知数，用含未知数的代数式表示草坪的长和宽，结合矩形面积公式列方程求解，最后要结合实际意义检验根的合理性，舍去不符合实际的解。
【解析】
解：设道路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
由题意得，草坪的长为$ (50-2x)\, \mathrm{m} $，宽为$ (38-2x)\, \mathrm{m} $，根据草坪面积为1260$ \mathrm{m}^2 $列方程：
$(50-2x)(38-2x)=1260$
整理方程：
$x^2 -44x +160=0$
解得：$ x_1=4 $，$ x_2=40 $。
当$ x=40 $时，$ 50-2x=-30＜0 $，不符合实际意义，故舍去，因此$ x=4 $。
【答案】
道路的宽应为4m。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题验根
【点评】
本题是典型的几何面积类方程应用题，解题核心是正确表示出变化后图形的边长，再结合面积公式建立方程，要注意求解后必须结合实际场景判断根的合理性，排除不符合要求的增根。
【难度系数】
0.7
本题属于面积类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确核心等量关系：草坪的面积=1260m²；第二步，分析草坪的形状特征：四周修筑同宽的道路后，草坪仍为矩形，它的长等于原矩形的长减去2倍道路宽（左右两侧各有1段道路），宽等于原矩形的宽减去2倍道路宽（上下两侧各有1段道路）；第三步，设道路宽为未知数，用含未知数的代数式表示草坪的长和宽，结合矩形面积公式列方程求解，最后要结合实际意义检验根的合理性，舍去不符合实际的解。
【解析】
解：设道路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
由题意得，草坪的长为$ (50-2x)\, \mathrm{m} $，宽为$ (38-2x)\, \mathrm{m} $，根据草坪面积为1260$ \mathrm{m}^2 $列方程：
$(50-2x)(38-2x)=1260$
整理方程：
$x^2 -44x +160=0$
解得：$ x_1=4 $，$ x_2=40 $。
当$ x=40 $时，$ 50-2x=-30＜0 $，不符合实际意义，故舍去，因此$ x=4 $。
【答案】
道路的宽应为4m。
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题验根
【点评】
本题是典型的几何面积类方程应用题，解题核心是正确表示出变化后图形的边长，再结合面积公式建立方程，要注意求解后必须结合实际场景判断根的合理性，排除不符合要求的增根。
【难度系数】
0.7
5.(2025·宿迁沭阳县期中)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一,书中有一个关于门和竹竿的问题,简译为:今有一扇门,不知门的高和宽.另有一竹竿,也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺,竹竿竖着放时比门的高长2尺,竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等,求门的对角线长.若设门的对角线长为$x$尺,则可列方程为 (
A.$(x+2)^2=(x-4)^2+x^2$
B.$(x+4)^2=(x-2)^2+x^2$
C.$x^2=(x-4)^2+(x-2)^2$
D.$(x+4)^2=(x+2)^2+x^2$
C
)A.$(x+2)^2=(x-4)^2+x^2$
B.$(x+4)^2=(x-2)^2+x^2$
C.$x^2=(x-4)^2+(x-2)^2$
D.$(x+4)^2=(x+2)^2+x^2$
答案
5.C
解析
【分析】
解题的核心是先明确竹竿长度与门对角线的关系，再用含x的式子表示出门的宽和高，最后结合直角三角形的勾股定理列方程。首先，题目说明竹竿斜放时与门对角线相等，因此竹竿长等于所设的对角线长x；其次，根据竹竿横放、竖放时比门宽、门高长出的长度，可分别表示出门的宽和高；最后，门的宽、高与对角线构成直角三角形，满足勾股定理，代入对应量即可得到方程。
【解析】
解：设门的对角线长为x尺，
∵竹竿斜放时与门的对角线恰好相等，
∴竹竿的长度为x尺。
∵竹竿横着放时比门的宽长4尺，
∴门的宽为$(x-4)$尺；
∵竹竿竖着放时比门的高长2尺，
∴门的高为$(x-2)$尺。
∵门为矩形，其宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理：斜边的平方等于两条直角边的平方和，
∴列方程得：$x^2=(x-4)^2+(x-2)^2$，
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，列一元二次方程，矩形的性质
【点评】
本题结合中国传统数学典籍中的问题，考查方程思想在几何问题中的应用，解题的关键是理清竹竿长度、门的高、门的宽、门的对角线四个量之间的关系，准确用未知数表示出未知量后结合勾股定理列式即可，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先明确竹竿长度与门对角线的关系，再用含x的式子表示出门的宽和高，最后结合直角三角形的勾股定理列方程。首先，题目说明竹竿斜放时与门对角线相等，因此竹竿长等于所设的对角线长x；其次，根据竹竿横放、竖放时比门宽、门高长出的长度，可分别表示出门的宽和高；最后，门的宽、高与对角线构成直角三角形，满足勾股定理，代入对应量即可得到方程。
【解析】
解：设门的对角线长为x尺，
∵竹竿斜放时与门的对角线恰好相等，
∴竹竿的长度为x尺。
∵竹竿横着放时比门的宽长4尺，
∴门的宽为$(x-4)$尺；
∵竹竿竖着放时比门的高长2尺，
∴门的高为$(x-2)$尺。
∵门为矩形，其宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理：斜边的平方等于两条直角边的平方和，
∴列方程得：$x^2=(x-4)^2+(x-2)^2$，
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，列一元二次方程，矩形的性质
【点评】
本题结合中国传统数学典籍中的问题，考查方程思想在几何问题中的应用，解题的关键是理清竹竿长度、门的高、门的宽、门的对角线四个量之间的关系，准确用未知数表示出未知量后结合勾股定理列式即可，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
