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6.(2025·宿迁泗洪县期中)如图,在长为100 m,宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是$3600\ \mathrm{m}^2$,则小路的宽是
5 m
。答案
6.5 m
解析
【分析】
解决此类修筑小路的面积问题，可利用平移法将分散的花圃区域拼接为一个完整的矩形，简化计算。首先设小路的宽为x m，结合原图可知：2条竖直小路占去2x的长度，因此拼接后花圃的长为(100-2x)m；2条水平小路占去2x的宽度，因此拼接后花圃的宽为(50-2x)m。再根据花圃面积为3600 m²，结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设小路的宽为x m。
将小路平移到矩形空地边缘后，余下花圃可拼接为一个长为(100-2x)m、宽为(50-2x)m的矩形，根据题意列方程：
$(100-2x)(50-2x)=3600$
展开整理得：
$4x^2-300x+1400=0$
两边同时除以4化简：
$x^2-75x+350=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-70)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=70$。
检验：当$x=70$时，$50-2x=50-140=-90＜0$，不符合实际意义，故舍去。
因此小路的宽为5 m。
【答案】
5 m
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的面积类应用题，利用平移法将分散的图形拼接为规则图形是解题的常用技巧，求解后要注意结合实际场景排除不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解决此类修筑小路的面积问题，可利用平移法将分散的花圃区域拼接为一个完整的矩形，简化计算。首先设小路的宽为x m，结合原图可知：2条竖直小路占去2x的长度，因此拼接后花圃的长为(100-2x)m；2条水平小路占去2x的宽度，因此拼接后花圃的宽为(50-2x)m。再根据花圃面积为3600 m²，结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设小路的宽为x m。
将小路平移到矩形空地边缘后，余下花圃可拼接为一个长为(100-2x)m、宽为(50-2x)m的矩形，根据题意列方程：
$(100-2x)(50-2x)=3600$
展开整理得：
$4x^2-300x+1400=0$
两边同时除以4化简：
$x^2-75x+350=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-70)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=70$。
检验：当$x=70$时，$50-2x=50-140=-90＜0$，不符合实际意义，故舍去。
因此小路的宽为5 m。
【答案】
5 m
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的面积类应用题，利用平移法将分散的图形拼接为规则图形是解题的常用技巧，求解后要注意结合实际场景排除不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
7.如图,校园空地上有一面长为4米的墙.为了创建美丽校园,学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园ABCD.
(1)如图①,利用墙围成矩形花园ABCD,若围成的花园面积为32平方米,求AB,BC的长.
(2)如图②,用围栏补墙得到矩形花园ABCD,花园的面积能为36平方米吗?若能,请求出BC的长;若不能,请说明理由.
(1)如图①,利用墙围成矩形花园ABCD,若围成的花园面积为32平方米,求AB,BC的长.
(2)如图②,用围栏补墙得到矩形花园ABCD,花园的面积能为36平方米吗?若能,请求出BC的长;若不能,请说明理由.
答案
7.解:(1)设$AB=x$米,则$BC=(20−2x)$米.
根据题意,得 $x(20−2x)=32$,
整理,得 $x^2−10x+16=0$,解得 $x_1=2,x_2=8$,
当$x=2$时,$20−2x=20−2×2=16＞4$,不符合题意,舍去.
当$x=8$时,$20−2x=20−2×8=4$,符合题意.
答:AB,BC的长分别为8米和4米.
(2)花园的面积能为36平方米.
设$AB=y$米,则 $BC=\frac{20+4−2y}{2}=(12−y)$米,
根据题意,得 $y(12−y)=36$,整理,得 $y^2−12y+36=0$,
解得 $y_1=y_2=6$,$\therefore 12−y=12−6=6$.
答:花园的面积能为36平方米,BC的长为6米.
根据题意,得 $x(20−2x)=32$,
整理,得 $x^2−10x+16=0$,解得 $x_1=2,x_2=8$,
当$x=2$时,$20−2x=20−2×2=16＞4$,不符合题意,舍去.
当$x=8$时,$20−2x=20−2×8=4$,符合题意.
答:AB,BC的长分别为8米和4米.
(2)花园的面积能为36平方米.
设$AB=y$米,则 $BC=\frac{20+4−2y}{2}=(12−y)$米,
根据题意,得 $y(12−y)=36$,整理,得 $y^2−12y+36=0$,
解得 $y_1=y_2=6$,$\therefore 12−y=12−6=6$.
答:花园的面积能为36平方米,BC的长为6米.
解析
【分析】
(1) 第一问中墙作为矩形的AD边，围栏只需围AB、BC、CD三边，因此AB=CD，且BC的长度不能超过墙的总长度4米。我们可设AB的长为x米，那么BC的长为围栏总长减去2倍AB的长，即$(20-2x)$米，再根据矩形面积=长×宽=32平方米列方程求解，求出解后需检验BC的长度是否符合墙长限制，舍去不符合实际的解。
(2) 第二问为补墙建矩形，原有墙是AD边上的一段，因此围栏需要围AB、BC、CD以及AD上除墙之外的剩余部分，总围栏长度为20米。设AB长为y米，结合墙长4米可推导出BC的长为$(12-y)$米，再根据面积为36平方米列方程，判断方程是否有符合实际的正实根，若有则可达到该面积，进而求出BC的长。
【解析】
(1) 设$AB=x$米，则$BC=(20-2x)$米。
根据题意得：$x(20-2x)=32$
整理得：$x^2-10x+16=0$
解得：$x_1=2,x_2=8$
当$x=2$时，$20-2x=16＞4$，超过墙的最大长度，不符合题意，舍去；
当$x=8$时，$20-2x=4$，符合墙长限制。
(2) 花园的面积能为36平方米。
设$AB=y$米，结合围栏和墙的长度关系可得$BC=\frac{20+4-2y}{2}=(12-y)$米。
根据题意得：$y(12-y)=36$
整理得：$y^2-12y+36=0$
解得：$y_1=y_2=6$
$\therefore BC=12-y=12-6=6$米，符合实际要求。
【答案】
(1) AB的长为8米，BC的长为4米；
(2) 能，BC的长为6米。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程结合几何面积的实际应用题，解题核心是结合墙和围栏的构成准确表示矩形的边长，同时要注意结合实际场景对方程的解进行合理性验证，掌握这类题的等量关系分析方法可以解决同类型的围栏围建问题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问中墙作为矩形的AD边，围栏只需围AB、BC、CD三边，因此AB=CD，且BC的长度不能超过墙的总长度4米。我们可设AB的长为x米，那么BC的长为围栏总长减去2倍AB的长，即$(20-2x)$米，再根据矩形面积=长×宽=32平方米列方程求解，求出解后需检验BC的长度是否符合墙长限制，舍去不符合实际的解。
(2) 第二问为补墙建矩形，原有墙是AD边上的一段，因此围栏需要围AB、BC、CD以及AD上除墙之外的剩余部分，总围栏长度为20米。设AB长为y米，结合墙长4米可推导出BC的长为$(12-y)$米，再根据面积为36平方米列方程，判断方程是否有符合实际的正实根，若有则可达到该面积，进而求出BC的长。
【解析】
(1) 设$AB=x$米，则$BC=(20-2x)$米。
根据题意得：$x(20-2x)=32$
整理得：$x^2-10x+16=0$
解得：$x_1=2,x_2=8$
当$x=2$时，$20-2x=16＞4$，超过墙的最大长度，不符合题意，舍去；
当$x=8$时，$20-2x=4$，符合墙长限制。
(2) 花园的面积能为36平方米。
设$AB=y$米，结合围栏和墙的长度关系可得$BC=\frac{20+4-2y}{2}=(12-y)$米。
根据题意得：$y(12-y)=36$
整理得：$y^2-12y+36=0$
解得：$y_1=y_2=6$
$\therefore BC=12-y=12-6=6$米，符合实际要求。
【答案】
(1) AB的长为8米，BC的长为4米；
(2) 能，BC的长为6米。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程结合几何面积的实际应用题，解题核心是结合墙和围栏的构成准确表示矩形的边长，同时要注意结合实际场景对方程的解进行合理性验证，掌握这类题的等量关系分析方法可以解决同类型的围栏围建问题。
【难度系数】
0.7
8.(2025·威海)如图,某校有一块长20 m,宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块,请你求出小路的宽度.
答案
8.解:设小路的宽度为 x m,
根据题意,得$(20−4x)(14−4x)=24×9$,
整理,得 $2x^2−17x+8=0$,
解得 $x_1=\frac{1}{2}$,$x_2=8$(不符合题意,舍去).
答:小路的宽度为$\frac{1}{2}$m.
根据题意,得$(20−4x)(14−4x)=24×9$,
整理,得 $2x^2−17x+8=0$,
解得 $x_1=\frac{1}{2}$,$x_2=8$(不符合题意,舍去).
答:小路的宽度为$\frac{1}{2}$m.
解析
【分析】
这是典型的面积类一元二次方程应用题，解题时可通过平移空白种植地块，将分散的空白区域拼接为一个规则大矩形简化计算：首先观察图形，竖直方向共有4条宽度为x的小路，因此拼接后大矩形的长为原种植园的长减去4个小路宽度，即$(20-4x)$m；水平方向也共有4条宽度为x的小路，因此拼接后大矩形的宽为原种植园的宽减去4个小路宽度，即$(14-4x)$m。再根据空白区域总面积等于9个小矩形地块的面积之和，即可列出方程求解，最后要结合实际意义检验根的合理性，舍去不符合要求的根。
【解析】
设小路的宽度为$x$ m，
根据题意，空白区域总面积等于9个小地块的面积和，列方程得：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
整理得：
$2x^2-17x+8=0$
解得：
$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$
当$x=8$时，$20-4x=-12＜0$，不符合实际意义，故舍去。
答：小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
【答案】
$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程的实际应用，矩形面积计算，方程根的检验
【点评】
本题是几何面积类方程应用的常规题型，核心解题技巧是通过平移将分散的空白区域整合为规则图形，大幅降低计算难度，解题时需注意求出的方程根要符合实际几何意义，避免多解错解。
【难度系数】
0.7
这是典型的面积类一元二次方程应用题，解题时可通过平移空白种植地块，将分散的空白区域拼接为一个规则大矩形简化计算：首先观察图形，竖直方向共有4条宽度为x的小路，因此拼接后大矩形的长为原种植园的长减去4个小路宽度，即$(20-4x)$m；水平方向也共有4条宽度为x的小路，因此拼接后大矩形的宽为原种植园的宽减去4个小路宽度，即$(14-4x)$m。再根据空白区域总面积等于9个小矩形地块的面积之和，即可列出方程求解，最后要结合实际意义检验根的合理性，舍去不符合要求的根。
【解析】
设小路的宽度为$x$ m，
根据题意，空白区域总面积等于9个小地块的面积和，列方程得：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
整理得：
$2x^2-17x+8=0$
解得：
$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$
当$x=8$时，$20-4x=-12＜0$，不符合实际意义，故舍去。
答：小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
【答案】
$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程的实际应用，矩形面积计算，方程根的检验
【点评】
本题是几何面积类方程应用的常规题型，核心解题技巧是通过平移将分散的空白区域整合为规则图形，大幅降低计算难度，解题时需注意求出的方程根要符合实际几何意义，避免多解错解。
【难度系数】
0.7
9.某公园准备在一块长为 42 m,宽为 30 m 的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房(如图),在温室花房四周修四条宽度相同,且与温室花房各边垂直的小路,温室花房边长是小路宽度的 6 倍,花园内其他空白地方铺草坪,设小路宽度为 $ x $ m.
(1)用含 $ x $ 的代数式表示花园内温室花房的面积和小路的面积;
(2)当草坪的面积为 $ 1164 \ \mathrm{m}^2 $ 时,求小路的宽度.
(1)用含 $ x $ 的代数式表示花园内温室花房的面积和小路的面积;
(2)当草坪的面积为 $ 1164 \ \mathrm{m}^2 $ 时,求小路的宽度.
答案
9.解:(1)$\because$温室花房边长是小路宽度的6倍,小路宽度为$x$ m,$\therefore$温室花房边长为$6x$ m,
$\therefore$温室花房的面积为 $6x· 6x=36x^2(\mathrm{m}^2)$,小路的面积为$(42−6x+30−6x)· x=(72x−12x^2)\mathrm{m}^2$.
答:温室花房的面积为 $36x^2\ \mathrm{m}^2$,小路的面积为$(72x−12x^2)\mathrm{m}^2$.
(2)依题意,得 $42×30−36x^2−(72x−12x^2)=1164$,
整理,得 $x^2+3x−4=0$,
解得 $x_1=1$,$x_2=−4$(不符合题意,舍去).
答:当草坪的面积为 $1164\ \mathrm{m}^2$ 时,小路的宽度为1 m.
$\therefore$温室花房的面积为 $6x· 6x=36x^2(\mathrm{m}^2)$,小路的面积为$(42−6x+30−6x)· x=(72x−12x^2)\mathrm{m}^2$.
答:温室花房的面积为 $36x^2\ \mathrm{m}^2$,小路的面积为$(72x−12x^2)\mathrm{m}^2$.
(2)依题意,得 $42×30−36x^2−(72x−12x^2)=1164$,
整理,得 $x^2+3x−4=0$,
解得 $x_1=1$,$x_2=−4$(不符合题意,舍去).
答:当草坪的面积为 $1164\ \mathrm{m}^2$ 时,小路的宽度为1 m.
解析
【分析】
(1) 先根据“温室花房边长是小路宽度的6倍”，由小路宽度$x$得到花房边长为$6x$，利用正方形面积公式即可表示花房面积；再观察图形，小路分为横向和纵向两部分，横向小路总长度为花园长减去花房边长，纵向小路总长度为花园宽减去花房边长，结合小路宽度$x$，分别计算两部分面积求和即可得到小路面积。
(2) 明确等量关系：草坪面积=长方形花园总面积-温室花房面积-小路面积，代入对应代数式列出一元二次方程，求解后结合实际意义（小路宽度为正数）舍去不符合要求的根，即可得到小路宽度。
【解析】
(1) 已知小路宽度为$x$ m，温室花房边长是小路宽度的6倍，因此温室花房边长为$6x$ m。
温室花房为正方形，面积为：$6x · 6x = 36x^2 \ (\mathrm{m}^2)$
小路分为横向和纵向两部分，总面积为：
$x(42-6x) + x(30-6x) = 42x -6x^2 +30x -6x^2 = (72x -12x^2) \ \mathrm{m}^2$
(2) 长方形花园总面积为$42 × 30 = 1260 \ \mathrm{m}^2$，根据草坪面积为$1164 \ \mathrm{m}^2$，列方程：
$1260 - 36x^2 - (72x -12x^2) = 1164$
整理得：$x^2 + 3x - 4 = 0$
因式分解得：$(x+4)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-4$，因为小路宽度不能为负数，故舍去$x=-4$。
【答案】
(1) 温室花房的面积为$36x^2\ \mathrm{m}^2$，小路的面积为$(72x-12x^2)\ \mathrm{m}^2$；
(2) 小路的宽度为1 m。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查面积类方程应用题，解题的关键是结合图形理清各部分面积的数量关系，求解方程后要注意根据实际情况检验根是否符合要求。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据“温室花房边长是小路宽度的6倍”，由小路宽度$x$得到花房边长为$6x$，利用正方形面积公式即可表示花房面积；再观察图形，小路分为横向和纵向两部分，横向小路总长度为花园长减去花房边长，纵向小路总长度为花园宽减去花房边长，结合小路宽度$x$，分别计算两部分面积求和即可得到小路面积。
(2) 明确等量关系：草坪面积=长方形花园总面积-温室花房面积-小路面积，代入对应代数式列出一元二次方程，求解后结合实际意义（小路宽度为正数）舍去不符合要求的根，即可得到小路宽度。
【解析】
(1) 已知小路宽度为$x$ m，温室花房边长是小路宽度的6倍，因此温室花房边长为$6x$ m。
温室花房为正方形，面积为：$6x · 6x = 36x^2 \ (\mathrm{m}^2)$
小路分为横向和纵向两部分，总面积为：
$x(42-6x) + x(30-6x) = 42x -6x^2 +30x -6x^2 = (72x -12x^2) \ \mathrm{m}^2$
(2) 长方形花园总面积为$42 × 30 = 1260 \ \mathrm{m}^2$，根据草坪面积为$1164 \ \mathrm{m}^2$，列方程：
$1260 - 36x^2 - (72x -12x^2) = 1164$
整理得：$x^2 + 3x - 4 = 0$
因式分解得：$(x+4)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-4$，因为小路宽度不能为负数，故舍去$x=-4$。
【答案】
(1) 温室花房的面积为$36x^2\ \mathrm{m}^2$，小路的面积为$(72x-12x^2)\ \mathrm{m}^2$；
(2) 小路的宽度为1 m。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；面积计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查面积类方程应用题，解题的关键是结合图形理清各部分面积的数量关系，求解方程后要注意根据实际情况检验根是否符合要求。
【难度系数】
0.7
