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5.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=BC=12\ \mathrm{cm}$，点$D$从点$A$开始沿边$AB$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$移动，移动过程中始终保持$DE// BC$，$DF// AC$，则出发
1或5
$\mathrm{s}$时，四边形$DFCE$的面积为$20\ \mathrm{cm}^2$. 答案
5.1或5
6.(2025·宿迁沭阳县期中)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动;同时,点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.
(1)几秒后△PBQ的面积等于8 cm²?
(2)△PDQ的面积能为8 cm²吗?为什么?
(1)几秒后△PBQ的面积等于8 cm²?
(2)△PDQ的面积能为8 cm²吗?为什么?
答案
6.解:(1)当运动时间为 t s 时,AP=t cm,BP=(6−t)cm,BQ=2t cm,CQ=(12−2t)cm,
根据题意,得$\frac{1}{2}(6−t)·2t=8$,
整理,得 $t^2−6t+8=0$,解得 $t_1=2,t_2=4$.
答:经过2秒或4秒后△PBQ的面积等于8 cm².
(2)△PDQ的面积不能为8 cm²,理由如下:
假设△PDQ的面积能为8 cm²,则 $S_{△ PDQ}=S_{长方形ABCD}−S_{△ APD}−S_{△ PBQ}−S_{△ CDQ}$,
即 $12×6−\frac{1}{2}×12·t−\frac{1}{2}(6−t)·2t−\frac{1}{2}×6·(12−2t)=8$,
整理得 $t^2−6t+28=0$,
∵$b^2−4ac=(−6)^2−4×1×28=−76＜0$,
∴原方程无实数根.
∴假设不成立,即△PDQ的面积不能为8 cm².
根据题意,得$\frac{1}{2}(6−t)·2t=8$,
整理,得 $t^2−6t+8=0$,解得 $t_1=2,t_2=4$.
答:经过2秒或4秒后△PBQ的面积等于8 cm².
(2)△PDQ的面积不能为8 cm²,理由如下:
假设△PDQ的面积能为8 cm²,则 $S_{△ PDQ}=S_{长方形ABCD}−S_{△ APD}−S_{△ PBQ}−S_{△ CDQ}$,
即 $12×6−\frac{1}{2}×12·t−\frac{1}{2}(6−t)·2t−\frac{1}{2}×6·(12−2t)=8$,
整理得 $t^2−6t+28=0$,
∵$b^2−4ac=(−6)^2−4×1×28=−76＜0$,
∴原方程无实数根.
∴假设不成立,即△PDQ的面积不能为8 cm².
7. 如图，AB⊥OC于点O，AO=BO=50 cm，蚂蚁甲以2 cm/s的速度从点A爬到点B，同时，蚂蚁乙以3 cm/s的速度从点O沿射线OC爬行. 是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁所在位置与点O组成的三角形的面积为450 cm²？若存在，请说明在什么时刻；若不存在，请说明理由.
答案
7.解:存在.设在 x s 时,两只蚂蚁所在位置与点 O 组成的三角形的面积为 450 cm²,有两种情况:
①当蚂蚁甲在线段 AO 上运动时,易得 $0＜x≤25$,
由题意,得$\frac{1}{2}×3x×(50−2x)=450$,
整理,得 $x^2−25x+150=0$,解得 $x_1=15,x_2=10$.
②当蚂蚁甲在线段 OB 上运动时,易得 $25＜x≤50$,
由题意,得$\frac{1}{2}×3x(2x−50)=450$,
整理,得 $x^2−25x−150=0$,
解得 $x_3=30,x_4=−5$(舍去).
∴在 10 s,15 s,30 s 时,两只蚂蚁所在位置与点 O 组成的三角形的面积均为 450 cm².
①当蚂蚁甲在线段 AO 上运动时,易得 $0＜x≤25$,
由题意,得$\frac{1}{2}×3x×(50−2x)=450$,
整理,得 $x^2−25x+150=0$,解得 $x_1=15,x_2=10$.
②当蚂蚁甲在线段 OB 上运动时,易得 $25＜x≤50$,
由题意,得$\frac{1}{2}×3x(2x−50)=450$,
整理,得 $x^2−25x−150=0$,
解得 $x_3=30,x_4=−5$(舍去).
∴在 10 s,15 s,30 s 时,两只蚂蚁所在位置与点 O 组成的三角形的面积均为 450 cm².
8. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠C=90°,AB=6 cm,CD=10 cm,AD=5 cm,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,点P以2 cm/s的速度向点B运动,点Q以1 cm/s的速度向点D运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)经过几秒,P,Q两点之间的距离是5 cm?
(2)是否存在某一时刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此时的运动时间;若不存在,请说明理由.
(1)经过几秒,P,Q两点之间的距离是5 cm?
(2)是否存在某一时刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此时的运动时间;若不存在,请说明理由.
答案
8.解:(1)过点 A 作 AE⊥CD 于点 E,过点 P 作 PF⊥CD 于点 F,如
.∵AB=6 cm,CD=10 cm,
∴DE=CD−AB=10−6=4(cm).
在 Rt△ADE 中,AD=5 cm,DE=4 cm,∠AED=90°,
∴$AE=\sqrt{AD^2−DE^2}=\sqrt{5^2−4^2}=3$(cm),
∴PF=AE=3 cm.
当运动时间为 t s 时,AP=2t cm,CQ=t cm,
PB=AB−AP=(6−2t)cm,
∴$FQ=|PB−CQ|=|6−3t|$cm.
在 Rt△PFQ 中,PF=3 cm,PQ=5 cm,$FQ=|6−3t|$cm,∠PFQ=90°,
∴$PQ^2=PF^2+FQ^2$,
即 $5^2=3^2+(6−3t)^2$,
整理,得 $9t^2−36t+20=0$,解得 $t_1=\frac{2}{3},t_2=\frac{10}{3}$.
答:经过$\frac{2}{3}$ s或$\frac{10}{3}$ s,P,Q两点之间的距离是5 cm.
(2)不存在某一时刻,使得 PD 恰好平分∠APQ. 理由如下:连接 PD,如
.假设 PD 平分∠APQ,则∠APD=∠DPQ.
∵AB//CD,
∴∠APD=∠QDP,
∴∠DPQ=∠QDP,
∴PQ=DQ.
当运动时间为 t s 时,AP=2t cm,CQ=t cm,
DQ=(10−t)cm,$PQ=\sqrt{3^2+(6−3t)^2}$ cm,
∵PQ=DQ,
∴$\sqrt{3^2+(6−3t)^2}=10−t$,
整理,得 $8t^2−16t−55=0$,
解得 $t_1=1−\frac{3\sqrt{14}}{4}$(不符合题意,舍去),$t_2=1+\frac{3\sqrt{14}}{4}$.
又
∵AP≤AB,即 $2t≤6$,
∴$t≤3$,
∴$t_2=1+\frac{3\sqrt{14}}{4}$不符合题意,舍去,
∴不存在某一时刻,使得 PD 恰好平分∠APQ.
