1. 反比例函数 $y=-\dfrac{3}{x}$ 的比例系数是（）

A.$-3$
B.$3$
C.$-\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{3}$

1. A

【分析】
解题时首先要回忆反比例函数的定义及一般形式，明确反比例函数一般形式中各部分的名称：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数，其中$k$就是比例系数。接下来将题干给出的函数和一般形式做对照，就能直接得出比例系数的值，对应选出正确选项即可。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），其中$k$为反比例函数的比例系数。
将题干中的函数$y=-\dfrac{3}{x}$与一般形式对比，可得$k=-3$，即该反比例函数的比例系数为$-3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度低，只要熟练掌握反比例函数的基本定义，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9

2. 某工程段施工需运送土石方$10^4\mathrm{m}^3$，则土石方日运送量$V(\mathrm{m}^3/\mathrm{天})$与完成运送任务所需时间$t(\mathrm{天})$ （）

A.满足反比例函数关系
B.满足正比例函数关系
C.满足一次函数关系
D.满足哪种函数关系不确定

2. A

【分析】
解题时首先抓住题目中不变的量，即土石方总运送量为固定的$10^4\mathrm{m}^3$，根据“总运送量=日运送量×运送时间”的等量关系，列出$V$和$t$的关系式，再结合各类函数的定义判断所属的函数类型即可。
【解析】
解：由题意可知，土石方总运送量固定为$10^4\mathrm{m}^3$，根据等量关系：日运送量×运送时间=总运送量，可得：
$V· t=10^4$
整理得：$V=\frac{10^4}{t}$，其中$10^4$是不为0的常数。
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，可知$V$与$t$满足反比例函数关系。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义；实际问题的函数关系
【点评】
本题是基础题，结合工程运送的实际场景考查函数类型的判断，解题的核心是先找到总量不变的等量关系，再对应反比例函数的定义判断即可。
【难度系数】
0.9

3. 已知一个函数满足下表($x$为自变量),则这个函数的表达式为 ()


A.$y=\frac{9}{x}$
B.$y=-\frac{9}{x}$
C.$y=\frac{x}{9}$
D.$y=-\frac{x}{9}$

3. B

【分析】
要确定符合表格的函数表达式，有两种常见思路：一是代入验证法，将表格中的x值分别代入各选项，计算对应的y值，看是否与表格中的y值一致；二是观察变量特征，若x与y的乘积为定值，则符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的形式，通过计算乘积即可求出k，得到解析式。
【解析】
方法1：代入验证法
将$x=-3$代入各选项：
A选项：$y=\frac{9}{-3}=-3$，与表格中$y=3$不符，排除A；
B选项：$y=-\frac{9}{-3}=3$，符合表格数值；继续验证其他x值：
$x=-2$时，$y=-\frac{9}{-2}=4.5$，符合；$x=-1$时，$y=-\frac{9}{-1}=9$，符合；$x=1$时，$y=-\frac{9}{1}=-9$，符合；$x=2$时，$y=-\frac{9}{2}=-4.5$，符合；$x=3$时，$y=-\frac{9}{3}=-3$，全部对应符合。
方法2：推导法
观察表格中每组x、y的乘积：$(-3)×3=-9$，$(-2)×4.5=-9$，$(-1)×9=-9$，$1×(-9)=-9$，$2×(-4.5)=-9$，$3×(-3)=-9$，即$xy=-9$，变形得函数表达式为$y=-\frac{9}{x}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，既可以通过代入选项快速得出答案，也可以通过分析变量关系直接推导解析式，考查对反比例函数特征的掌握和基础计算能力。
【难度系数】
0.8

4. 正比例函数 $y=6x$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象的交点位于（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限

4. D

【分析】
要判断两个函数图象的交点所在象限，有两种常见解题思路：思路1：联立两个函数的解析式，解方程组得到交点坐标，再根据坐标的正负判断所在象限；思路2：分别分析两个函数的图象经过的象限，二者的公共象限就是交点所在的象限，该方法计算量小，解题更高效。
【解析】
方法一：联立解析式求解交点
联立两个函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y=6x \\ y=\dfrac{6}{x} \end{cases}$
将$y=6x$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$6x=\dfrac{6}{x}$（$x≠0$），
两边同乘$x$得$6x^2=6$，化简得$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$。
当$x=1$时，$y=6×1=6$，交点为$(1,6)$，位于第一象限；
当$x=-1$时，$y=6×(-1)=-6$，交点为$(-1,-6)$，位于第三象限。
因此两个函数图象的交点位于第一、三象限。
方法二：根据函数图象性质判断
正比例函数$y=6x$中，比例系数$k=6＞0$，因此图象经过第一、三象限；
反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$中，比例系数$k=6＞0$，因此图象的两个分支分别位于第一、三象限。
两个函数图象的公共分布象限为第一、三象限，因此交点位于第一、三象限。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；函数交点的求解
【点评】
本题属于基础题，考查正比例函数和反比例函数的图象性质，两种解题方法中，利用k值直接判断函数图象所在象限的方法更快捷，熟练掌握k值与函数图象位置的对应关系可快速解题。
【难度系数】
0.9

5. 如图，反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(k≠0)$与一次函数$y_2=mx+n(m≠0)$的图象交于两点$A(-1,-4),B(2,2)$，当$y_1＞y_2$时，自变量$x$的取值范围是（）

A.$-1＜x＜2$

B.$0＜x＜2$
C.$-1＜x＜0$或$0＜x＜2$
D.$x＜-1$或$0＜x＜2$

5. D

【分析】
要判断$y_1＞y_2$时自变量$x$的取值范围，本质是找反比例函数图象位于一次函数图象上方时对应的$x$的范围。解题时首先注意反比例函数自变量$x≠0$，需分$x＜0$和$x＞0$两个区间讨论，再结合两个交点的横坐标将数轴划分为不同区间，逐个区间判断两个函数图象的上下位置关系即可。
【解析】
已知两个函数的交点为$A(-1,-4)$、$B(2,2)$，这两个点处$y_1=y_2$，结合图象分区间讨论：
1. 当$x＜-1$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
2. 当$-1＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，$y_1＜y_2$，不满足要求；
3. 当$0＜x＜2$时，反比例函数图象在一次函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
4. 当$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，$y_1＜y_2$，不满足要求。
其中$x=-1$、$x=2$时$y_1=y_2$，$x=0$时分式无意义，均不满足条件。
因此满足$y_1＞y_2$的$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜2$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象、一次函数图象、函数值大小比较
【点评】
本题是函数图象的典型应用，解题时要注意结合交点坐标划分讨论区间，不要忽略反比例函数自变量不能为0的隐含条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7

6. 关于反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象及性质，下列说法正确的是（）

A.函数图象分别位于第二、四象限
B.函数图象经过点$(-3,1)$
C.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
D.当$-3＜x＜-1$时，$-3＜y＜-1$

6. D

【分析】
本题考查反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象与性质，解题思路如下：首先明确该反比例函数的比例系数$k=3＞0$，再结合反比例函数的相关性质，依次对四个选项逐一验证判断即可得出正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{3}{x}$，比例系数$k=3＞0$：
1. 分析A选项：当$k＞0$时，反比例函数的图象位于第一、三象限，因此A选项说法错误；
2. 分析B选项：将$x=-3$代入函数解析式，得$y=\frac{3}{-3}=-1≠1$，故点$(-3,1)$不在该函数图象上，B选项说法错误；
3. 分析C选项：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，C选项说法错误；
4. 分析D选项：当$x=-3$时，$y=\frac{3}{-3}=-1$；当$x=-1$时，$y=\frac{3}{-1}=-3$。由于$k＞0$，在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，因此当$-3＜x＜-1$时，对应的函数值范围为$-3＜y＜-1$，D选项说法正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础考查题，解题时需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，判断函数值范围时要结合增减性分析，避免大小关系判断错误。
【难度系数】
0.7

7. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$，对于一个正数$m$，当自变量$x$满足$m≤x≤2m$时，函数$y$的最大值为$a$，则当$-2m≤x≤-m$时，函数$y$有（）

A.最大值$-2a$
B.最小值$-2a$
C.最大值$-a$
D.最小值$\frac{1}{2}a$

7. A

【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的性质：图像位于第二、四象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。第一步先分析正数区间$m≤ x≤2m$的情况，利用增减性找到最大值$a$对应的$x$取值，推导得到$k$与$a$、$m$的关系；第二步再分析负数区间$-2m≤ x≤-m$的情况，同样利用增减性确定最值对应的$x$，代入$k$的表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
$\therefore$ 函数图像位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
① 当$m≤ x≤2m$时（$m$为正数，此区间$x＞0$，对应第四象限图像）：
$y$随$x$增大而增大，因此$x=2m$时$y$取最大值$a$，
代入得：$a=\frac{k}{2m}$，整理得$k=2am$。
② 当$-2m≤ x≤-m$时（此区间$x＜0$，对应第二象限图像）：
$y$随$x$增大而增大，因此$x=-m$时$y$取最大值，
将$x=-m$、$k=2am$代入得：
$y=\frac{k}{-m}=\frac{2am}{-m}=-2a$，
即此时函数$y$的最大值为$-2a$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；函数增减性应用
【点评】
本题核心考查反比例函数在限定区间内的最值求解，解题的关键是明确$k＜0$时反比例函数在不同象限的增减规律，避免混淆不同象限的函数值符号和变化趋势。
【难度系数】
0.7

二、填空题(每小题7分，共28分)
8. 函数$y=\dfrac{3}{x-2}$的自变量$x$的取值范围是。

8. $x≠2$

【分析】
要确定该函数自变量的取值范围，首先观察函数表达式为分式形式，根据分式有意义的要求，分母不能为0，因此只需令分母对应的代数式不等于0，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
若函数$y=\dfrac{3}{x-2}$有意义，需满足分式的分母不为0，即：
$x-2≠0$
解得$x≠2$
【答案】
$x≠2$
【知识点】
函数自变量取值范围、分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题，主要考查分式类函数自变量取值范围的求解，解题核心是牢记分式有意义时分母不为0的规则，计算难度低，容易掌握。
【难度系数】
0.9

9. 已知一个函数的图象与$y=\frac{6}{x}$的图象关于y轴对称，则该函数的表达式为。

9. $y=-\dfrac{6}{x}$

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用关于y轴对称的点的坐标特征推导新函数的表达式：首先回忆平面直角坐标系中，任意一点$(x,y)$关于y轴对称的点的坐标为$(-x,y)$；由于两个函数图象关于y轴对称，说明所求函数上任意一点的对称点都在已知函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，因此只需将原函数中的$x$替换为$-x$，化简后就能得到所求函数的解析式。
【解析】
设$P(x,y)$是所求函数图象上的任意一点，
则点$P$关于$y$轴的对称点$P'$的坐标为$(-x,y)$，
∵ 两个函数图象关于$y$轴对称，
∴ 点$P'$在函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，
将$P'(-x,y)$代入$y=\frac{6}{x}$，得：
$y=\frac{6}{-x}$，
化简得：$y=-\frac{6}{x}$，
因此该函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{6}{x}$
【知识点】
轴对称点的坐标特征，反比例函数的对称性，函数解析式求解
【点评】
本题是函数图象对称变换的基础题型，解题核心是掌握坐标轴对称下的点的坐标变换规律，通过代入法即可快速求得对称后的函数表达式，这类规律也可推广到其他函数的对称变换问题中。
【难度系数】
0.8

10. 已知反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $ 的图象经过点(3,1),(x₁,2),(x₂,3),比较大小：$ x_1 $ $ x_2 $。

10. $＞$

【分析】
解题思路分两步走：第一步，先利用反比例函数经过的已知点(3,1)，代入解析式求出k的值，确定反比例函数的具体表达式；第二步，可选择两种方法比较x₁和x₂的大小：方法一，分别将y=2、y=3代入解析式，求出x₁、x₂的具体数值后直接比较；方法二，根据k的正负判断反比例函数的增减性，结合两个点的y值大小，对应推出x的大小关系。
【解析】
第一步：求反比例函数的解析式
将点(3,1)代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$1=\frac{k}{3}$，解得$k=3$
因此反比例函数解析式为$y=\frac{3}{x}$
第二步：比较$x_1$和$x_2$的大小
方法1（计算求值法）：
将$y=2$代入$y=\frac{3}{x}$，得$2=\frac{3}{x_1}$，解得$x_1=\frac{3}{2}$
将$y=3$代入$y=\frac{3}{x}$，得$3=\frac{3}{x_2}$，解得$x_2=1$
因为$\frac{3}{2}＞1$，所以$x_1＞x_2$
方法2（性质判断法）：
因为$k=3＞0$，所以反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小
已知点$(x_1,2)$、$(x_2,3)$的y值均为正，都在第一象限，且$2＜3$
根据增减性，y值越小，对应的x值越大，因此$x_1＞x_2$
【答案】
$＞$
【知识点】
1. 反比例函数解析式的确定
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础考查题，两种解题方法都较为常用，直接计算的思路更直观，利用增减性判断的方法解题速度更快，熟练掌握反比例函数的性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

11. 已知正比例函数 $ y=kx $ 与反比例函数 $ y=\frac{2}{x} $ 的图象交于 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $ 两点，则 $ x_1y_2 + x_2y_1 $ 的值是。

11. $-4$

【分析】
解题可从两个思路切入：① 回忆正比例函数和反比例函数的图象特征：两者均为关于原点中心对称的图形，因此它们的交点也关于原点对称，即两点横、纵坐标分别互为相反数，再结合反比例函数上的点满足$xy=k$的性质，代入所求代数式即可快速计算；② 也可以联立两个函数解析式得到一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积，结合反比例函数表达式变形所求后代入计算即可。
【解析】
方法一：利用中心对称性质
∵ 正比例函数$y=kx$和反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象均关于原点中心对称
∴ 两函数的交点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$关于原点对称，可得$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$
又
∵ 点$A(x_1,y_1)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，因此$x_1y_1=2$
将$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$代入$x_1y_2 + x_2y_1$得：
$\begin{aligned}x_1y_2 + x_2y_1&=x_1·(-y_1) + (-x_1)· y_1\\&=-x_1y_1 -x_1y_1\\&=-2x_1y_1\\&=-2×2=-4\end{aligned}$
方法二：联立方程结合韦达定理
联立$\begin{cases}y=kx\\y=\frac{2}{x}\end{cases}$，消去$y$整理得$kx^2-2=0$，$x_1$、$x_2$为该方程的两个实数根
由韦达定理得：$x_1+x_2=0$，$x_1x_2=-\frac{2}{k}$
结合反比例函数表达式得$y_1=\frac{2}{x_1}$，$y_2=\frac{2}{x_2}$，代入所求代数式：
$\begin{aligned}x_1y_2 + x_2y_1&=\frac{2x_1^2 + 2x_2^2}{x_1x_2}\\&=\frac{2[(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2]}{x_1x_2}\\&=\frac{2×(-2x_1x_2)}{x_1x_2}=-4\end{aligned}$
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数的对称性；函数交点性质；代数式化简求值
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的综合应用，利用中心对称性质解题可大幅简化计算过程，也可通过联立方程结合一元二次方程根与系数的关系求解，需要熟练掌握两类函数的基本特征。
【难度系数】
0.7