10. 已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$在反比例函数$y=\dfrac{π}{x}$的图象上。若$x_1＜x_2＜0＜x_3$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（）

A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_1＞y_2$

10. D

【分析】
解题时首先明确反比例函数的性质由比例系数k的符号决定，先判断k的正负，确定函数图象所在象限及增减性；再根据三个点横坐标的正负，判断各点所在的象限，先区分不同象限点的纵坐标正负，再比较同象限内纵坐标的大小，最终得到三个y值的大小关系。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{π}{x}$，比例系数$k=π＞0$，
因此该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1＜x_2＜0＜x_3$，
可得点$A$、$B$在第三象限，点$C$在第一象限，
则第一象限内点的纵坐标为正，第三象限内点的纵坐标为负，即$y_3＞0$，$y_1＜0$，$y_2＜0$，所以$y_3$是三者中的最大值。
又因为第三象限内$y$随$x$的增大而减小，且$x_1＜x_2$，所以$y_1＞y_2$。
综上，$y_3＞y_1＞y_2$，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时注意不能直接跨象限使用增减性比较函数值大小，要先区分不同象限点的函数值正负，再比较同象限内的函数值，避免出现逻辑错误。
【难度系数】
0.7

11. 如图，函数$y=kx+b(k≠0)$与$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象相交于$A(-2,3)$，$B$两点，则不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解为

()

A.$x＞-2$
B.$-2＜x＜0$或$x＞1$
C.$x＞1$
D.$x＜-2$或$0＜x＜1$

11. D

【分析】
要解不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$，其几何意义是找一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的$x$的取值范围。首先利用已知交点$A$的坐标求出反比例函数解析式，再结合图象得到$B$点的横坐标，求出$B$点坐标，最后分区间观察两个函数图象的上下位置关系，即可得到不等式的解集。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将$A(-2,3)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{-2}$，解得$m=-6$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
2. 求点$B$的坐标：
由图象可知$B$点横坐标为1，将$x=1$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-6$，即$B(1,-6)$。
3. 结合图象判断解集：
不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$对应一次函数图象在反比例函数图象上方的区间：
当$x＜-2$时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，满足不等式；
当$-2＜x＜0$时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，不满足不等式；
当$0＜x＜1$时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，满足不等式；
当$x＞1$时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，不满足不等式。
因此不等式的解集为$x＜-2$或$0＜x＜1$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、图象法解不等式、反比例函数性质
【点评】
本题核心是利用函数图象的上下位置关系对应不等式的解集，解题时要注意反比例函数的图象分为两支，需要分$x＜0$和$x＞0$两个区间分别讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

12. 设函数$y=\frac{2}{x}$与$y=x-1$的图象的交点坐标为$(a,b)$，则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值为。

12. $-\frac{1}{2}$

【分析】
解题时首先要明确：两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式。我们不需要求解a、b的具体数值，先将所求代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分变形，再通过交点坐标代入函数式得到的$ab$和$b-a$的关系，整体代入即可求出结果，这种整体代入的方法能简化计算步骤。
第一步：将交点$(a,b)$分别代入两个函数解析式，推导得到$ab$和$b-a$的值；
第二步：对$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$进行通分变形，转化为含$ab$和$b-a$的代数式；
第三步：将推导得到的数值代入变形后的代数式计算结果。
【解析】
∵ 点$(a,b)$是函数$y=\frac{2}{x}$和$y=x-1$的交点，
∴ 将$(a,b)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$b=\frac{2}{a}$，整理得$ab=2$；
将$(a,b)$代入$y=x-1$，得$b=a-1$，整理得$b-a=-1$。
对所求代数式通分变形：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$
将$ab=2$，$b-a=-1$代入上式，得：
$\frac{b-a}{ab}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
函数交点的意义，代数式化简求值，反比例函数的性质
【点评】
本题解题关键是掌握函数图象交点的性质，灵活运用整体代入的思想求解，避免求解a、b的具体值带来的不必要计算，通分时要注意分子的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7

13. 已知函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点(1,4)。
(1)k的值为。
(2)完成下列表格,并在平面直角坐标系中画出该函数图象。

(3)利用图象直接写出当$x＞1$时,y的取值范围是。

13. 解:(1)4
(2)将$y=-1$代入函数$y=\frac{4}{x}$中,得$x=-4$;
将$x=2$代入函数$y=\frac{4}{x}$中,得$y=2$。
完成表格如下：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\dots$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中画出该函数图象如下。
(3)$0＜y＜4$

【分析】
（1）求反比例函数的系数k，采用待定系数法，将已知点的坐标直接代入函数解析式，解方程即可得到k的值。
（2）得到完整的函数解析式后，将表格中给出的x值代入解析式求对应y值，给出的y值代入解析式求对应x值即可完成表格；画函数图象采用描点法，先描出表格对应的点，再用平滑曲线连接各点，注意反比例函数图象是两支不与坐标轴相交的双曲线。
（3）求x＞1时y的取值范围，运用数形结合思想，先找到x=1对应的y值，再观察x＞1区间内图象的增减趋势，结合反比例函数的性质即可得到y的范围。
【解析】
（1）将点$(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$。
（2）由（1）得函数解析式为$y=\frac{4}{x}$：
当$x=-4$时，$y=\frac{4}{-4}=-1$；
当$x=-2$时，$y=\frac{4}{-2}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\frac{4}{-1}=-4$；
当$x=1$时，$y=\frac{4}{1}=4$；
当$x=2$时，$y=\frac{4}{2}=2$；
当$x=4$时，$y=\frac{4}{4}=1$。
完成表格如下：
| $x$ | $\dots$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $\dots$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $\dots$ |
描出对应点后用平滑曲线连接，画出图象如下：

（3）观察图象，当$x＞1$时，函数位于第一象限，$y$随$x$的增大而减小，$x=1$时$y=4$，$x$趋近于正无穷时$y$趋近于0，因此$y$的取值范围是$0＜y＜4$。
【答案】
(1)$4$
(2)完成表格见上述解析，图象：
(3)$0＜y＜4$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数图象，反比例函数性质
【点评】
本题围绕反比例函数基础考点层层递进设置问题，侧重考查基础知识的掌握程度和数形结合思想的应用，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8

14. 设函数 $y_1=\dfrac{k}{x}, y_2=-\dfrac{k}{x}(k＞0)$。
(1)当$2≤ x≤ 3$时，函数$y_1$的最大值是$a$，函数$y_2$的最小值是$a-4$，求$a$和$k$的值。
(2)设$m≠0$，且$m≠ -1$，当$x=m$时，$y_1=p$；当$x=m+1$时，$y_1=q$。圆圆说：“$p$一定大于$q$。”你认为圆圆的说法正确吗？为什么？

14. 解:(1)因为$k＞0,2≤ x≤ 3$，
所以$y_1$随$x$的增大而减小，$y_2$随$x$的增大而增大，
所以当$x=2$时，$y_1$最大值为$\frac{k}{2}=a$①，
当$x=2$时，$y_2$最小值为$-\frac{k}{2}=a-4$②，
由①②得$a=2,k=4$。
(2)圆圆的说法不正确。理由如下：
方法一:设$m=m_0$，且$-1＜m_0＜0$，
则$m_0+1＞0$，所以当$x=m_0$时，$p=y_1=\frac{k}{m_0}＜0$，
当$x=m_0+1$时，$q=y_1=\frac{k}{m_0+1}＞0$，
所以$p＜0＜q$，所以圆圆的说法不正确。
方法二:当$x=m$时，$p=y_1=\frac{k}{m}$，
当$x=m+1$时，$q=y_1=\frac{k}{m+1}$，
所以$p-q=\frac{k}{m}-\frac{k}{m+1}=\frac{k}{m(m+1)}$，
所以当$m＜-1$时，则$p-q=\frac{k}{m(m+1)}＞0$，
所以$p＞q$，
当$-1＜m＜0$时，则$p-q=\frac{k}{m(m+1)}＜0$，
所以$p＜q$，
当$m＞0$时，则$p-q=\frac{k}{m(m+1)}＞0$，
所以$p＞q$，
所以圆圆的说法不正确。

【分析】
(1)首先根据k＞0判断两个反比例函数在x＞0范围内的增减性：$y_1=\frac{k}{x}$中k＞0，在第一象限内y随x增大而减小，因此在2≤x≤3区间内x取最小值时$y_1$取最大值；$y_2=-\frac{k}{x}$的比例系数为-k＜0，在第一象限内y随x增大而增大，因此在2≤x≤3区间内x取最小值时$y_2$取最小值。再结合题目给出的最值条件列方程组，即可求解a和k的值。
(2)判断圆圆的说法是否正确有两种思路：一是举反例，取m在(-1,0)区间内，此时m为负、m+1为正，对应$y_1$的值一负一正，即可得到p＜q的情况；二是用作差法计算p-q，根据m的不同取值范围判断差的正负，可发现存在p＜q的情况，因此圆圆的说法错误。
【解析】
(1)
∵k＞0，且2≤x≤3，x均为正数，在第一象限内，
∴$y_1=\frac{k}{x}$随x的增大而减小，$y_2=-\frac{k}{x}$随x的增大而增大，
∴当x=2时，$y_1$取得最大值，即$\frac{k}{2}=a$ ①，
当x=2时，$y_2$取得最小值，即$-\frac{k}{2}=a-4$ ②，
将①代入②得$-a=a-4$，解得a=2，
把a=2代入①得$\frac{k}{2}=2$，解得k=4。
(2)圆圆的说法不正确，理由如下：
方法一：取特殊值验证，设m满足$-1＜m＜0$，
则$m+1＞0$，当x=m时，$p=\frac{k}{m}$，因k＞0、m＜0，故p＜0，
当x=m+1时，$q=\frac{k}{m+1}$，因k＞0、$m+1＞0$，故q＞0，
此时$p＜0＜q$，即存在p＜q的情况，因此圆圆的说法不正确。
方法二：作差比较大小：
当x=m时，$p=\frac{k}{m}$，当x=m+1时，$q=\frac{k}{m+1}$，
∴$p-q=\frac{k}{m}-\frac{k}{m+1}=\frac{k}{m(m+1)}$，
∵k＞0，因此p-q的符号由$m(m+1)$的符号决定：
①当$m＜-1$时，$m＜0$，$m+1＜0$，$m(m+1)＞0$，$p-q＞0$，即$p＞q$；
②当$-1＜m＜0$时，$m＜0$，$m+1＞0$，$m(m+1)＜0$，$p-q＜0$，即$p＜q$；
③当$m＞0$时，$m＞0$，$m+1＞0$，$m(m+1)＞0$，$p-q＞0$，即$p＞q$；
由此可见不是所有情况都满足p＞q，因此圆圆的说法不正确。
【答案】
(1)$a=2$，$k=4$；
(2)圆圆的说法不正确，理由见解析。
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数的最值；代数式比较大小
【点评】
本题围绕反比例函数的性质考查，第一问需结合函数增减性确定给定区间内的最值点，是反比例函数性质的基础应用；第二问要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，若自变量跨象限则增减性不适用，通过分类讨论或举反例即可判断结论正误，易错点是忽略自变量取值范围直接套用增减性判断。
【难度系数】
0.7