登录
三、解答题(共37分)
12. (11分)已知反比例函数 $y=\frac{m-3}{x}$（$m$为常数，且$m≠3$）。
(1)若在其图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而减小，求$m$的取值范围。
(2)若点$A(2,\frac{3}{2})$在该反比例函数的图象上，求$m$的值。
12. (11分)已知反比例函数 $y=\frac{m-3}{x}$（$m$为常数，且$m≠3$）。
(1)若在其图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而减小，求$m$的取值范围。
(2)若点$A(2,\frac{3}{2})$在该反比例函数的图象上，求$m$的值。
答案
12. 解:(1)因为在图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而减小，
所以 $m-3＞0$，
解得 $m＞3$。
(2)把 $A(2,\frac{3}{2})$ 代入 $y=\frac{m-3}{x}$ 中，
得 $m-3=3$，
解得 $m=6$。
所以 $m-3＞0$，
解得 $m＞3$。
(2)把 $A(2,\frac{3}{2})$ 代入 $y=\frac{m-3}{x}$ 中，
得 $m-3=3$，
解得 $m=6$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
（1）第一问结合反比例函数的增减性规律分析：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，图象的每一个分支上$y$随$x$的增大而减小，本题中比例系数为$m-3$，结合题干的增减性特征列不等式求解即可。
（2）第二问结合函数图象与点坐标的关系分析：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数解析式，将点$A$的坐标代入反比例函数解析式，得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 因为在反比例函数图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而减小，根据反比例函数性质可得：
$m-3＞0$
解得 $m＞3$。
(2) 把 $A(2,\frac{3}{2})$ 代入 $y=\frac{m-3}{x}$ 中，得：
$\frac{3}{2}=\frac{m-3}{2}$
化简得 $m-3=3$
解得 $m=6$。
【答案】
(1) $m＞3$；(2) $m=6$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，侧重对核心基础性质的应用，只要熟练掌握反比例函数的增减性规律、函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
本题分为两小问，解题思路如下：
（1）第一问结合反比例函数的增减性规律分析：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，图象的每一个分支上$y$随$x$的增大而减小，本题中比例系数为$m-3$，结合题干的增减性特征列不等式求解即可。
（2）第二问结合函数图象与点坐标的关系分析：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数解析式，将点$A$的坐标代入反比例函数解析式，得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 因为在反比例函数图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而减小，根据反比例函数性质可得：
$m-3＞0$
解得 $m＞3$。
(2) 把 $A(2,\frac{3}{2})$ 代入 $y=\frac{m-3}{x}$ 中，得：
$\frac{3}{2}=\frac{m-3}{2}$
化简得 $m-3=3$
解得 $m=6$。
【答案】
(1) $m＞3$；(2) $m=6$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，侧重对核心基础性质的应用，只要熟练掌握反比例函数的增减性规律、函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
13. (13分)如图，一次函数 $y=kx+b$ 与反比例函数 $y=\dfrac{c}{x}$ 的图象相交于A，B两点，A，B的坐标分别为$(2,n),(-4,-2)$。
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式。
(2)已知点$M(m,e),N(m,d)$分别在一次函数和反比例函数的图象上，当$e＞d$时，直接写出$m$的取值范围。
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式。
(2)已知点$M(m,e),N(m,d)$分别在一次函数和反比例函数的图象上，当$e＞d$时，直接写出$m$的取值范围。
答案
13. 解:(1)因为反比例函数 $y=\frac{c}{x}$ 的图象过点 $A(2,n),B(-4,-2)$，
所以 $c=2n=-4×(-2)$，
所以 $c=8,n=4$，
所以反比例函数的表达式为 $y=\frac{8}{x},A(2,4)$。
因为一次函数 $y=kx+b$ 的图象过点 $A,B$，
所以 $\begin{cases}2k+b=4,\\-4k+b=-2,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=1,\\b=2,\end{cases}$
所以一次函数的表达式为 $y=x+2$。
(2)由图象可知，当 $-4＜x＜0$ 或 $x＞2$ 时，$kx+b＞\frac{c}{x}$，
所以当 $e＞d$ 时，$m$ 的取值范围是 $-4＜m＜0$ 或 $m＞2$。
所以 $c=2n=-4×(-2)$，
所以 $c=8,n=4$，
所以反比例函数的表达式为 $y=\frac{8}{x},A(2,4)$。
因为一次函数 $y=kx+b$ 的图象过点 $A,B$，
所以 $\begin{cases}2k+b=4,\\-4k+b=-2,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=1,\\b=2,\end{cases}$
所以一次函数的表达式为 $y=x+2$。
(2)由图象可知，当 $-4＜x＜0$ 或 $x＞2$ 时，$kx+b＞\frac{c}{x}$，
所以当 $e＞d$ 时，$m$ 的取值范围是 $-4＜m＜0$ 或 $m＞2$。
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式优先用待定系数法：反比例函数仅含1个未知参数c，已知点B坐标，代入即可先求出c，得到反比例函数表达式；再将点A代入反比例函数求出n的值，得到A点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到k、b的值，求出一次函数表达式。
(2) $e＞d$的本质是横坐标相同时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，对应图象中一次函数图象位于反比例函数图象上方的部分，结合两个交点的横坐标以及反比例函数$x≠0$的限制，分区间观察图象即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 先求反比例函数表达式：
∵ 反比例函数$y=\dfrac{c}{x}$的图象经过点$B(-4,-2)$，
∴ 将$x=-4,y=-2$代入得：$c = (-4) × (-2) = 8$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$。
∵ 点$A(2,n)$在反比例函数图象上，
∴ 代入得$n = \dfrac{8}{2} = 4$，即$A$点坐标为$(2,4)$。
再求一次函数表达式：
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(2,4)$、$B(-4,-2)$两点，
∴ 代入得方程组：$\begin{cases}2k+b=4 \\-4k+b=-2 \end{cases}$，
用第一个方程减第二个方程得：$6k=6$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$2k+b=4$，得$2+b=4$，解得$b=2$，
∴ 一次函数的表达式为$y=x+2$。
(2) 点$M(m,e)$、$N(m,d)$横坐标相同，$e＞d$即一次函数值大于反比例函数值，对应一次函数图象在反比例函数图象上方的区域：
结合图象可知，当$-4＜x＜0$或$x＞2$时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，
∴ $m$的取值范围是$-4＜m＜0$或$m＞2$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{8}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=x+2}$；
(2) $m$的取值范围是$\boldsymbol{-4＜m＜0}$或$\boldsymbol{m＞2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，数形结合比较函数值
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的基础综合题，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时要注意利用数形结合思想分析函数值大小关系，避免遗漏x＜0的区间以及反比例函数x≠0的隐含限制。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数解析式优先用待定系数法：反比例函数仅含1个未知参数c，已知点B坐标，代入即可先求出c，得到反比例函数表达式；再将点A代入反比例函数求出n的值，得到A点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到k、b的值，求出一次函数表达式。
(2) $e＞d$的本质是横坐标相同时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，对应图象中一次函数图象位于反比例函数图象上方的部分，结合两个交点的横坐标以及反比例函数$x≠0$的限制，分区间观察图象即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 先求反比例函数表达式：
∵ 反比例函数$y=\dfrac{c}{x}$的图象经过点$B(-4,-2)$，
∴ 将$x=-4,y=-2$代入得：$c = (-4) × (-2) = 8$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$。
∵ 点$A(2,n)$在反比例函数图象上，
∴ 代入得$n = \dfrac{8}{2} = 4$，即$A$点坐标为$(2,4)$。
再求一次函数表达式：
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(2,4)$、$B(-4,-2)$两点，
∴ 代入得方程组：$\begin{cases}2k+b=4 \\-4k+b=-2 \end{cases}$，
用第一个方程减第二个方程得：$6k=6$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$2k+b=4$，得$2+b=4$，解得$b=2$，
∴ 一次函数的表达式为$y=x+2$。
(2) 点$M(m,e)$、$N(m,d)$横坐标相同，$e＞d$即一次函数值大于反比例函数值，对应一次函数图象在反比例函数图象上方的区域：
结合图象可知，当$-4＜x＜0$或$x＞2$时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，
∴ $m$的取值范围是$-4＜m＜0$或$m＞2$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{8}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=x+2}$；
(2) $m$的取值范围是$\boldsymbol{-4＜m＜0}$或$\boldsymbol{m＞2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，数形结合比较函数值
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的基础综合题，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时要注意利用数形结合思想分析函数值大小关系，避免遗漏x＜0的区间以及反比例函数x≠0的隐含限制。
【难度系数】
0.7
14. (13分)小林为探索函数$y=\frac{3}{x-2}(x＞2)$的图象与性质经历了如下过程。
(1)列表:根据表中x的取值,求出对应的y值,将空白处填写完整。
(2)在平面直角坐标系中描出以表中各组对应值为坐标的点,并画出函数图象。
(3)若函数$y=2x$的图象与$y=\frac{3}{x-2}(x＞2)$的图象交于点$P(x_0,y_0)$,且$n＜x_0＜n+1$(n为正整数),求n的值。
(1)列表:根据表中x的取值,求出对应的y值,将空白处填写完整。
(2)在平面直角坐标系中描出以表中各组对应值为坐标的点,并画出函数图象。
(3)若函数$y=2x$的图象与$y=\frac{3}{x-2}(x＞2)$的图象交于点$P(x_0,y_0)$,且$n＜x_0＜n+1$(n为正整数),求n的值。
答案
14. 解:(1)3 1.5
(2)如图。
(3)在(2)图象的基础上画出 $y=2x$ 的图象，
因为两个函数图象的交点为 $P,n＜x_0＜n+1$,所以 $2＜x_0＜2+1$，
即 $n$ 的值为 2。
解析
【分析】
(1) 第一问求对应x的函数值，只需将给定的x代入函数表达式$y=\frac{3}{x-2}(x＞2)$直接计算即可。
(2) 第二问画函数图象，遵循描点法画图的步骤：先将表中对应坐标点在坐标系中准确描出，再用平滑曲线依次连接各点，注意x的取值范围是x＞2，仅绘制x=2右侧第一象限内的图象即可。
(3) 第三问求n的值，可通过两种思路求解：一是数形结合，画出$y=2x$的图象，直接观察两个函数交点横坐标的范围；二是联立两个函数解析式，解一元二次方程得到交点横坐标的近似值，判断其所在区间即可得到n的值。
【解析】
(1) 把$x=3$代入$y=\frac{3}{x-2}$，得$y=\frac{3}{3-2}=3$；把$x=4$代入$y=\frac{3}{x-2}$，得$y=\frac{3}{4-2}=1.5$，因此空白处依次填3、1.5。
(2) 先将表中各组对应值对应的点在平面直角坐标系中描出，再用平滑的曲线顺次连接各点，得到的函数图象如图所示。
(3) 联立两个函数的解析式得$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{3}{x-2} \end{cases}$，消去y可得$2x=\frac{3}{x-2}$，整理得$2x^2-4x-3=0$，由求根公式得$x=\frac{4±\sqrt{16+24}}{4}=\frac{2±\sqrt{10}}{2}$。因为$x＞2$，所以取正根$x_0=\frac{2+\sqrt{10}}{2}\approx\frac{2+3.16}{2}\approx2.58$，即$2＜x_0＜3$，结合$n＜x_0＜n+1$（n为正整数），可得$n=2$。也可通过画出$y=2x$的图象，直接观察交点横坐标落在2和3之间，得到n=2。
【答案】
(1) 3 1.5
(2) 如图。
(3) n的值为2。
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一次函数的图象，函数交点的求解
【点评】
本题围绕反比例函数的探究过程设置考点，覆盖了函数值计算、图象绘制、交点范围判断等基础内容，渗透了数形结合的数学思想，能较好地考查函数相关的基础掌握情况。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求对应x的函数值，只需将给定的x代入函数表达式$y=\frac{3}{x-2}(x＞2)$直接计算即可。
(2) 第二问画函数图象，遵循描点法画图的步骤：先将表中对应坐标点在坐标系中准确描出，再用平滑曲线依次连接各点，注意x的取值范围是x＞2，仅绘制x=2右侧第一象限内的图象即可。
(3) 第三问求n的值，可通过两种思路求解：一是数形结合，画出$y=2x$的图象，直接观察两个函数交点横坐标的范围；二是联立两个函数解析式，解一元二次方程得到交点横坐标的近似值，判断其所在区间即可得到n的值。
【解析】
(1) 把$x=3$代入$y=\frac{3}{x-2}$，得$y=\frac{3}{3-2}=3$；把$x=4$代入$y=\frac{3}{x-2}$，得$y=\frac{3}{4-2}=1.5$，因此空白处依次填3、1.5。
(2) 先将表中各组对应值对应的点在平面直角坐标系中描出，再用平滑的曲线顺次连接各点，得到的函数图象如图所示。
(3) 联立两个函数的解析式得$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{3}{x-2} \end{cases}$，消去y可得$2x=\frac{3}{x-2}$，整理得$2x^2-4x-3=0$，由求根公式得$x=\frac{4±\sqrt{16+24}}{4}=\frac{2±\sqrt{10}}{2}$。因为$x＞2$，所以取正根$x_0=\frac{2+\sqrt{10}}{2}\approx\frac{2+3.16}{2}\approx2.58$，即$2＜x_0＜3$，结合$n＜x_0＜n+1$（n为正整数），可得$n=2$。也可通过画出$y=2x$的图象，直接观察交点横坐标落在2和3之间，得到n=2。
【答案】
(1) 3 1.5
(2) 如图。
(3) n的值为2。
【知识点】
反比例函数的图象与性质，一次函数的图象，函数交点的求解
【点评】
本题围绕反比例函数的探究过程设置考点，覆盖了函数值计算、图象绘制、交点范围判断等基础内容，渗透了数形结合的数学思想，能较好地考查函数相关的基础掌握情况。
【难度系数】
0.7
