例1 如图,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,过点A作x轴的垂线,垂足为点B,连结OA。若△OAB的面积为2,则k=（）

A.-2
B.-4
C.2
D.4

D

【分析】
解题思路如下：首先回忆反比例函数系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先根据反比例函数图象所在的第一象限判断k的符号为正，再结合已知△OAB的面积为2，代入公式即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，由图象可知点A在第一象限，因此$x＞0$，$y＞0$。
∵AB⊥x轴，
∴$OB=x$，$AB=y$，
△OAB为直角三角形，其面积$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × OB × AB$，
由题知$S_{△ OAB}=2$，代入得：$\frac{1}{2}xy=2$，解得$xy=4$。
又
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy$，
因此$k=4$。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的基础题型，核心考查反比例函数系数k的几何意义的应用，解题时需注意结合函数图象所在象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

例2 如图,矩形 OABC 的对角线 OB与反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象相交于点 D,且$\frac{OD}{OB}=\frac{3}{5}$,则矩形 OABC 的面积为（）

A.50
B.25
C.15
D.$\frac{25}{2}$

例2题图

变式题图

B

【分析】
本题考查反比例函数与矩形面积的结合问题，解题思路如下：1. 回忆反比例函数的几何性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$上任意一点的横纵坐标乘积为定值$k$；2. 由于点$D$、$B$都在对角线$OB$上，两点横纵坐标的比例相同，结合$\frac{OD}{OB}=\frac{3}{5}$，可设出两点的坐标；3. 将$D$点坐标代入反比例函数解析式求出坐标参数的乘积，再利用矩形面积等于点$B$横纵坐标的乘积计算即可。
【解析】
设点$D$的坐标为$(3a,3b)$，
∵$O$、$D$、$B$三点共线，且$\frac{OD}{OB}=\frac{3}{5}$，
∴点$B$的坐标为$(5a,5b)$。
∵点$D$在反比例函数$y=\frac{9}{x}$的图象上，代入得：
$3a·3b=9$，即$9ab=9$，解得$ab=1$。
矩形$OABC$的面积等于点$B$的横纵坐标的乘积，即：
$S_{矩形OABC}=5a·5b=25ab$，
将$ab=1$代入得$S_{矩形OABC}=25×1=25$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形面积计算，共线点坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题型，核心是利用共线点的坐标比例关系，建立反比例函数上的点与矩形顶点的联系，结合反比例函数的性质即可求解，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7

变式 如图,在以 O 为原点的直角坐标系中,矩形 OABC 的两边 OC,OA 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象与 AB 相交于点 D,与 BC 相交于点 E,若 $BD=3AD$,且 $△ ODE$ 的面积是 9,则 $k=$ ()

A.$\frac{9}{2}$
B.$\frac{27}{4}$
C.$\frac{24}{5}$
D.12

C

【分析】
解题可按三步推进：第一步，结合反比例函数表达式设出点D的坐标，再根据BD=3AD的线段关系，依次推导矩形顶点B、C和点E的坐标；第二步，用割补法计算△ODE的面积，即通过矩形OABC的面积减去周围3个直角三角形的面积得到△ODE的面积表达式；第三步，结合△ODE面积为9的已知条件列方程求解k，计算过程中参数t会自然消去，无需单独求解t的值。
【解析】
设点D的坐标为$(t,\frac{k}{t})$（D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上）。
∵矩形OABC中AB平行x轴，
∴OA的长度为$\frac{k}{t}$，AD的长度为$t$。
由$BD=3AD$得$BD=3t$，因此$AB=AD+BD=4t$，可得$B(4t,\frac{k}{t})$，$C(4t,0)$。
∵E在BC边上（BC平行y轴，横坐标恒为4t），将$x=4t$代入$y=\frac{k}{x}$得$y=\frac{k}{4t}$，
∴$E(4t,\frac{k}{4t})$。
计算各部分面积：
矩形OABC面积：$S_{矩形OABC}=OA× AB=\frac{k}{t}×4t=4k$
$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}× AD× OA=\frac{1}{2}× t×\frac{k}{t}=\frac{k}{2}$
$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}× OC× CE=\frac{1}{2}×4t×\frac{k}{4t}=\frac{k}{2}$
$BD=3t$，$BE=\frac{k}{t}-\frac{k}{4t}=\frac{3k}{4t}$，则$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× BD× BE=\frac{1}{2}×3t×\frac{3k}{4t}=\frac{9k}{8}$
由$S_{△ ODE}=S_{矩形OABC}-S_{△ OAD}-S_{△ OCE}-S_{△ BDE}=9$，代入得：
$4k-\frac{k}{2}-\frac{k}{2}-\frac{9k}{8}=9$
化简得$\frac{15k}{8}=9$，解得$k=\frac{24}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，割补法求面积，坐标与图形
【点评】
本题是反比例函数面积类问题的典型题型，核心解题思路是通过设参数表示各点坐标，将不规则三角形的面积转化为规则图形面积的差求解，无需额外计算参数值，解题的关键是熟练掌握反比例函数的坐标特征和面积计算方法。
【难度系数】
0.6

例3 如图,在平面直角坐标系中,直线CD与x轴、y轴分别交于点C,D,点A,B为线段CD的三等分点,且A,B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0,k＞0)$的图象上。若△AOC的面积为12,则k的值为。


例3题图
变式题图

8

【分析】
解题时可采用坐标法：第一步先设出直线CD与x轴、y轴交点C、D的坐标；第二步根据线段三等分点的坐标规律，写出A、B两点的坐标表达式；第三步结合反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k，得到k与C、D坐标的等量关系；第四步利用△AOC的面积公式求出坐标乘积的值，最后代入即可算出k。
【解析】
设点C坐标为$(c,0)$，点D坐标为$(0,b)$（$c＞0,b＞0$）。
∵A、B是线段CD的三等分点，
∴靠近点D的三等分点A的坐标为$(\frac{c}{3},\frac{2b}{3})$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=x_A · y_A=\frac{c}{3} × \frac{2b}{3}=\frac{2bc}{9}$ ①。
又
∵$△ AOC$的面积为12，$△ AOC$的底$OC=c$，高为点A的纵坐标$\frac{2b}{3}$，
∴$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × c × \frac{2b}{3}=\frac{bc}{3}=12$，
解得$bc=36$ ②。
将②代入①得：$k=\frac{2 × 36}{9}=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，线段三等分点，三角形面积公式
【点评】
本题是反比例函数中面积问题的典型题型，核心是通过坐标法建立几何条件和代数表达式的联系，解题关键是准确写出三等分点的坐标，再结合反比例函数的性质和面积公式求解。
【难度系数】
0.6

变式 如图，反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象与正比例函数$y=x$的图象交于A，C两点，AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为点B，D，则四边形ABCD的面积等于。

2

【分析】
解题思路可分三步：第一步，先联立反比例函数与正比例函数的解析式，求出两个交点A、C的坐标；第二步，根据AB⊥x轴、CD⊥x轴的条件，确定垂足B、D的坐标；第三步，判断四边形ABCD的形状为梯形，再代入梯形面积公式计算，也可以用分割法将四边形拆成两个三角形分别求面积再求和，两种方法都能得到结果。
【解析】
1. 求交点A、C的坐标：
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{x}\\y=x\end{cases}$，可得$x=\frac{1}{x}$，即$x^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$。
将x值代入$y=x$，得$y_1=1$，$y_2=-1$，因此A点坐标为$(1,1)$，C点坐标为$(-1,-1)$。
2. 确定B、D的坐标：
∵AB⊥x轴，垂足B在x轴上，
∴B点横坐标与A相同，纵坐标为0，即$B(1,0)$；
∵CD⊥x轴，垂足D在x轴上，
∴D点横坐标与C相同，纵坐标为0，即$D(-1,0)$。
3. 计算四边形ABCD的面积：
由坐标可知，AB、CD均垂直于x轴，因此$AB// CD$，四边形ABCD是梯形。
其中$AB=1-0=1$，$CD=0-(-1)=1$，两平行线AB、CD之间的水平距离为$1-(-1)=2$（即梯形的高）。
根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，代入得：
$S_{ABCD}=\frac{(1+1)×2}{2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数图象性质；函数交点求解；梯形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，既可以通过坐标法直接计算，也可以结合反比例函数、正比例函数的中心对称性质简化运算，有助于学生巩固函数交点求法与图形面积计算的结合应用。
【难度系数】
0.8

例4 如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的BC边在x轴上,点A,D分别在反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＜0),y=\frac{n}{x}(x＞0)$的图象上,那么矩形ABCD的面积可用m,n表示为 ()


A.$m+n$
B.$m-n$
C.$n-m$
D.$-mn$

C

【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积为$\vert k\vert$。观察图形可知，矩形ABCD可拆分为y轴左侧、右侧两个小矩形，分别对应两个反比例函数的k的几何意义图形。首先判断两个反比例函数系数的符号：$y=\frac{m}{x}$的图象在第二象限，因此$m＜0$；$y=\frac{n}{x}$的图象在第一象限，因此$n＞0$。分别计算两个小矩形的面积，相加即可得到大矩形ABCD的面积。
【解析】
设点A的纵坐标为$y$，因AD平行于x轴，故点D的纵坐标也为$y$。
1. 对于反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＜0)$：点A在其图象上，根据k的几何意义，左侧矩形（顶点为A、B、O、y轴与AD的交点）的面积为$\vert m\vert$，又因图象在第二象限，$m＜0$，因此该部分面积为$\vert m\vert=-m$。
2. 对于反比例函数$y=\frac{n}{x}(x＞0)$：点D在其图象上，根据k的几何意义，右侧矩形（顶点为D、C、O、y轴与AD的交点）的面积为$\vert n\vert$，又因图象在第一象限，$n＞0$，因此该部分面积为$\vert n\vert=n$。
矩形ABCD的面积为两个小矩形面积之和，即$S=-m + n = n - m$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，核心考查对反比例函数k的几何意义的理解与应用，解题时需注意结合反比例函数所在象限判断k的符号，避免直接将m、n相加出错。
【难度系数】
0.7