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变式 曲线$C_1:y=\frac{4}{x}(x＞0)$和$C_2:y=\frac{2}{x}(x＞0)$如图所示，设点P在$C_1$上，$PC⊥ x$轴于点C，交$C_2$于点A，$PD⊥ y$轴于点D，交$C_2$于点B，则四边形OAPB的面积为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
本题可利用反比例函数中k的几何意义，结合割补法求解不规则四边形面积。首先回忆：过反比例函数上的点作坐标轴的垂线，所得矩形面积为|k|，直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。我们先求出包含四边形的大矩形OCPD的面积，再减去两个位于$C_2$上的点构成的小直角三角形的面积，即可得到四边形OAPB的面积。
【解析】
设点P的坐标为$(a,\frac{4}{a})$（$a＞0$），
∵$PC⊥x$轴交$C_2$于A，
∴点A横坐标为$a$，代入$y=\frac{2}{x}$得$A(a,\frac{2}{a})$；
∵$PD⊥y$轴交$C_2$于B，
∴点B纵坐标为$\frac{4}{a}$，代入$y=\frac{2}{x}$得$x=\frac{a}{2}$，即$B(\frac{a}{2},\frac{4}{a})$。
根据反比例函数k的几何意义：
矩形$OCPD$的面积$S_{矩形OCPD}=OC× PC=a×\frac{4}{a}=4$，
$△ ODB$的面积$S_{△ ODB}=\frac{1}{2}×|k_2|=\frac{1}{2}×2=1$，
$△ OCA$的面积$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}×|k_2|=\frac{1}{2}×2=1$，
则四边形$OAPB$的面积$S=S_{矩形OCPD}-S_{△ ODB}-S_{△ OCA}=4-1-1=2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 割补法求面积
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数面积类的基础典型题，核心考查对反比例函数k的几何意义的灵活运用，通过割补法将不规则四边形面积转化为规则图形面积的差求解，降低了计算难度，解题时要注意反比例函数系数与对应图形面积的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题可利用反比例函数中k的几何意义，结合割补法求解不规则四边形面积。首先回忆：过反比例函数上的点作坐标轴的垂线，所得矩形面积为|k|，直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。我们先求出包含四边形的大矩形OCPD的面积，再减去两个位于$C_2$上的点构成的小直角三角形的面积，即可得到四边形OAPB的面积。
【解析】
设点P的坐标为$(a,\frac{4}{a})$（$a＞0$），
∵$PC⊥x$轴交$C_2$于A，
∴点A横坐标为$a$，代入$y=\frac{2}{x}$得$A(a,\frac{2}{a})$；
∵$PD⊥y$轴交$C_2$于B，
∴点B纵坐标为$\frac{4}{a}$，代入$y=\frac{2}{x}$得$x=\frac{a}{2}$，即$B(\frac{a}{2},\frac{4}{a})$。
根据反比例函数k的几何意义：
矩形$OCPD$的面积$S_{矩形OCPD}=OC× PC=a×\frac{4}{a}=4$，
$△ ODB$的面积$S_{△ ODB}=\frac{1}{2}×|k_2|=\frac{1}{2}×2=1$，
$△ OCA$的面积$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}×|k_2|=\frac{1}{2}×2=1$，
则四边形$OAPB$的面积$S=S_{矩形OCPD}-S_{△ ODB}-S_{△ OCA}=4-1-1=2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 割补法求面积
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数面积类的基础典型题，核心考查对反比例函数k的几何意义的灵活运用，通过割补法将不规则四边形面积转化为规则图形面积的差求解，降低了计算难度，解题时要注意反比例函数系数与对应图形面积的对应关系。
【难度系数】
0.7
1. 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，且$S_{△ AOB}=2$，则k的值为（
A.$-4$
B.$2$
C.$-2$
D.$4$
A
）A.$-4$
B.$2$
C.$-2$
D.$4$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先想到反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。第一步先利用已知的三角形面积求出|k|的值，第二步结合反比例函数图象所在的第二象限判断k的正负，最终确定k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵AB⊥x轴，△AOB为直角三角形，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB × AB=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ AOB}=2$，代入得$\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$。
又
∵反比例函数图象在第二象限，
∴$k＜0$，因此$k=-4$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数面积类的基础题型，解题核心是熟记k的几何意义，易错点是容易忽略函数图象所在象限，忘记判断k的符号导致选错答案，解题时要养成结合图象判断参数符号的习惯。
【难度系数】
0.7
解题时首先想到反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。第一步先利用已知的三角形面积求出|k|的值，第二步结合反比例函数图象所在的第二象限判断k的正负，最终确定k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$xy=k$。
∵AB⊥x轴，△AOB为直角三角形，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB × AB=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ AOB}=2$，代入得$\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$。
又
∵反比例函数图象在第二象限，
∴$k＜0$，因此$k=-4$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数面积类的基础题型，解题核心是熟记k的几何意义，易错点是容易忽略函数图象所在象限，忘记判断k的符号导致选错答案，解题时要养成结合图象判断参数符号的习惯。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点B在函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上,P是矩形OABC内的一点,连结PO,PA,PB,PC,则图中阴影部分的面积是（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
A
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，由此可先求出矩形OABC的面积；再分析阴影部分两个三角形的面积关系：△POC和△PAB的底相等（均等于矩形的宽OC），两个三角形的高之和等于矩形的长OA，因此两个三角形的面积和恰好是矩形面积的一半，代入数据计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
∵ 顶点B在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，四边形OABC是矩形，
∴ 矩形OABC的面积$S_{矩形OABC}=|k|=6$。
设点P到边OC的距离为$h_1$，到边AB的距离为$h_2$，
由矩形性质可知$OC=AB$，且$h_1+h_2=OA$，
则阴影部分的面积：
$S_{阴影}=S_{△ POC}+S_{△ PAB}$
$=\frac{1}{2}· OC· h_1 + \frac{1}{2}· AB· h_2$
$=\frac{1}{2}· OC· (h_1+h_2)$
$=\frac{1}{2}· OC· OA$
$=\frac{1}{2}S_{矩形OABC}=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，解题无需确定点P的具体位置，利用整体思想分析阴影部分面积和矩形面积的关系即可快速求解，能有效考查对反比例函数几何性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆反比例函数$k$的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，由此可先求出矩形OABC的面积；再分析阴影部分两个三角形的面积关系：△POC和△PAB的底相等（均等于矩形的宽OC），两个三角形的高之和等于矩形的长OA，因此两个三角形的面积和恰好是矩形面积的一半，代入数据计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
∵ 顶点B在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，四边形OABC是矩形，
∴ 矩形OABC的面积$S_{矩形OABC}=|k|=6$。
设点P到边OC的距离为$h_1$，到边AB的距离为$h_2$，
由矩形性质可知$OC=AB$，且$h_1+h_2=OA$，
则阴影部分的面积：
$S_{阴影}=S_{△ POC}+S_{△ PAB}$
$=\frac{1}{2}· OC· h_1 + \frac{1}{2}· AB· h_2$
$=\frac{1}{2}· OC· (h_1+h_2)$
$=\frac{1}{2}· OC· OA$
$=\frac{1}{2}S_{矩形OABC}=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，解题无需确定点P的具体位置，利用整体思想分析阴影部分面积和矩形面积的关系即可快速求解，能有效考查对反比例函数几何性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图
，A，B两点在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段。已知$S_{阴影}=1.7$，则$S_1+S_2$等于
，A，B两点在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段。已知$S_{阴影}=1.7$，则$S_1+S_2$等于4.6
。答案
4.6
解析
【分析】
解答本题首先要用到反比例函数k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$，过其图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，所得矩形的面积恒为$|k|$。本题中$k=4$，因此过A、B两点分别形成的两个矩形面积均为4。再观察图形可得：$S_1$与阴影面积之和为第一个矩形的面积，$S_2$与阴影面积之和为第二个矩形的面积，据此分别表示出$S_1$和$S_2$，相加即可求出结果。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{4}{x}$的几何意义可得：
过点A作坐标轴垂线段形成的矩形面积为$|k|=4$，即$\boldsymbol{S_1 + S_{阴影}=4}$；
过点B作坐标轴垂线段形成的矩形面积为$|k|=4$，即$\boldsymbol{S_2 + S_{阴影}=4}$。
已知$S_{阴影}=1.7$，因此：
$S_1=4 - 1.7=2.3$，$S_2=4 - 1.7=2.3$，
则$S_1 + S_2=2.3 + 2.3=4.6$。
【答案】
4.6
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型基础题，解题核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，结合图形梳理清楚各部分面积的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要用到反比例函数k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$，过其图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，所得矩形的面积恒为$|k|$。本题中$k=4$，因此过A、B两点分别形成的两个矩形面积均为4。再观察图形可得：$S_1$与阴影面积之和为第一个矩形的面积，$S_2$与阴影面积之和为第二个矩形的面积，据此分别表示出$S_1$和$S_2$，相加即可求出结果。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{4}{x}$的几何意义可得：
过点A作坐标轴垂线段形成的矩形面积为$|k|=4$，即$\boldsymbol{S_1 + S_{阴影}=4}$；
过点B作坐标轴垂线段形成的矩形面积为$|k|=4$，即$\boldsymbol{S_2 + S_{阴影}=4}$。
已知$S_{阴影}=1.7$，因此：
$S_1=4 - 1.7=2.3$，$S_2=4 - 1.7=2.3$，
则$S_1 + S_2=2.3 + 2.3=4.6$。
【答案】
4.6
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型基础题，解题核心是熟练掌握反比例函数k的几何意义，结合图形梳理清楚各部分面积的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ AOB$中，点$A(0,4)$，点$B(-4,0)$，曲线$L: y=\dfrac{k}{x}(k＜0, x＜0)$与边$AB$交于$C$，$D$两点，点$D$的纵坐标大于点$C$的纵坐标。
(1)当点$D$的坐标为$(-\dfrac{1}{2},b)$时，求$k$的值。
(2)若$k=-3$，求点$C$的坐标。
(3)连结$DO$，记$△ AOD$的面积为$S$，若$2＜S＜4$，求$k$的取值范围。
(1)当点$D$的坐标为$(-\dfrac{1}{2},b)$时，求$k$的值。
(2)若$k=-3$，求点$C$的坐标。
(3)连结$DO$，记$△ AOD$的面积为$S$，若$2＜S＜4$，求$k$的取值范围。
答案
解:(1)设直线AB的表达式为$y=mx+n(m≠0)$，
因为点$A(0,4),B(-4,0)$在直线AB上，所以$\begin{cases}4=n,\\0=-4m+n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1,\\n=4,\end{cases}$所以直线AB的表达式为$y=x+4$。
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{7}{2}$，所以点D的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{7}{2})$。
因为点D在反比例函数图象上，所以$k=-\frac{1}{2}×\frac{7}{2}=-\frac{7}{4}$。
(2)设点C的坐标为$(a,a+4)$，
因为$k=-3$，所以$a(a+4)=-3$，解得$a=-1$或$a=-3$。
因为点D的纵坐标大于点C的纵坐标，所以$a=-3$，
所以点C的坐标为$(-3,1)$。
(3)根据题意，设点D的横坐标为$t$，
由题意$2＜\frac{1}{2}×4|t|＜4$，解得$1＜|t|＜2$。
因为点D在第二象限，
所以$-2＜t＜-1$，
将$x_1=-2,x_2=-1$分别代入$y=x+4$中，
解得$y_1=2,y_2=3$。
因为$-2×2=-4,-1×3=-3$，所以$-4＜k＜-3$。
因为点$A(0,4),B(-4,0)$在直线AB上，所以$\begin{cases}4=n,\\0=-4m+n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1,\\n=4,\end{cases}$所以直线AB的表达式为$y=x+4$。
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{7}{2}$，所以点D的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{7}{2})$。
因为点D在反比例函数图象上，所以$k=-\frac{1}{2}×\frac{7}{2}=-\frac{7}{4}$。
(2)设点C的坐标为$(a,a+4)$，
因为$k=-3$，所以$a(a+4)=-3$，解得$a=-1$或$a=-3$。
因为点D的纵坐标大于点C的纵坐标，所以$a=-3$，
所以点C的坐标为$(-3,1)$。
(3)根据题意，设点D的横坐标为$t$，
由题意$2＜\frac{1}{2}×4|t|＜4$，解得$1＜|t|＜2$。
因为点D在第二象限，
所以$-2＜t＜-1$，
将$x_1=-2,x_2=-1$分别代入$y=x+4$中，
解得$y_1=2,y_2=3$。
因为$-2×2=-4,-1×3=-3$，所以$-4＜k＜-3$。
解析
【分析】
本题是一次函数与反比例函数的综合应用题，解题思路如下：1. 先利用待定系数法求出直线AB的解析式，交点C、D同时在直线AB和反比例函数图象上，这是解题的基础；2. 第(1)问：将点D的横坐标代入直线AB解析式求出纵坐标，再代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$即可求出k值；3. 第(2)问：联立直线AB和$k=-3$时的反比例函数解析式，解出两个交点坐标，根据“点D的纵坐标大于点C的纵坐标”筛选出点C的坐标；4. 第(3)问：先利用三角形面积公式，以AO为底，点D横坐标的绝对值为高表示出$△ AOD$的面积S，根据S的范围求出点D横坐标的取值范围，再结合直线AB解析式得到点D横、纵坐标的范围，最后根据$k=xy$求出k的取值范围。
【解析】
首先求直线AB的表达式：
设直线AB的表达式为$y=mx+n(m≠0)$，
将$A(0,4)$，$B(-4,0)$代入得$\begin{cases}4=n,\\0=-4m+n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1,\\n=4,\end{cases}$，故直线AB的表达式为$y=x+4$。
(1) 将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=x+4$，得$y=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$，即点D坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{7}{2})$。
∵点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=-\frac{1}{2}×\frac{7}{2}=-\frac{7}{4}$。
(2) 当$k=-3$时，反比例函数解析式为$y=\frac{-3}{x}$。
联立一次函数与反比例函数解析式得$\begin{cases}y=x+4,\\y=\frac{-3}{x},\end{cases}$
消去y整理得$x^2+4x+3=0$，解得$x=-1$或$x=-3$。
∵点D的纵坐标大于点C的纵坐标，直线$y=x+4$中y随x增大而增大，且$x＜0$，
∴点C的横坐标更小，即$x=-3$，代入$y=x+4$得$y=1$，故点C坐标为$(-3,1)$。
(3) 设点D的横坐标为$t$（$t＜0$），则点D到y轴的距离为$|t|$。
$△ AOD$中，$AO=4$，AO在y轴上，
∴$S=\frac{1}{2}×AO×|t|=\frac{1}{2}×4×|t|=2|t|$。
由$2＜S＜4$得$2＜2|t|＜4$，解得$1＜|t|＜2$。
∵点D在第二象限，$t＜0$，
∴$-2＜t＜-1$。
将$t=-2$代入$y=x+4$得$y=2$；将$t=-1$代入$y=x+4$得$y=3$，即此时$2＜y＜3$。
∵$k=xy$，x为负、y为正，代入边界值得$k=-2×2=-4$，$k=-1×3=-3$，
故k的取值范围为$-4＜k＜-3$。
【答案】
(1) $k=-\dfrac{7}{4}$
(2) 点C的坐标为$(-3,1)$
(3) $-4＜k＜-3$
【知识点】
一次函数解析式确定，反比例函数性质，函数综合应用
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合常规题型，解题核心是先求出公共直线AB的解析式，结合交点坐标同时满足两个函数解析式的特征，通过联立方程、代入求值逐步求解，第三问要注意x＜0、k＜0的符号限制，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.65
本题是一次函数与反比例函数的综合应用题，解题思路如下：1. 先利用待定系数法求出直线AB的解析式，交点C、D同时在直线AB和反比例函数图象上，这是解题的基础；2. 第(1)问：将点D的横坐标代入直线AB解析式求出纵坐标，再代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$即可求出k值；3. 第(2)问：联立直线AB和$k=-3$时的反比例函数解析式，解出两个交点坐标，根据“点D的纵坐标大于点C的纵坐标”筛选出点C的坐标；4. 第(3)问：先利用三角形面积公式，以AO为底，点D横坐标的绝对值为高表示出$△ AOD$的面积S，根据S的范围求出点D横坐标的取值范围，再结合直线AB解析式得到点D横、纵坐标的范围，最后根据$k=xy$求出k的取值范围。
【解析】
首先求直线AB的表达式：
设直线AB的表达式为$y=mx+n(m≠0)$，
将$A(0,4)$，$B(-4,0)$代入得$\begin{cases}4=n,\\0=-4m+n,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=1,\\n=4,\end{cases}$，故直线AB的表达式为$y=x+4$。
(1) 将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=x+4$，得$y=-\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$，即点D坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{7}{2})$。
∵点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k=xy=-\frac{1}{2}×\frac{7}{2}=-\frac{7}{4}$。
(2) 当$k=-3$时，反比例函数解析式为$y=\frac{-3}{x}$。
联立一次函数与反比例函数解析式得$\begin{cases}y=x+4,\\y=\frac{-3}{x},\end{cases}$
消去y整理得$x^2+4x+3=0$，解得$x=-1$或$x=-3$。
∵点D的纵坐标大于点C的纵坐标，直线$y=x+4$中y随x增大而增大，且$x＜0$，
∴点C的横坐标更小，即$x=-3$，代入$y=x+4$得$y=1$，故点C坐标为$(-3,1)$。
(3) 设点D的横坐标为$t$（$t＜0$），则点D到y轴的距离为$|t|$。
$△ AOD$中，$AO=4$，AO在y轴上，
∴$S=\frac{1}{2}×AO×|t|=\frac{1}{2}×4×|t|=2|t|$。
由$2＜S＜4$得$2＜2|t|＜4$，解得$1＜|t|＜2$。
∵点D在第二象限，$t＜0$，
∴$-2＜t＜-1$。
将$t=-2$代入$y=x+4$得$y=2$；将$t=-1$代入$y=x+4$得$y=3$，即此时$2＜y＜3$。
∵$k=xy$，x为负、y为正，代入边界值得$k=-2×2=-4$，$k=-1×3=-3$，
故k的取值范围为$-4＜k＜-3$。
【答案】
(1) $k=-\dfrac{7}{4}$
(2) 点C的坐标为$(-3,1)$
(3) $-4＜k＜-3$
【知识点】
一次函数解析式确定，反比例函数性质，函数综合应用
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合常规题型，解题核心是先求出公共直线AB的解析式，结合交点坐标同时满足两个函数解析式的特征，通过联立方程、代入求值逐步求解，第三问要注意x＜0、k＜0的符号限制，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.65
