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1. 如图,点A,B,C,D在⊙O上,则图中一定与∠B相等的角是 (
A.∠BAD
B.∠ACD
C.∠BCD
D.∠D
D
)A.∠BAD
B.∠ACD
C.∠BCD
D.∠D
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题的核心是运用圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。首先确定∠B所对的弧，再逐一判断各选项中的角是否与∠B是同一段弧所对的圆周角，即可快速找到符合要求的角。
【解析】
根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。
观察图形可知，∠B是弧AC所对的圆周角：
选项A的∠BAD是弧BD所对的圆周角，与∠B所对的弧不同，二者不相等；
选项B的∠ACD是弧AD所对的圆周角，与∠B所对的弧不同，二者不相等；
选项C的∠BCD是弧BD所对的圆周角，与∠B所对的弧不同，二者不相等；
选项D的∠D是弧AC所对的圆周角，和∠B为同弧所对的圆周角，因此∠B=∠D。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 圆周角的识别
【点评】
本题属于基础题型，是圆周角定理推论的直接应用，解题关键是准确对应每个圆周角所对的弧，熟练掌握相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是运用圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。首先确定∠B所对的弧，再逐一判断各选项中的角是否与∠B是同一段弧所对的圆周角，即可快速找到符合要求的角。
【解析】
根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。
观察图形可知，∠B是弧AC所对的圆周角：
选项A的∠BAD是弧BD所对的圆周角，与∠B所对的弧不同，二者不相等；
选项B的∠ACD是弧AD所对的圆周角，与∠B所对的弧不同，二者不相等；
选项C的∠BCD是弧BD所对的圆周角，与∠B所对的弧不同，二者不相等；
选项D的∠D是弧AC所对的圆周角，和∠B为同弧所对的圆周角，因此∠B=∠D。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 圆周角的识别
【点评】
本题属于基础题型，是圆周角定理推论的直接应用，解题关键是准确对应每个圆周角所对的弧，熟练掌握相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$\odot O$中,$OC⊥ AB$,若$∠ APC = 28°$,则$∠ BOC$的度数为 （
A.$14°$
B.$28°$
C.$42°$
D.$56°$
D
）A.$14°$
B.$28°$
C.$42°$
D.$56°$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件OC⊥AB入手，首先回忆垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧，因此可得到弧AC=弧BC。接下来观察已知角∠APC和待求角∠BOC的属性：∠APC是弧AC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，结合弧相等的结论，再利用圆周角定理“同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，即可建立两个角的数量关系，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$OC⊥ AB$，
∴根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
∵$∠ APC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴根据圆周角定理，得$∠ BOC=2∠ APC$。
又
∵$∠ APC=28°$，
∴$∠ BOC=2×28°=56°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题关键是先通过垂径定理得到等弧，再结合圆周角与圆心角的数量关系计算角度，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件OC⊥AB入手，首先回忆垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧，因此可得到弧AC=弧BC。接下来观察已知角∠APC和待求角∠BOC的属性：∠APC是弧AC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，结合弧相等的结论，再利用圆周角定理“同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，即可建立两个角的数量关系，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$OC⊥ AB$，
∴根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
∵$∠ APC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴根据圆周角定理，得$∠ BOC=2∠ APC$。
又
∵$∠ APC=28°$，
∴$∠ BOC=2×28°=56°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题关键是先通过垂径定理得到等弧，再结合圆周角与圆心角的数量关系计算角度，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$\odot O$中,弦AC,BD相交于点P,若$∠ A=40°,∠ APD=75°$,则$∠ C=$ (
A.$40°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$75°$
C
)A.$40°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$75°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先观察角的位置关系，要求∠C的度数，可先找和∠C相等的角，根据圆周角推论，同弧所对的圆周角相等，∠C和∠B都是弧AD所对的圆周角，因此只需求出∠B的度数即可；再看∠APD是△ABP的外角，根据三角形外角性质即可求出∠B，进而得到∠C的数值。
【解析】
1. 利用三角形外角性质计算∠B：
在△ABP中，∠APD是三角形的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得$∠ APD = ∠ A + ∠ B$。
已知$∠ A=40°$，$∠ APD=75°$，代入得：$∠ B = ∠ APD - ∠ A = 75° - 40° = 35°$。
2. 利用圆周角推论计算∠C：
因为∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得$∠ C = ∠ B = 35°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是基础几何题，核心是结合三角形外角性质和圆周角的推论求解，解题的关键是准确识别同弧对应的相等圆周角，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先观察角的位置关系，要求∠C的度数，可先找和∠C相等的角，根据圆周角推论，同弧所对的圆周角相等，∠C和∠B都是弧AD所对的圆周角，因此只需求出∠B的度数即可；再看∠APD是△ABP的外角，根据三角形外角性质即可求出∠B，进而得到∠C的数值。
【解析】
1. 利用三角形外角性质计算∠B：
在△ABP中，∠APD是三角形的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得$∠ APD = ∠ A + ∠ B$。
已知$∠ A=40°$，$∠ APD=75°$，代入得：$∠ B = ∠ APD - ∠ A = 75° - 40° = 35°$。
2. 利用圆周角推论计算∠C：
因为∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得$∠ C = ∠ B = 35°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是基础几何题，核心是结合三角形外角性质和圆周角的推论求解，解题的关键是准确识别同弧对应的相等圆周角，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 船在航行过程中，船长常常通过测量角度来判断是否有触礁危险。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧ACB是有触礁危险的临界线，∠ACB是“危险角”。当船分别位于D，E，F，G四个位置时，船与两个灯塔的夹角小于“危险角”∠ACB的是（
A.∠ADB
B.∠AEB
C.∠AFB
D.∠AGB
A
）A.∠ADB
B.∠AEB
C.∠AFB
D.∠AGB
答案
4. A
解析
【分析】解题首先要明确∠ACB是过A、B两点的圆的圆周角，对应所对的弧为弧AB。我们需要用到同弧所对不同位置角的大小规律：同弧所对的圆内角＞圆周角＞圆外角。接下来依次判断四个点D、E、F、G和圆的位置关系，对应得到角的类型，就可以比较出和∠ACB的大小关系。
【解析】已知∠ACB是⊙O上弧AB所对的圆周角，根据圆周角相关性质：
同弧所对的圆内角大于圆周角，同弧所对的圆外角小于圆周角，同弧所对的圆周角大小相等。
观察各点位置：
1. 点D在⊙O外，∠ADB是弧AB所对的圆外角，因此∠ADB＜∠ACB；
2. 点E在⊙O上，∠AEB是弧AB所对的圆周角，因此∠AEB=∠ACB；
3. 点F、G在⊙O内，∠AFB、∠AGB是弧AB所对的圆内角，因此∠AFB＞∠ACB，∠AGB＞∠ACB。
综上，小于危险角∠ACB的是∠ADB。
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内外角性质
【点评】本题结合实际航海场景考查圆周角相关性质的应用，解题的核心是准确判断点和圆的位置关系，熟记同弧所对的圆外角、圆周角、圆内角的大小关系即可快速得出结论。
【难度系数】0.7
【解析】已知∠ACB是⊙O上弧AB所对的圆周角，根据圆周角相关性质：
同弧所对的圆内角大于圆周角，同弧所对的圆外角小于圆周角，同弧所对的圆周角大小相等。
观察各点位置：
1. 点D在⊙O外，∠ADB是弧AB所对的圆外角，因此∠ADB＜∠ACB；
2. 点E在⊙O上，∠AEB是弧AB所对的圆周角，因此∠AEB=∠ACB；
3. 点F、G在⊙O内，∠AFB、∠AGB是弧AB所对的圆内角，因此∠AFB＞∠ACB，∠AGB＞∠ACB。
综上，小于危险角∠ACB的是∠ADB。
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内外角性质
【点评】本题结合实际航海场景考查圆周角相关性质的应用，解题的核心是准确判断点和圆的位置关系，熟记同弧所对的圆外角、圆周角、圆内角的大小关系即可快速得出结论。
【难度系数】0.7
5. 如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，BD平分$∠ ABC$。若$∠ D=20°$，则$∠ ABD$的度数为（
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
D
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
5. D
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察题干条件，AB是⊙O的直径，可联想圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角；其次∠D是弧BC所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，因此可得到与∠D相等的圆周角∠BAC；接下来在直角三角形中利用两锐角互余求出∠ABC的度数，最后结合角平分线的定义，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
1. 连接AC，
∵AB为⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ ACB=90°$；
2.
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧BC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得$∠ BAC=∠ D=20°$；
3. 在$Rt△ ABC$中，两锐角互余，因此$∠ ABC=90°-∠ BAC=90°-20°=70°$；
4.
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理推论，角平分线定义，直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等两个常用推论，结合角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察题干条件，AB是⊙O的直径，可联想圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角；其次∠D是弧BC所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，因此可得到与∠D相等的圆周角∠BAC；接下来在直角三角形中利用两锐角互余求出∠ABC的度数，最后结合角平分线的定义，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
1. 连接AC，
∵AB为⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ ACB=90°$；
2.
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧BC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得$∠ BAC=∠ D=20°$；
3. 在$Rt△ ABC$中，两锐角互余，因此$∠ ABC=90°-∠ BAC=90°-20°=70°$；
4.
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理推论，角平分线定义，直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等两个常用推论，结合角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图，已知BC是$\odot O$的直径，点A，D在$\odot O$上，若$∠ ACB = 32°$，则$∠ ADC$的大小为________。
答案
6. $58°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察到BC是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°；接着在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠ACB=32°，计算出∠ABC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，因此∠ADC与∠ABC相等，即可得到所求角度。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的直径，点A在⊙O上
∴∠BAC=90°（直径所对的圆周角为直角）
在Rt△ABC中，∠ACB=32°
∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-32°=58°
又
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角
∴∠ADC=∠ABC=58°（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
58°
【知识点】
直径所对圆周角是直角；同弧所对圆周角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆周角相关性质的应用，解题的核心是先借助直径的性质构造直角三角形求出等角的度数，再利用同弧圆周角相等的性质得到结论，熟练掌握相关定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察到BC是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°；接着在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠ACB=32°，计算出∠ABC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，因此∠ADC与∠ABC相等，即可得到所求角度。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的直径，点A在⊙O上
∴∠BAC=90°（直径所对的圆周角为直角）
在Rt△ABC中，∠ACB=32°
∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-32°=58°
又
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角
∴∠ADC=∠ABC=58°（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
58°
【知识点】
直径所对圆周角是直角；同弧所对圆周角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆周角相关性质的应用，解题的核心是先借助直径的性质构造直角三角形求出等角的度数，再利用同弧圆周角相等的性质得到结论，熟练掌握相关定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
7. 如图，AB 是半圆的直径，∠BAC＝20°，若 D 是$\overset{\frown}{AC}$的中点，则∠DAC 的度数是
35°
。答案
7. $35°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可连接BC得到Rt△ABC，结合已知∠BAC=20°算出∠ABC的度数；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，可求出弧AC的度数；由D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，可得$\overset{\frown}{DC}$的度数为$\overset{\frown}{AC}$的一半；最后∠DAC是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，再次运用圆周角定理即可算出∠DAC的度数。
【解析】
连接BC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，∠BAC=20°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°，
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数=2×∠ABC=2×70°=140°，
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}×140°=70°$，
又
∵∠DAC是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}×\overset{\frown}{DC}$的度数=$\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角性质；弧中点性质
【点评】
本题是圆周角相关知识的基础应用题，解题核心是利用直径的圆周角特征、弧与圆周角的对应关系完成角度转化，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可连接BC得到Rt△ABC，结合已知∠BAC=20°算出∠ABC的度数；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，可求出弧AC的度数；由D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，可得$\overset{\frown}{DC}$的度数为$\overset{\frown}{AC}$的一半；最后∠DAC是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，再次运用圆周角定理即可算出∠DAC的度数。
【解析】
连接BC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，∠BAC=20°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°，
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数=2×∠ABC=2×70°=140°，
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}×140°=70°$，
又
∵∠DAC是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}×\overset{\frown}{DC}$的度数=$\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角性质；弧中点性质
【点评】
本题是圆周角相关知识的基础应用题，解题核心是利用直径的圆周角特征、弧与圆周角的对应关系完成角度转化，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$\odot O$中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E。若$∠ B=60°$，AC=5，则CD的长为
5
。答案
8. 5
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 看到直径AB，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，结合∠B=60°可求出∠CAB的度数；2. 看到直径AB垂直弦CD，符合垂径定理的使用条件，可得CD=2CE，且△AEC为直角三角形；3. 利用直角三角形中30°角的性质求出CE的长度，即可计算出CD的长。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ ACB$中，$∠ B=60°$，
∴$∠ CAB=180°-90°-60°=30°$，
∵$AB⊥ CD$，AB为$\odot O$的直径，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$CE=DE=\frac{1}{2}CD$，且$∠ AEC=90°$，
在$Rt△ AEC$中，$∠ CAB=30°$，$AC=5$，
∴$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×5=2.5$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴$CD=2CE=2×2.5=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，圆周角定理推论，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握直径的性质和垂径定理，快速找到线段之间的数量关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：1. 看到直径AB，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，结合∠B=60°可求出∠CAB的度数；2. 看到直径AB垂直弦CD，符合垂径定理的使用条件，可得CD=2CE，且△AEC为直角三角形；3. 利用直角三角形中30°角的性质求出CE的长度，即可计算出CD的长。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ ACB$中，$∠ B=60°$，
∴$∠ CAB=180°-90°-60°=30°$，
∵$AB⊥ CD$，AB为$\odot O$的直径，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$CE=DE=\frac{1}{2}CD$，且$∠ AEC=90°$，
在$Rt△ AEC$中，$∠ CAB=30°$，$AC=5$，
∴$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×5=2.5$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴$CD=2CE=2×2.5=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，圆周角定理推论，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握直径的性质和垂径定理，快速找到线段之间的数量关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图，AB,CD是$\odot O$的两条弦，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，作$OE⊥ AB$，交$\odot O$于点E，延长EO交CD于点F，连结BD。
(1)求证：$AB// CD$。
(2)若$EF=CD=8$，求$\odot O$的半径。
(1)求证：$AB// CD$。
(2)若$EF=CD=8$，求$\odot O$的半径。
答案
9. 解:(1)证明:因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠B=∠D$,所以$AB// CD$。
(2)如图,连结OC。
因为$OE⊥AB,AB// CD$,所以$EF⊥CD$,
所以$DF=CF=\frac{1}{2}CD=4$。
设$\odot O$的半径为r,
因为$EF=8$,所以$OF=8-r$。
在$Rt△OFC$中,由勾股定理,
得$OF^2+CF^2=OC^2$,
所以$(8-r)^2+4^2=r^2$,所以$r=5$,
即$\odot O$的半径为5。
解析
【分析】
(1) 要证明$AB// CD$，可通过证明内错角相等推导：已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，根据圆周角定理的推论，同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得$∠ABD=∠CDB$，内错角相等即可判定两直线平行。
(2) 求$\odot O$的半径，可结合垂径定理和勾股定理列方程求解：首先由$OE⊥ AB$、$AB// CD$可推出$EF⊥ CD$，根据垂径定理可得$CF=\frac{1}{2}CD=4$；设圆的半径为$r$，则$OC=r$，$OF=EF-OE=8-r$，在$Rt△ OFC$中利用勾股定理建立方程，解方程即可得到半径的值。
【解析】
(1) 证明：因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，所以同弧对应的圆周角相等，即$∠B=∠D$，内错角相等两直线平行，因此$AB// CD$。
(2) 连结$OC$，
因为$OE⊥ AB$，且$AB// CD$，所以$EF⊥ CD$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$DF=CF=\frac{1}{2}CD=4$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，
已知$EF=8$，则$OF=EF-OE=8-r$，
在$Rt△ OFC$中，由勾股定理得：$OF^2+CF^2=OC^2$，
代入数值得到：$(8-r)^2+4^2=r^2$，
展开化简得$64-16r+16=0$，解得$r=5$。
【答案】
(1) 证明:因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠B=∠D$,所以$AB// CD$。
(2) 如图,连结OC。
因为$OE⊥AB,AB// CD$,所以$EF⊥CD$,
所以$DF=CF=\frac{1}{2}CD=4$。
设$\odot O$的半径为r,
因为$EF=8$,所以$OF=8-r$。
在$Rt△OFC$中,由勾股定理,
得$OF^2+CF^2=OC^2$,
所以$(8-r)^2+4^2=r^2$,所以$r=5$,
即$\odot O$的半径为5。
【知识点】
圆周角定理推论，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问难度较低，熟练掌握圆周角与弧的对应关系、平行线判定定理即可解决；第二问是圆中线段计算的典型题型，核心是结合垂径定理构造直角三角形，利用方程思想求解，需要掌握这类题型的辅助线做法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AB// CD$，可通过证明内错角相等推导：已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，根据圆周角定理的推论，同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得$∠ABD=∠CDB$，内错角相等即可判定两直线平行。
(2) 求$\odot O$的半径，可结合垂径定理和勾股定理列方程求解：首先由$OE⊥ AB$、$AB// CD$可推出$EF⊥ CD$，根据垂径定理可得$CF=\frac{1}{2}CD=4$；设圆的半径为$r$，则$OC=r$，$OF=EF-OE=8-r$，在$Rt△ OFC$中利用勾股定理建立方程，解方程即可得到半径的值。
【解析】
(1) 证明：因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，所以同弧对应的圆周角相等，即$∠B=∠D$，内错角相等两直线平行，因此$AB// CD$。
(2) 连结$OC$
，因为$OE⊥ AB$，且$AB// CD$，所以$EF⊥ CD$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$DF=CF=\frac{1}{2}CD=4$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，
已知$EF=8$，则$OF=EF-OE=8-r$，
在$Rt△ OFC$中，由勾股定理得：$OF^2+CF^2=OC^2$，
代入数值得到：$(8-r)^2+4^2=r^2$，
展开化简得$64-16r+16=0$，解得$r=5$。
【答案】
(1) 证明:因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠B=∠D$,所以$AB// CD$。
(2) 如图,连结OC。
因为$OE⊥AB,AB// CD$,所以$EF⊥CD$,
所以$DF=CF=\frac{1}{2}CD=4$。
设$\odot O$的半径为r,
因为$EF=8$,所以$OF=8-r$。
在$Rt△OFC$中,由勾股定理,
得$OF^2+CF^2=OC^2$,
所以$(8-r)^2+4^2=r^2$,所以$r=5$,
即$\odot O$的半径为5。
【知识点】
圆周角定理推论，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问难度较低，熟练掌握圆周角与弧的对应关系、平行线判定定理即可解决；第二问是圆中线段计算的典型题型，核心是结合垂径定理构造直角三角形，利用方程思想求解，需要掌握这类题型的辅助线做法。
【难度系数】
0.7
