12. 如图，已知C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$OA ⊥ CD$于点M，$CN ⊥ OB$于点N，若$OA=r$，$ON=a$，则$CD=$。

12. $2 \sqrt{r^2-a^2}$

【分析】
解题可按以下思路展开：①先利用弧中点的性质，得到弧AC和弧BC对应的圆心角相等，即∠AOC=∠BOC；②结合OA⊥CD、CN⊥OB的垂直条件，可证明△OMC和△ONC全等，从而得到OM=ON=a；③再根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可知CD=2CM；④最后在Rt△OMC中用勾股定理算出CM的长度，即可求出CD的长。
【解析】
连接OC，
1. 因为C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，可得$∠ AOC=∠ BOC$。
2. 已知$OA⊥ CD$，$CN⊥ OB$，所以$∠ OMC=∠ ONC=90°$。
3. 在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\begin{cases}∠ OMC=∠ ONC \\∠ MOC=∠ NOC \\OC=OC\end{cases}$
所以$△ OMC≌△ ONC$（AAS），因此$OM=ON=a$。
4. 因为$OA⊥ CD$，根据垂径定理可得$CD=2CM$。
5. 在$Rt△ OMC$中，$OC=OA=r$，$OM=a$，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{r^2-a^2}$
6. 所以$CD=2CM=2\sqrt{r^2-a^2}$。
【答案】
$2\sqrt{r^2-a^2}$
【知识点】
弧中点的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质和三角形全等、勾股定理结合考查，解题的核心是通过弧中点得到等角，借助全等转化线段长度，再结合垂径定理求解，解题逻辑清晰，属于圆章节的常规题型。
【难度系数】
0.7

13. 如图，$\odot O$的直径$AB=4$，弦$CD=2$，$M$为$CD$的中点，连结$MO$并延长，交$\odot O$于点$N$，连结$BN$，若$CD=BN$，则点$C$到$AB$的距离是________。

13. 1

【分析】
解题思路：首先根据直径求出圆的半径，结合已知CD=BN的条件，先判断△OBN的形状得到∠BON的度数，利用对顶角相等得到∠AOM的度数；再由垂径定理得到OM⊥CD，结合CD和半径长度相等判断△OCD是等边三角形，得到∠COM的度数，最后利用直角三角形的边角关系求出点C到AB的距离。
步骤拆解：1. 由直径AB=4得半径为2，可知OB=ON=OC=2；2. 由BN=CD=2得△OBN为等边三角形，得∠BON=60°，对顶角相等得∠AOM=60°；3. M是CD中点，由垂径定理得OM⊥CD，且CD=OC=OD=2，故△OCD是等边三角形，得∠COM=30°；4. 过C作CE⊥AB于E，计算Rt△COE中CE的长度即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=4$，
∴$\odot O$的半径为2，即$OC=OB=ON=2$。
∵$BN=CD=2$，
∴$OB=ON=BN=2$，$△ OBN$是等边三角形，
∴$∠ BON=60°$，由对顶角相等得$∠ AOM=∠ BON=60°$。
∵M是CD的中点，根据垂径定理，得$OM⊥ CD$，且$CM=\frac{1}{2}CD=1$。
又
∵$OC=OD=2$，$CD=2$，
∴$△ OCD$是等边三角形，
∴OM平分$∠ COD$，即$∠ COM=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
过点C作$CE⊥ AB$于点E，CE即为点C到AB的距离。
∴$∠ COE=∠ AOM-∠ COM=60°-30°=30°$，
在$Rt△ COE$中，$OC=2$，$∠ COE=30°$，
∴$CE=OC·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
垂径定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质，解题的关键是先通过等边三角形的判定得到相关角的度数，再结合垂径定理和直角三角形的边角关系求解，能很好地考查对圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65

三、解答题(共35分)
14. (10分)如图，AB，CD是$\odot O$的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线。求证：MN垂直平分CD。

14. 证明:因为MN是AB的垂直平分线，所以MN过圆心O。
因为$AB// CD$，
所以$MN⊥ CD$，
所以MN垂直平分CD。

【分析】
解题可按三步推导：首先回忆圆的相关性质，弦的垂直平分线必然经过圆心，因此由MN是AB的垂直平分线，可先得到MN过圆心O；其次结合AB//CD、MN⊥AB的条件，根据平行线的性质，可推出MN也垂直于CD；最后根据垂径定理，过圆心且垂直于弦的直线平分这条弦，即可得出MN垂直平分CD的结论。
【解析】
证明：
∵ MN是AB的垂直平分线，
∴ MN过圆心O。
又
∵ AB//CD，
∴ MN⊥CD，
∴ MN垂直平分CD。
【答案】
证明:因为MN是AB的垂直平分线，所以MN过圆心O。
因为$AB// CD$，
所以$MN⊥ CD$，
所以MN垂直平分CD。
【知识点】
垂径定理，平行线性质，垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础证明题，主要考查圆的基本性质的应用，解题核心是熟练掌握弦的垂直平分线过圆心这一推论，结合平行线性质和垂径定理即可顺利推导，注意推导过程逻辑要清晰，每一步要有对应的定理支撑。
【难度系数】
0.8

15. (12分)如图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交$\overset{\frown}{AB}$于点C,交弦AB于点D。已知$AB=24\ \mathrm{cm}$,$CD=8\ \mathrm{cm}$。
(1)作此残片所在的圆。(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求(1)中所作圆的半径。

15. 解:(1)连结AC,作弦AC的垂直平分线,与弦AB的垂直平分线交于点O,以O为圆心、OA长为半径作圆,圆O就是此残片所在的圆,如图。
(2)如图,连结OA。
设$OA=x\ \mathrm{cm}$,由题意可知$AD=12\ \mathrm{cm}$,$OD=(x-8)\mathrm{cm}$,
根据勾股定理,得$x^2=12^2+(x-8)^2$,
解得$x=13$,
即(1)中所作圆的半径为13 cm。

【分析】
(1) 要确定残片所在的圆，核心是找到圆心，根据圆的性质，圆心是圆内任意两条不平行弦的垂直平分线的交点。已知已有弦AB的垂直平分线，只需再作另一条弦（如AC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，再以圆心到A点的距离为半径作圆即可。
(2) 求半径可利用垂径定理与勾股定理结合求解：首先由CD垂直平分AB得到AD的长度，设圆半径为x，可表示出OD的长度，在Rt△OAD中利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径长度。
【解析】
(1) 作图：连接AC，作弦AC的垂直平分线，与AB的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA长为半径作圆，即为残片所在的圆，保留正确作图痕迹即可。
(2) 连接OA，设圆的半径OA为$x\ \mathrm{cm}$。
∵CD是AB的垂直平分线，$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，且$CD⊥ AB$。
又
∵$CD=8\ \mathrm{cm}$，$OC=OA=x\ \mathrm{cm}$，
∴$OD=OC-CD=(x-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入数值可得：$x^2=12^2+(x-8)^2$，
展开计算：$x^2=144+x^2-16x+64$，
化简得：$16x=208$，
解得：$x=13$。
【答案】
(1) 连结AC,作弦AC的垂直平分线,与弦AB的垂直平分线交于点O,以O为圆心、OA长为半径作圆,圆O就是此残片所在的圆,如图。
(2) 所作圆的半径为13 cm。
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用题型，既考查了确定圆心的作图方法，又结合了方程思想求解几何线段长度，需要熟练掌握垂直平分线性质、垂径定理与勾股定理的综合运用。
【难度系数】
0.7

16. (13分)如图，AB，AC是$\odot O$的两条弦，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
(1)求证：AO平分$∠ BAC$。
(2)若$AB=4\sqrt{5}$，$BC=8$，求半径OA的长。

16. 证明:(1)连结OB,OC,如图1。
因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,
所以$AB=AC$。
在$△ AOB$与$△ AOC$中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ OB=OC, \\ OA=OA, \end{cases}$
所以$△ AOB≌△ AOC(\mathrm{SSS})$,
所以$∠ 1=∠ 2$,
所以AO平分$∠ BAC$。
(2)延长AO交BC于点E,连结OB,如图2。
因为$AB=AC$,AO平分$∠ BAC$,
所以$AE⊥ BC$,所以$AE=\sqrt{(4\sqrt{5})^2 -4^2}=8$。
设$OA=x$,在$\mathrm{Rt}△ BOE$中,由勾股定理得,
$x^2=4^2+(8-x)^2$,解得$x=5$,
所以半径OA的长为5。

【分析】
(1)要证AO平分∠BAC，需证∠BAO=∠CAO。已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中相等的弧对应相等的弦，可得AB=AC；OB、OC均为⊙O的半径，故OB=OC，结合公共边OA，可通过SSS证明△AOB≌△AOC，利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2)求半径OA的长，由(1)的结论和AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质，可知AO延长线垂直平分BC，先算出BE和AE的长度，再设OA为x，用x表示出OE的长度，在Rt△BOE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连结OB,OC，如图1。
因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，同圆中相等的弧所对的弦相等，所以$AB=AC$。
在$△ AOB$与$△ AOC$中:
$\begin{cases} AB=AC, \\ OB=OC（同圆半径相等）, \\ OA=OA（公共边）, \end{cases}$
所以$△ AOB≌△ AOC(\mathrm{SSS})$，因此$∠1=∠2$，即AO平分$∠BAC$。
(2) 延长AO交BC于点E，连结OB，如图2。
因为$AB=AC$，AO平分$∠BAC$，根据等腰三角形三线合一，得$AE⊥BC$，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{80-16}=8$。
设半径$OA=x$，则$OB=x$，$OE=AE-OA=8-x$。
在Rt△BOE中，由勾股定理得$OB^2=BE^2+OE^2$，代入得：
$x^2=4^2+(8-x)^2$
展开化简得：$16x=80$，解得$x=5$。
【答案】
(1)证明:连结OB,OC,如图1。
因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,
所以$AB=AC$。
在$△ AOB$与$△ AOC$中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ OB=OC, \\ OA=OA, \end{cases}$
所以$△ AOB≌△ AOC(\mathrm{SSS})$,
所以$∠ 1=∠ 2$,
所以AO平分$∠ BAC$。
(2)半径OA的长为5。
【知识点】
弧与弦的关系、全等三角形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是合理构造辅助线，将圆的问题转化为三角形问题求解。第一问通过连接半径构造全等三角形完成证明，第二问结合等腰三角形性质，用方程思想结合勾股定理求半径，能有效考查学生对基础知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.65