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1. 已知$\odot O$的半径为5，点P在$\odot O$外，则OP的长可能是 （
A.3
B.4
C.5
D.6
D
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆点与圆的位置关系对应的判定规则：已知圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若点在圆外，则d＞r；若点在圆上，则d=r；若点在圆内，则d＜r。本题已知圆的半径和点P的位置，我们先根据规则得出OP的取值范围，再比对选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d。
已知r=5，点P在⊙O外，根据点与圆的位置关系判定规则，可得d＞r，即OP＞5。
逐一分析选项：
A选项3＜5，不符合要求；
B选项4＜5，不符合要求；
C选项5=5，此时点P在圆上，不符合要求；
D选项6＞5，符合OP＞5的要求。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，掌握规则后即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆点与圆的位置关系对应的判定规则：已知圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若点在圆外，则d＞r；若点在圆上，则d=r；若点在圆内，则d＜r。本题已知圆的半径和点P的位置，我们先根据规则得出OP的取值范围，再比对选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d。
已知r=5，点P在⊙O外，根据点与圆的位置关系判定规则，可得d＞r，即OP＞5。
逐一分析选项：
A选项3＜5，不符合要求；
B选项4＜5，不符合要求；
C选项5=5，此时点P在圆上，不符合要求；
D选项6＞5，符合OP＞5的要求。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，掌握规则后即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$AD=CD=BC$，且$∠ AOB=120°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$90°$
B.$80°$
C.$70°$
D.$60°$
B
）A.$90°$
B.$80°$
C.$70°$
D.$60°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先回忆圆的基本性质：同圆中相等的弦所对的圆心角相等。首先根据已知的弦相等关系，得到对应的三个圆心角相等；再结合周角总度数为360°，减去已知的∠AOB的度数，即可得到三个相等圆心角的和，最后除以3就能求出∠BOC的度数。
【解析】
在⊙O中，
∵AD=CD=BC，
根据同圆内相等的弦所对的圆心角相等，可得∠AOD=∠COD=∠BOC。
∵圆心角总和为周角360°，即∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB=360°，且已知∠AOB=120°，
∴3∠BOC + 120° = 360°，
解得3∠BOC=240°，即∠BOC=80°。
【答案】
B
【知识点】
弦与圆心角的关系、周角的性质
【点评】
本题是圆的基本性质的基础应用题，核心考点是同圆中弦和对应圆心角的等量关系，只要熟练掌握相关性质，结合周角度数即可快速列式计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆圆的基本性质：同圆中相等的弦所对的圆心角相等。首先根据已知的弦相等关系，得到对应的三个圆心角相等；再结合周角总度数为360°，减去已知的∠AOB的度数，即可得到三个相等圆心角的和，最后除以3就能求出∠BOC的度数。
【解析】
在⊙O中，
∵AD=CD=BC，
根据同圆内相等的弦所对的圆心角相等，可得∠AOD=∠COD=∠BOC。
∵圆心角总和为周角360°，即∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB=360°，且已知∠AOB=120°，
∴3∠BOC + 120° = 360°，
解得3∠BOC=240°，即∠BOC=80°。
【答案】
B
【知识点】
弦与圆心角的关系、周角的性质
【点评】
本题是圆的基本性质的基础应用题，核心考点是同圆中弦和对应圆心角的等量关系，只要熟练掌握相关性质，结合周角度数即可快速列式计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$\odot O$中，若C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOC=45°$，则$∠ AOB=$（
A.$45°$
B.$80°$
C.$85°$
D.$90°$
D
）A.$45°$
B.$80°$
C.$85°$
D.$90°$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件“C是$\overset{\frown}{AB}$的中点”，回忆弧中点的性质：弧的中点会把弧分成相等的两段；再根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠BOC$与$∠AOC$相等，最后将两个角相加即可求出$∠AOB$的度数。
【解析】
解：
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∵在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，
∴$∠BOC=∠AOC=45°$，
∴$∠AOB=∠AOC+∠BOC=45°+45°=90°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
弧中点的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆中弧与圆心角的对应关系，只要熟练掌握同圆中等弧对等圆心角的性质，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合已知条件“C是$\overset{\frown}{AB}$的中点”，回忆弧中点的性质：弧的中点会把弧分成相等的两段；再根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠BOC$与$∠AOC$相等，最后将两个角相加即可求出$∠AOB$的度数。
【解析】
解：
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∵在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，
∴$∠BOC=∠AOC=45°$，
∴$∠AOB=∠AOC+∠BOC=45°+45°=90°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
弧中点的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆中弧与圆心角的对应关系，只要熟练掌握同圆中等弧对等圆心角的性质，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 如图,两个同心圆的圆心为点O,A,B是大圆上的两点,OA交小圆于点A',OB交小圆于点B',那么 (
A.$\overset{\frown}{AB}$的长度等于$\overset{\frown}{A'B'}$的长度
B.$\overset{\frown}{AB}$的长度小于$\overset{\frown}{A'B'}$的长度
C.$\overset{\frown}{AB}$的度数等于$\overset{\frown}{A'B'}$的度数
D.$\overset{\frown}{AB}$的度数大于$\overset{\frown}{A'B'}$的度数
C
)A.$\overset{\frown}{AB}$的长度等于$\overset{\frown}{A'B'}$的长度
B.$\overset{\frown}{AB}$的长度小于$\overset{\frown}{A'B'}$的长度
C.$\overset{\frown}{AB}$的度数等于$\overset{\frown}{A'B'}$的度数
D.$\overset{\frown}{AB}$的度数大于$\overset{\frown}{A'B'}$的度数
答案
4. C
解析
【分析】
首先我们要明确两个核心概念：弧的度数、弧长的决定因素。①弧的度数等于它所对的圆心角的度数，只和圆心角大小有关；②弧长的计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，由圆心角度数$n$和所在圆的半径$r$共同决定。观察图形可知，$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{A'B'}$所对的是同一个圆心角$∠ AOB$，但$\overset{\frown}{AB}$在大圆上，半径更大，我们分别从弧的度数、弧长两个角度判断选项即可。
【解析】
1. 分析弧的度数：根据弧的度数的定义，弧的度数等于它所对圆心角的度数。$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角是$∠ AOB$，$\overset{\frown}{A'B'}$所对的圆心角也是$∠ AOB$，因此$\overset{\frown}{AB}$的度数等于$\overset{\frown}{A'B'}$的度数，故C选项正确，D选项错误。
2. 分析弧长：根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，两段弧的圆心角度数$n$相同，但大圆半径$OA$大于小圆半径$OA'$，因此$\overset{\frown}{AB}$的长度大于$\overset{\frown}{A'B'}$的长度，故A、B选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
弧的度数定义；弧长计算
【点评】
本题易混淆弧的度数和弧长两个概念，解题的关键是明确二者的决定因素：弧的度数仅由圆心角大小决定，弧长同时受圆心角和所在圆半径的影响，掌握这一点就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
首先我们要明确两个核心概念：弧的度数、弧长的决定因素。①弧的度数等于它所对的圆心角的度数，只和圆心角大小有关；②弧长的计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，由圆心角度数$n$和所在圆的半径$r$共同决定。观察图形可知，$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{A'B'}$所对的是同一个圆心角$∠ AOB$，但$\overset{\frown}{AB}$在大圆上，半径更大，我们分别从弧的度数、弧长两个角度判断选项即可。
【解析】
1. 分析弧的度数：根据弧的度数的定义，弧的度数等于它所对圆心角的度数。$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角是$∠ AOB$，$\overset{\frown}{A'B'}$所对的圆心角也是$∠ AOB$，因此$\overset{\frown}{AB}$的度数等于$\overset{\frown}{A'B'}$的度数，故C选项正确，D选项错误。
2. 分析弧长：根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，两段弧的圆心角度数$n$相同，但大圆半径$OA$大于小圆半径$OA'$，因此$\overset{\frown}{AB}$的长度大于$\overset{\frown}{A'B'}$的长度，故A、B选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
弧的度数定义；弧长计算
【点评】
本题易混淆弧的度数和弧长两个概念，解题的关键是明确二者的决定因素：弧的度数仅由圆心角大小决定，弧长同时受圆心角和所在圆半径的影响，掌握这一点就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
5. 图1是一个木马玩具，图2是该木马玩具底座水平放置的示意图，点O是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心，点A，B离地高度均为15 cm，水平距离AB=90 cm，则OA的长为（
A.60 cm
B.65 cm
C.70 cm
D.75 cm
D
） A.60 cm
B.65 cm
C.70 cm
D.75 cm
答案
5. D
解析
【分析】
这道题是垂径定理的实际应用类题目，解题思路可按以下步骤梳理：1. 过圆心O作弦AB的垂线，根据垂径定理，垂足是AB的中点，可先算出半弦的长度；2. 设半径OA的长为r cm，结合A、B离地高度均为15 cm，可推出圆心O到弦AB的距离为(r-15)cm；3. 在构造出的直角三角形中用勾股定理列方程，求解即可得到OA的长度。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×90=45\ \mathrm{cm}$
设$OA=r\ \mathrm{cm}$，因为A、B离地高度均为15 cm，且AB为水平线段，所以圆心O到弦AB的距离$OC=(r-15)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$
代入数据得：$r^2=(r-15)^2+45^2$
展开得：$r^2=r^2-30r+225+2025$
移项化简得：$30r=2250$
解得$r=75$，即OA的长为75 cm。
【答案】D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质结合实际场景的基础应用题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理列方程求解，很好地考查了方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
这道题是垂径定理的实际应用类题目，解题思路可按以下步骤梳理：1. 过圆心O作弦AB的垂线，根据垂径定理，垂足是AB的中点，可先算出半弦的长度；2. 设半径OA的长为r cm，结合A、B离地高度均为15 cm，可推出圆心O到弦AB的距离为(r-15)cm；3. 在构造出的直角三角形中用勾股定理列方程，求解即可得到OA的长度。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×90=45\ \mathrm{cm}$
设$OA=r\ \mathrm{cm}$，因为A、B离地高度均为15 cm，且AB为水平线段，所以圆心O到弦AB的距离$OC=(r-15)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$
代入数据得：$r^2=(r-15)^2+45^2$
展开得：$r^2=r^2-30r+225+2025$
移项化简得：$30r=2250$
解得$r=75$，即OA的长为75 cm。
【答案】D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质结合实际场景的基础应用题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理列方程求解，很好地考查了方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$\odot O$的半径$OD ⊥$弦$AB$于点$C$，连结$AO$并延长交$\odot O$于点$E$，连结$EB$。若$AB=4$，$CD=1$，则$EB$的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
6. B
解析
【分析】
首先利用垂径定理，由OD⊥弦AB可得到AB被点C平分，求出AC、BC的长度。接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出OC的长度，在Rt△OAC中根据勾股定理列方程求解得到半径r，进而求出OC的长度。最后结合AE是直径可知O是AE中点，结合C是AB中点，判定OC是△ABE的中位线，根据中位线性质即可求出EB的长度。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OD是$\odot O$的半径，AB是$\odot O$的弦
∴由垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OC=OD-CD=r-1$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2$
代入得：$r^2=(r-1)^2+2^2$
展开化简：$r^2=r^2-2r+1+4$，解得$r=2.5$
∴$OC=r-1=2.5-1=1.5$
∵AE是$\odot O$的直径，
∴O是AE的中点，又
∵C是AB的中点
∴OC是$△ ABE$的中位线
∴$EB=2OC=2×1.5=3$
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆章节的典型基础题型，将圆的性质和三角形知识点结合考查，解题的关键是灵活运用垂径定理得到相等线段，再通过勾股定理求出半径，最后借助中位线性质得到所求边长。
【难度系数】
0.7
首先利用垂径定理，由OD⊥弦AB可得到AB被点C平分，求出AC、BC的长度。接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出OC的长度，在Rt△OAC中根据勾股定理列方程求解得到半径r，进而求出OC的长度。最后结合AE是直径可知O是AE中点，结合C是AB中点，判定OC是△ABE的中位线，根据中位线性质即可求出EB的长度。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OD是$\odot O$的半径，AB是$\odot O$的弦
∴由垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OC=OD-CD=r-1$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2$
代入得：$r^2=(r-1)^2+2^2$
展开化简：$r^2=r^2-2r+1+4$，解得$r=2.5$
∴$OC=r-1=2.5-1=1.5$
∵AE是$\odot O$的直径，
∴O是AE的中点，又
∵C是AB的中点
∴OC是$△ ABE$的中位线
∴$EB=2OC=2×1.5=3$
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆章节的典型基础题型，将圆的性质和三角形知识点结合考查，解题的关键是灵活运用垂径定理得到相等线段，再通过勾股定理求出半径，最后借助中位线性质得到所求边长。
【难度系数】
0.7
7. 如图，已知$\odot O$的半径为4，M是$\odot O$内一点，且$OM=2$，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
C
）A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
7. C
解析
【分析】
解决本题首先要明确过圆内一点的弦的长度变化规律：过圆内一点的最长弦是经过该点的直径，最短弦是经过该点且与过该点的直径垂直的弦。先计算出最长和最短弦的长度，确定弦长的取值范围，再从中找出整数长度的弦，结合圆的对称性统计对应弦的数量即可。
【解析】
1. 求最长弦长：过点M的最长弦为⊙O的直径，已知⊙O半径为4，因此直径长为$2×4=8$，这样的弦仅有1条。
2. 求最短弦长：过点M作弦$AB⊥ OM$，连接OA，根据垂径定理可得$AB=2AM$。
在$Rt△ OMA$中，$OA=4$，$OM=2$，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
因此最短弦长$AB=2AM=4\sqrt{3}\approx6.93$。
3. 统计整数弦数量：过点M的弦长$l$的取值范围是$4\sqrt{3}＜l≤8$，其中整数取值为7、8。
弦长为8的弦：仅有直径1条；
弦长为7的弦：根据圆的对称性，在直线OM的两侧各有1条，共2条。
因此弦长为整数的弦总共有$1+2=3$条。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的对称性
【点评】
本题核心是确定圆内过定点的弦长范围，解题时要注意结合圆的对称性判断非极端长度的弦的数量，易错点是漏算长度为7的弦的数量，或者错误认为最短弦长为7。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确过圆内一点的弦的长度变化规律：过圆内一点的最长弦是经过该点的直径，最短弦是经过该点且与过该点的直径垂直的弦。先计算出最长和最短弦的长度，确定弦长的取值范围，再从中找出整数长度的弦，结合圆的对称性统计对应弦的数量即可。
【解析】
1. 求最长弦长：过点M的最长弦为⊙O的直径，已知⊙O半径为4，因此直径长为$2×4=8$，这样的弦仅有1条。
2. 求最短弦长：过点M作弦$AB⊥ OM$，连接OA，根据垂径定理可得$AB=2AM$。
在$Rt△ OMA$中，$OA=4$，$OM=2$，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
因此最短弦长$AB=2AM=4\sqrt{3}\approx6.93$。
3. 统计整数弦数量：过点M的弦长$l$的取值范围是$4\sqrt{3}＜l≤8$，其中整数取值为7、8。
弦长为8的弦：仅有直径1条；
弦长为7的弦：根据圆的对称性，在直线OM的两侧各有1条，共2条。
因此弦长为整数的弦总共有$1+2=3$条。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的对称性
【点评】
本题核心是确定圆内过定点的弦长范围，解题时要注意结合圆的对称性判断非极端长度的弦的数量，易错点是漏算长度为7的弦的数量，或者错误认为最短弦长为7。
【难度系数】
0.7
8. 如图，已知点A,C,D在$\odot O$上，点B在$\odot O$内，$∠ B$和$∠ C$均为直角，$AB=2$，$BC=6$，$CD=4$，则$\odot O$的半径为（
A.$5$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{21}$
C
）A.$5$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{21}$
答案
8. C
解析
【分析】本题出现多个直角，适合采用平面直角坐标系法求解。首先建立合适的坐标系，写出圆上三个点A、C、D的坐标，设圆心O的坐标为(x,y)，根据圆心到圆上各点距离相等（都等于半径）列方程，求解得到圆心坐标后即可计算半径长度。
【解析】
解：以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
根据已知条件可得各点坐标：
A(0, 2)，C(6, 0)，D(6, -4)
设圆心O的坐标为(x, y)，$\odot O$半径为r，根据OA=OC=OD=r，可得：
$\{\begin{array}{l} x^2+(y-2)^2=r^2 \quad \mathrm{(1)} \\ (x-6)^2+y^2=r^2 \quad \mathrm{(2)} \\ (x-6)^2+(y+4)^2=r^2 \quad \mathrm{(3)} \end{array} $
用②-③得：$y^2-(y+4)^2=0$，展开化简得$-8y-16=0$，解得$y=-2$。
将$y=-2$代入①和②，联立得：
$x^2+(-2-2)^2=(x-6)^2+(-2)^2$
即$x^2+16=x^2-12x+36+4$，化简得$12x=24$，解得$x=2$。
所以圆心O坐标为(2, -2)，代入②得：
$r^2=(2-6)^2+(-2)^2=16+4=20$，所以$r=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】C
【知识点】圆的基本性质，坐标系的应用，勾股定理
【点评】本题通过建立坐标系将几何问题转化为代数方程求解，巧妙利用圆心到圆上点距离相等的性质列方程，是求解圆半径的常用方法，降低了几何辅助线的构造难度。
【难度系数】0.65
【解析】
解：以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
根据已知条件可得各点坐标：
A(0, 2)，C(6, 0)，D(6, -4)
设圆心O的坐标为(x, y)，$\odot O$半径为r，根据OA=OC=OD=r，可得：
$\{\begin{array}{l} x^2+(y-2)^2=r^2 \quad \mathrm{(1)} \\ (x-6)^2+y^2=r^2 \quad \mathrm{(2)} \\ (x-6)^2+(y+4)^2=r^2 \quad \mathrm{(3)} \end{array} $
用②-③得：$y^2-(y+4)^2=0$，展开化简得$-8y-16=0$，解得$y=-2$。
将$y=-2$代入①和②，联立得：
$x^2+(-2-2)^2=(x-6)^2+(-2)^2$
即$x^2+16=x^2-12x+36+4$，化简得$12x=24$，解得$x=2$。
所以圆心O坐标为(2, -2)，代入②得：
$r^2=(2-6)^2+(-2)^2=16+4=20$，所以$r=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】C
【知识点】圆的基本性质，坐标系的应用，勾股定理
【点评】本题通过建立坐标系将几何问题转化为代数方程求解，巧妙利用圆心到圆上点距离相等的性质列方程，是求解圆半径的常用方法，降低了几何辅助线的构造难度。
【难度系数】0.65
二、填空题(每小题5分,共25分)
9. 已知$\odot O$的半径是3 cm,则$\odot O$中最长的弦长是
9. 已知$\odot O$的半径是3 cm,则$\odot O$中最长的弦长是
6 cm
。答案
9. 6 cm
解析
【分析】
解题时先回忆弦的相关概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦，其中过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦，因此求圆内最长弦的长度，本质就是求该圆的直径长度，再根据直径是半径的2倍代入计算即可。
【解析】
根据圆的性质可得：圆中最长的弦为直径。
已知$\odot O$的半径为3cm，直径长度=2×半径，
因此最长弦长为$2×3=6$（cm）。
【答案】
6 cm
【知识点】
弦的概念；直径的性质；直径与半径的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，只要掌握“直径是圆内最长的弦”这一核心性质，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆弦的相关概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦，其中过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦，因此求圆内最长弦的长度，本质就是求该圆的直径长度，再根据直径是半径的2倍代入计算即可。
【解析】
根据圆的性质可得：圆中最长的弦为直径。
已知$\odot O$的半径为3cm，直径长度=2×半径，
因此最长弦长为$2×3=6$（cm）。
【答案】
6 cm
【知识点】
弦的概念；直径的性质；直径与半径的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，只要掌握“直径是圆内最长的弦”这一核心性质，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
10. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为
$90°$
。答案
10. $90°$
解析
【分析】
解题时首先明确：整个圆的周角为360°，弦将圆分成的两部分对应两条弧，同圆中弧的度数和它所对的圆心角度数相等，因此两段弧对应的圆心角之比也为1:3；劣弧是较短的弧，对应比例中更小的1份，因此用总圆心角度数乘劣弧占比即可求得结果。
【解析】
解：
∵ 整个圆周对应的圆心角为360°，
弦把圆分成度数比为1:3的两段弧，且弧的度数等于其所对圆心角的度数，
∴ 劣弧所对的圆心角占总圆心角的$\frac{1}{1+3}$，
则劣弧所对的圆心角为：$360° × \frac{1}{1+3} = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
弧与圆心角的关系、按比例分配计算
【点评】
本题属于基础题，考查圆的基本性质相关内容，解题关键是掌握弧的度数与对应圆心角度数相等的性质，结合比例计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：整个圆的周角为360°，弦将圆分成的两部分对应两条弧，同圆中弧的度数和它所对的圆心角度数相等，因此两段弧对应的圆心角之比也为1:3；劣弧是较短的弧，对应比例中更小的1份，因此用总圆心角度数乘劣弧占比即可求得结果。
【解析】
解：
∵ 整个圆周对应的圆心角为360°，
弦把圆分成度数比为1:3的两段弧，且弧的度数等于其所对圆心角的度数，
∴ 劣弧所对的圆心角占总圆心角的$\frac{1}{1+3}$，
则劣弧所对的圆心角为：$360° × \frac{1}{1+3} = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
弧与圆心角的关系、按比例分配计算
【点评】
本题属于基础题，考查圆的基本性质相关内容，解题关键是掌握弧的度数与对应圆心角度数相等的性质，结合比例计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
11. 如图，AB是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$于点E，连结AD。若$OE=1$，$CD=4$，则BE的长为
$\sqrt{5}-1$
。答案
11. $\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，直径AB垂直弦CD，首先想到运用垂径定理得到CD的一半长度；接着连接半径OD构造直角三角形，设圆的半径为r，在直角三角形中利用勾股定理列方程求出半径长度，最后用半径减去OE的长度即可得到BE的长。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，$CD=4$，
根据垂径定理可得：$DE=\frac{1}{2}CD=2$。
连接OD，设$\odot O$的半径为r，则$OD=OB=r$。
在$Rt△ OED$中，$OE=1$，$DE=2$，由勾股定理得：
$OE^2 + DE^2 = OD^2$
代入得$1^2 + 2^2 = r^2$，
解得$r=\sqrt{5}$（半径为正数，舍去负根）。
∴$BE=OB - OE = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的典型基础题，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理，用方程思想求出半径后即可计算所求线段长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件，直径AB垂直弦CD，首先想到运用垂径定理得到CD的一半长度；接着连接半径OD构造直角三角形，设圆的半径为r，在直角三角形中利用勾股定理列方程求出半径长度，最后用半径减去OE的长度即可得到BE的长。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，$CD=4$，
根据垂径定理可得：$DE=\frac{1}{2}CD=2$。
连接OD，设$\odot O$的半径为r，则$OD=OB=r$。
在$Rt△ OED$中，$OE=1$，$DE=2$，由勾股定理得：
$OE^2 + DE^2 = OD^2$
代入得$1^2 + 2^2 = r^2$，
解得$r=\sqrt{5}$（半径为正数，舍去负根）。
∴$BE=OB - OE = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的典型基础题，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理，用方程思想求出半径后即可计算所求线段长度。
【难度系数】
0.7
