1. 如图，$\odot O$的弦$AB$垂直平分半径$OC$，垂足为点$D$，若$CD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$AB$的长为（）

A.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.$\sqrt{6}$

1. D

【分析】
解题时先从已知条件“AB垂直平分半径OC”入手，首先利用垂直平分线的性质求出半径长度和圆心O到弦AB的距离OD的长度；再结合垂径定理得到AB=2AD，最后在直角三角形ODA中用勾股定理求出AD的长度，进而得到AB的长。
【解析】
∵AB垂直平分半径OC，$CD=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$OD=CD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\odot O$的半径$OC=OA=2CD=\sqrt{2}$
又
∵$AB⊥ OC$，根据垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB$
在$Rt△ ODA$中，由勾股定理得：
$AD^2+OD^2=OA^2$
代入数值得：$AD^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=(\sqrt{2})^2$
化简得：$AD^2+\frac{1}{2}=2$，解得$AD^2=\frac{3}{2}$，即$AD=\frac{\sqrt{6}}{2}$
∴$AB=2AD=2×\frac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题型，解题的核心是将垂直平分半径的条件转化为圆心到弦的距离和圆的半径，再结合勾股定理计算弦长，属于圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7

2. 如图，P是$\odot O$内一点。若圆的半径为5，$OP=3$，则经过点P的弦的长度不可能为（）

A.7
B.8
C.9
D.10

2. A

【分析】
要判断经过点P的弦的长度不可能是哪个值，首先需要明确过圆内一点的弦的长度取值范围：过该点的直径是最长的弦，过该点且与该点和圆心连线垂直的弦是最短的弦，算出这两个极值后得到弦长的范围，再对比选项即可得出答案。
【解析】
1. 求过点P的最长弦长：圆的最长弦为直径，已知圆半径为5，因此直径长度为$2×5=10$，即过P的弦最长为10。
2. 求过点P的最短弦长：过点P作弦$AB⊥ OP$，连接$OA$。
根据垂径定理，$AB$被$OP$平分，即$AB=2PA$。
在$Rt△ OPA$中，$OA=5$（半径），$OP=3$，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{OA^2 - OP^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$
因此最短弦长$AB=2×4=8$。
3. 综上，经过点P的弦的长度取值范围是$8≤ 弦长≤ 10$，选项中只有7不在该范围内，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题核心是判断圆内过定点的弦长最值，结合垂径定理和勾股定理即可快速求出弦长的取值范围，是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$\odot O$的半径$OA=6$，以$A$为圆心，$OA$为半径的弧交$\odot O$于$B$，$C$两点，则$BC$的长为（）

A.$3\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$

3. D

【分析】
解题时先观察图形特征，首先连接AB、OB，由题意可知AB=OA，且OA、OB都是⊙O的半径，因此可推出△OAB是等边三角形；其次BC是两圆的公共弦，根据圆的对称性或垂径定理可知OA垂直平分BC，因此求BC的长度可转化为先求BC的一半，再乘以2即可，后续借助直角三角形的三角函数或勾股定理计算即可。
【解析】
解：连接AB、OB，设OA与BC交于点D。
∵以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C两点，
∴AB=OA=6，
又
∵OA、OB均为⊙O的半径，
∴OB=OA=6，
∴AB=OA=OB=6，即△OAB是等边三角形，
∴∠BOA=60°。
根据垂径定理可得：OA⊥BC，且BC=2BD。
在Rt△BOD中，OB=6，∠BOD=60°，
∴BD=OB·sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$3\sqrt{3}$，
∴BC=2BD=2×$3\sqrt{3}$=$6\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质应用的典型题型，解题核心是合理添加辅助线构造特殊三角形，结合垂径定理求解，能有效考查学生对圆、特殊三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在一个残缺的圆形工件上量得弦$BC=8\ \mathrm{cm}$，$\overset{\frown}{BC}$的中点$D$到弦$BC$的距离$DE=2\ \mathrm{cm}$，则这个圆形工件的半径是。

4. 5 cm

【分析】
遇到残缺圆求半径的问题，可结合垂径定理及其推论分析：首先，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，根据垂径定理的推论，DE所在直线必过圆心，且垂直平分弦BC。我们可以设圆的半径为$r$，构造出以半径、弦长的一半、圆心到弦的距离为三边的直角三角形，再借助勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设该圆形工件的圆心为$O$，半径为$r\ \mathrm{cm}$。
∵$D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$OD⊥ BC$，且$O$、$E$、$D$三点共线，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
∵$DE=2\ \mathrm{cm}$，
∴$OE=OD-DE=(r-2)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，由勾股定理得：$OB^2=OE^2+BE^2$，
代入数据得：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$，
移项化简得：$4r=20$，解得$r=5$。
【答案】
5 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理实际应用的典型题型，核心是将残缺圆的几何问题转化为直角三角形的计算问题，通过列方程求解半径，是圆中线段计算的常见考法，需要熟练掌握垂径定理与勾股定理的组合应用方法。
【难度系数】
0.7

5. 如图，在$\odot O$中，点C在弦AB上，连结OB，OC。若$OB=5$，$AC=1$，$BC=5$，则线段OC的长为。

5. $2\sqrt{5}$

【分析】
要求线段OC的长，我们可以通过作辅助线构造直角三角形求解：首先过圆心O作AB的垂线，利用垂径定理得到弦AB被垂足平分，先算出AB总长度，进而得到垂足到B、到C的距离；再先后在两个直角三角形中运用勾股定理，依次求出垂线的长度和OC的长度。
【解析】
过点O作$OD⊥ AB$于点D，
根据垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
已知$AC=1$，$BC=5$，则$AB=AC+BC=1+5=6$，
因此$AD=BD=3$，$CD=AD-AC=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$OB=5$，$BD=3$，由勾股定理得：
$OD^2=OB^2-BD^2=5^2-3^2=25-9=16$，即$OD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$OC^2=OD^2+CD^2=4^2+2^2=16+4=20$，
因此$OC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题，作弦的垂线是圆中解决弦相关问题的常用辅助线，结合勾股定理即可快速求出未知线段的长度，解题的关键是正确作出辅助线找到各线段的数量关系。
【难度系数】
0.7

6. 如图，M，N分别是$\odot O$的弦AB，CD的中点，AB＝CD。求证：$∠ AMN＝∠ CNM$。

6. 证明:如图,连结OM,ON,OB,OD。
因为点O为圆心,M,N分别为弦AB,CD的中点,
所以OM⊥AB,ON⊥CD。
因为AB=CD,所以BM=ND。
又因为OB=OD,所以OM=ON,所以∠OMN=∠ONM。
因为∠AMN = 90° - ∠OMN, ∠CNM = 90° - ∠ONM,
所以∠AMN=∠CNM。

【分析】
要证明∠AMN=∠CNM，可结合圆的性质逐步推导角的关系：
1. 首先看到M、N是弦AB、CD的中点，根据垂径定理的推论，圆心与弦中点的连线垂直于对应弦，因此优先连接OM、ON以及半径OB、OD，构造垂直关系和直角三角形；
2. 由AB=CD可得弦长的一半相等，结合同圆半径相等的性质，可证明两个直角三角形全等，得到OM=ON，进而推出∠OMN=∠ONM；
3. 最后结合垂直得到的90°角，通过角的和差运算即可推导出待证的两个角相等。
【解析】
证明：如图，连结OM，ON，OB，OD。
∵ 点O为圆心，M，N分别为弦AB，CD的中点，
∴ 根据垂径定理的推论，得OM⊥AB，ON⊥CD，即∠AMO=∠CNO=90°。
∵ AB=CD，M、N分别为AB、CD中点，
∴ $BM=\frac{1}{2}AB$，$ND=\frac{1}{2}CD$，即BM=ND。
又
∵ OB=OD（同圆的半径相等），
∴ Rt△OMB≌Rt△OND（HL），
∴ OM=ON，
∴ △OMN为等腰三角形，∠OMN=∠ONM。
∵ ∠AMN = 90° - ∠OMN，∠CNM = 90° - ∠ONM，
∴ ∠AMN=∠CNM。
【答案】
证明:如图,连结OM,ON,OB,OD。
因为点O为圆心,M,N分别为弦AB,CD的中点,
所以OM⊥AB,ON⊥CD。
因为AB=CD,所以BM=ND。
又因为OB=OD,所以OM=ON,所以∠OMN=∠ONM。
因为∠AMN = 90° - ∠OMN, ∠CNM = 90° - ∠ONM,
所以∠AMN=∠CNM。
【知识点】
垂径定理及其推论；全等三角形判定与性质；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆中角度证明的基础题型，解题的核心是熟练掌握弦中点与圆心连线的垂直性质，通过构造合适的辅助线得到等角关系，进而推导结论，这类辅助线的构造方法是圆类习题的常用技巧，需要重点掌握。
【难度系数】
0.7

7. 如图，D是$\odot O$的弦BC的中点，A是$\odot O$上的一点，OA与BC相交于点E，已知$AO=8$，$BC=12$。
(1)求线段OD的长。
(2)当$EO=\sqrt{2}BE$时，求DE的长。

7. 解:(1)如图,连结OB。
因为OD过圆心,且D是弦BC的中点,
所以OD⊥BC,$BD=\frac{1}{2}BC$。
在Rt△BOD中,$OD^2+BD^2=BO^2$。
因为BO=AO=8,BD=6,所以$OD=2\sqrt{7}$。
(2)设BE=x,则$OE=\sqrt{2}x$,$DE=6-x$。
在Rt△EOD中,$OD^2+ED^2=EO^2$,
即$(2\sqrt{7})^2+(6-x)^2=(\sqrt{2}x)^2$,
解得$x_1=-16(舍),x_2=4$。
则DE=2。

【分析】
(1) 求OD的长可借助垂径定理构造直角三角形求解：连接OB，根据垂径定理，圆心与弦中点的连线垂直于弦，可得OD⊥BC，BD为BC的一半；OB是圆的半径与AO相等，在Rt△BOD中利用勾股定理即可计算OD的长度。
(2) 求DE的长可采用方程思想：设BE为x，根据已知条件用含x的式子表示OE、DE，再在Rt△EOD中利用勾股定理列方程，求解后舍去不符合实际的负根，即可得到BE的长度，进而算出DE的长度。
【解析】
(1) 连接OB。
∵OD过圆心O，D是弦BC的中点，
∴由垂径定理得：OD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC$。
∵圆的半径相等，
∴$BO=AO=8$，
又$BC=12$，
∴$BD=\frac{1}{2}×12=6$。
在$Rt△ BOD$中，由勾股定理$OD^2+BD^2=BO^2$，
代入得$OD^2+6^2=8^2$，解得$OD=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
(2) 设$BE=x$，由题意得$OE=\sqrt{2}x$，
∵$BD=6$，
∴$DE=BD-BE=6-x$。
在$Rt△ EOD$中，由勾股定理得$OD^2+DE^2=OE^2$，
将$OD=2\sqrt{7}$、$DE=6-x$、$OE=\sqrt{2}x$代入得：
$(2\sqrt{7})^2+(6-x)^2=(\sqrt{2}x)^2$，
化简整理得$x^2+12x-64=0$，
解得$x_1=-16$（线段长度为正，舍去），$x_2=4$，
∴$DE=6-4=2$。
【答案】
7. 解:(1)如图,连结OB。
因为OD过圆心,且D是弦BC的中点,
所以OD⊥BC,$BD=\frac{1}{2}BC$。
在Rt△BOD中,$OD^2+BD^2=BO^2$。
因为BO=AO=8,BD=6,所以$OD=2\sqrt{7}$。
(2)设BE=x,则$OE=\sqrt{2}x$,$DE=6-x$。
在Rt△EOD中,$OD^2+ED^2=EO^2$,
即$(2\sqrt{7})^2+(6-x)^2=(\sqrt{2}x)^2$,
解得$x_1=-16(舍),x_2=4$。
则DE=2。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程法解几何题
【点评】
本题是圆中线段计算的常见题型，第一问侧重基础，考查垂径定理和勾股定理的直接应用；第二问将几何性质与代数方程结合，考查学生转化思想的运用，解题时要注意解出的根要符合实际意义，舍去不合理的负根。
【难度系数】
0.7