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例1 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。求证：弦$AB// CD$。
答案
证明:如图,过点O作OE⊥AB,交⊙O于点E,所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}$。
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{ED}$,
所以OE⊥CD,所以AB//CD。
解析
【分析】
要证明$AB// CD$，可通过证明两条弦垂直于同一条直线推导平行。结合已知弧相等的条件，联想到垂径定理相关性质：垂直于弦的直径平分弦所对的弧，反之平分弧（非直径对应的弧）的直径垂直于弧所对的弦。因此我们过圆心作AB的垂线，结合弧的等量关系推导该垂线也垂直于CD，即可得证。
【解析】
证明：过点$O$作$OE⊥ AB$，交$\odot O$于点$E$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，因此$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}$。
已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，因此$\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{EB}-\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{ED}$。
根据垂径定理的推论：平分弧的直径垂直于该弧所对的弦，可得$OE⊥ CD$。
因为$AB$、$CD$都垂直于$OE$，因此$AB// CD$。
【答案】
证明:如图,过点O作OE⊥AB,交⊙O于点E,所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}$。
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{ED}$,
所以OE⊥CD,所以AB//CD。
【知识点】
垂径定理及其推论、平行线的判定、弧的等量运算
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，解题核心是通过作垂直于弦的辅助线，结合弧的等量关系完成垂直推导，进而证明两弦平行，有助于巩固垂径定理相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
要证明$AB// CD$，可通过证明两条弦垂直于同一条直线推导平行。结合已知弧相等的条件，联想到垂径定理相关性质：垂直于弦的直径平分弦所对的弧，反之平分弧（非直径对应的弧）的直径垂直于弧所对的弦。因此我们过圆心作AB的垂线，结合弧的等量关系推导该垂线也垂直于CD，即可得证。
【解析】
证明：过点$O$作$OE⊥ AB$，交$\odot O$于点$E$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，因此$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}$。
已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，因此$\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{EB}-\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{ED}$。
根据垂径定理的推论：平分弧的直径垂直于该弧所对的弦，可得$OE⊥ CD$。
因为$AB$、$CD$都垂直于$OE$，因此$AB// CD$。
【答案】
证明:如图,过点O作OE⊥AB,交⊙O于点E,所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}$。
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,所以$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{ED}$,
所以OE⊥CD,所以AB//CD。
【知识点】
垂径定理及其推论、平行线的判定、弧的等量运算
【点评】
本题是垂径定理应用的基础题型，解题核心是通过作垂直于弦的辅助线，结合弧的等量关系完成垂直推导，进而证明两弦平行，有助于巩固垂径定理相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
变式 如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$AB=CD$，$OE⊥ CD$，$OF⊥ AB$，垂足分别为点E，F。比较CE和AF的大小，并证明你的结论。
答案
解:$CE=AF$。证明如下:
因为OE⊥CD,所以$CE=\frac{1}{2}CD$。
因为OF⊥AB,所以$AF=\frac{1}{2}AB$。
因为AB=CD,所以CE=AF。
因为OE⊥CD,所以$CE=\frac{1}{2}CD$。
因为OF⊥AB,所以$AF=\frac{1}{2}AB$。
因为AB=CD,所以CE=AF。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：存在圆心O到两条弦的垂线，优先联想到垂径定理的内容，即垂直于弦的直径平分弦，因此可以分别得到CE与CD的数量关系、AF与AB的数量关系；再结合题目给出的AB=CD的已知条件，根据相等的量的一半也相等，即可推导出CE和AF的大小关系。
【解析】
$CE=AF$，证明如下：
因为$OE⊥ CD$，且OE过圆心O，根据垂径定理可得$CE=\frac{1}{2}CD$。
因为$OF⊥ AB$，且OF过圆心O，根据垂径定理可得$AF=\frac{1}{2}AB$。
又因为已知$AB=CD$，所以$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，即$CE=AF$。
【答案】
$CE=AF$
【知识点】
1.垂径定理 2.等式的性质
【点评】
本题属于垂径定理的基础应用题目，解题核心是利用垂径定理将待比较的线段转化为对应弦的一半，结合已知的弦相等的条件即可快速求证，注重对基础定理的理解和运用考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察已知条件：存在圆心O到两条弦的垂线，优先联想到垂径定理的内容，即垂直于弦的直径平分弦，因此可以分别得到CE与CD的数量关系、AF与AB的数量关系；再结合题目给出的AB=CD的已知条件，根据相等的量的一半也相等，即可推导出CE和AF的大小关系。
【解析】
$CE=AF$，证明如下：
因为$OE⊥ CD$，且OE过圆心O，根据垂径定理可得$CE=\frac{1}{2}CD$。
因为$OF⊥ AB$，且OF过圆心O，根据垂径定理可得$AF=\frac{1}{2}AB$。
又因为已知$AB=CD$，所以$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，即$CE=AF$。
【答案】
$CE=AF$
【知识点】
1.垂径定理 2.等式的性质
【点评】
本题属于垂径定理的基础应用题目，解题核心是利用垂径定理将待比较的线段转化为对应弦的一半，结合已知的弦相等的条件即可快速求证，注重对基础定理的理解和运用考查。
【难度系数】
0.9
例2 如图，$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，AB是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为点E，$OE:OC=3:5$。
(1)求线段CE的长。
(2)求弦AB的长。
(1)求线段CE的长。
(2)求弦AB的长。
答案
解:(1)由条件可知半径OC=5 cm,
因为OE:OC=3:5,所以OE=3 cm,
所以CE=2 cm。
(2)连结OA,如图。
由条件可知 AB = 2AE,
∠AEO=90°,
因为OA=5 cm,OE=3 cm,
所以AE=4 cm,所以AB=8 cm。
解析
【分析】
本题考查垂径定理的相关应用，解题思路如下：
（1）求CE的长：首先根据直径长度先求出圆的半径OC的长度，再结合OE和OC的比例关系求出OE的长度，最后利用CE=OC-OE即可算出结果。
（2）求AB的长：已知AB⊥CD，根据垂径定理可知AB=2AE，因此只需要求出AE的长度即可。连接OA构造直角三角形AEO，OA是圆的半径为已知量，OE第一问已求出，利用勾股定理计算AE的长度，再乘2就能得到AB的长度。
【解析】
解：(1) 已知$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，因此半径$OC=\frac{1}{2}CD=5\ \mathrm{cm}$。
因为$OE:OC=3:5$，代入$OC=5\ \mathrm{cm}$，可得$OE=5×\frac{3}{5}=3\ \mathrm{cm}$。
所以$CE=OC-OE=5-3=2\ \mathrm{cm}$。
(2) 连结$OA$，如图。
因为$AB⊥ CD$，根据垂径定理可得$AB=2AE$，且$∠ AEO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEO$中，$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，$OE=3\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$。
因此$AB=2AE=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
解:(1)由条件可知半径OC=5 cm,
因为OE:OC=3:5,所以OE=3 cm,
所以CE=2 cm。
(2)连结OA,如图。
由条件可知 AB = 2AE,
∠AEO=90°,
因为OA=5 cm,OE=3 cm,
所以AE=4 cm,所以AB=8 cm。
【知识点】
1.垂径定理
2.勾股定理
3.圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关知识的基础题型，重点考查垂径定理的应用，解题的关键是掌握连接半径构造直角三角形的辅助线做法，结合勾股定理即可求解线段长度、弦长，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理的相关应用，解题思路如下：
（1）求CE的长：首先根据直径长度先求出圆的半径OC的长度，再结合OE和OC的比例关系求出OE的长度，最后利用CE=OC-OE即可算出结果。
（2）求AB的长：已知AB⊥CD，根据垂径定理可知AB=2AE，因此只需要求出AE的长度即可。连接OA构造直角三角形AEO，OA是圆的半径为已知量，OE第一问已求出，利用勾股定理计算AE的长度，再乘2就能得到AB的长度。
【解析】
解：(1) 已知$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，因此半径$OC=\frac{1}{2}CD=5\ \mathrm{cm}$。
因为$OE:OC=3:5$，代入$OC=5\ \mathrm{cm}$，可得$OE=5×\frac{3}{5}=3\ \mathrm{cm}$。
所以$CE=OC-OE=5-3=2\ \mathrm{cm}$。
(2) 连结$OA$，如图。
因为$AB⊥ CD$，根据垂径定理可得$AB=2AE$，且$∠ AEO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEO$中，$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，$OE=3\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$。
因此$AB=2AE=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
解:(1)由条件可知半径OC=5 cm,
因为OE:OC=3:5,所以OE=3 cm,
所以CE=2 cm。
(2)连结OA,如图。
由条件可知 AB = 2AE,
∠AEO=90°,
因为OA=5 cm,OE=3 cm,
所以AE=4 cm,所以AB=8 cm。
【知识点】
1.垂径定理
2.勾股定理
3.圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关知识的基础题型，重点考查垂径定理的应用，解题的关键是掌握连接半径构造直角三角形的辅助线做法，结合勾股定理即可求解线段长度、弦长，难度较低。
【难度系数】
0.8
变式1 如图,小区内有个圆形花坛O,点C在弦AB上,若AC=11,BC=21,OC=13,则这个花坛的半径为
变式1题图
变式2题图
20
。变式1题图
变式2题图
答案
20
解析
【分析】
解决圆中与弦长相关的计算问题，优先考虑用垂径定理构造直角三角形求解。首先过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到AB中点，先计算AB总长度，进而求出AD、CD的长度；再分别在两个直角三角形中用勾股定理建立关系式，先算出圆心到弦的距离，最终求出半径即可。
【解析】
过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理可知D为AB的中点。
已知AC=11，BC=21，因此AB=AC+BC=11+21=32，可得AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=16。
CD=AD-AC=16-11=5。
设OD的长度为$x$，花坛的半径为$R$，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：$OC^2=OD^2+CD^2$，代入数据得$13^2=x^2+5^2$，
计算得$x^2=169-25=144$，解得$x=12$（长度为正，舍去负根）。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$R^2=OD^2+AD^2$，代入数据得$R^2=12^2+16^2=144+256=400$，
解得$R=20$（半径为正，舍去负根）。
【答案】
20
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，解题的关键是掌握“遇弦作垂线”的辅助线作法，通过构造直角三角形结合勾股定理列式计算，是圆中线段长度计算的常用方法。
【难度系数】
0.7
解决圆中与弦长相关的计算问题，优先考虑用垂径定理构造直角三角形求解。首先过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到AB中点，先计算AB总长度，进而求出AD、CD的长度；再分别在两个直角三角形中用勾股定理建立关系式，先算出圆心到弦的距离，最终求出半径即可。
【解析】
过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理可知D为AB的中点。
已知AC=11，BC=21，因此AB=AC+BC=11+21=32，可得AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=16。
CD=AD-AC=16-11=5。
设OD的长度为$x$，花坛的半径为$R$，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：$OC^2=OD^2+CD^2$，代入数据得$13^2=x^2+5^2$，
计算得$x^2=169-25=144$，解得$x=12$（长度为正，舍去负根）。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$R^2=OD^2+AD^2$，代入数据得$R^2=12^2+16^2=144+256=400$，
解得$R=20$（半径为正，舍去负根）。
【答案】
20
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，解题的关键是掌握“遇弦作垂线”的辅助线作法，通过构造直角三角形结合勾股定理列式计算，是圆中线段长度计算的常用方法。
【难度系数】
0.7
变式2 如图,在$\odot O$中,AB为弦,$OC⊥AB$交AB于点D,且$OD=DC$。P为$\odot O$上任意一点,连结PA,PB。若$\odot O$的半径为$\sqrt{3}$,则$S_{△ PAB}$的最大值为（
A.$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
A
）A.$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
答案
A 【解析】连结OA,如图。
因为OC⊥AB,所以AD=BD。
因为OD=DC,所以$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
所以$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\frac{3}{2}$,所以AB=2AD=3。
当点P为弦AB所对的优弧的中点时,△APB的面积最大,此时$PD=PO+OD=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
所以△APB的面积的最大值为$\frac{1}{2}AB·PD=\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
解析
【分析】
要求$△ PAB$的最大面积，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，本题中AB是圆的定弦，长度固定，因此要使面积最大，只需AB边上的高最大。首先利用垂径定理、$OD=DC$的条件和已知的圆半径求出AB的长度，再确定AB边上高的最大值：当点P在弦AB所对优弧的中点时，点P到AB的距离最大，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：连结OA，如图。
$\because OC⊥ AB$，OC是$\odot O$的半径，
$\therefore$由垂径定理可得$AD=BD$，即D为AB的中点。
$\because OD=DC$，$\odot O$的半径$OA=OC=\sqrt{3}$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}OA=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}$，
$\therefore AB=2AD=3$。
$△ PAB$的底AB长度固定，当点P为弦AB所对的优弧的中点时，点P到AB的距离最大，即$△ PAB$的高最大，此时高$PD=PO+OD=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
$\therefore S_{△ PAB}$的最大值为$\frac{1}{2}× AB× PD=\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题结合圆的性质考查三角形最值问题，解题核心是明确定底三角形的面积由高决定，结合圆的特征找到高的最大值的位置，能很好地考查几何定理的应用能力和最值问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
要求$△ PAB$的最大面积，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，本题中AB是圆的定弦，长度固定，因此要使面积最大，只需AB边上的高最大。首先利用垂径定理、$OD=DC$的条件和已知的圆半径求出AB的长度，再确定AB边上高的最大值：当点P在弦AB所对优弧的中点时，点P到AB的距离最大，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：连结OA，如图。
$\because OC⊥ AB$，OC是$\odot O$的半径，
$\therefore$由垂径定理可得$AD=BD$，即D为AB的中点。
$\because OD=DC$，$\odot O$的半径$OA=OC=\sqrt{3}$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}OA=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}$，
$\therefore AB=2AD=3$。
$△ PAB$的底AB长度固定，当点P为弦AB所对的优弧的中点时，点P到AB的距离最大，即$△ PAB$的高最大，此时高$PD=PO+OD=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
$\therefore S_{△ PAB}$的最大值为$\frac{1}{2}× AB× PD=\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题结合圆的性质考查三角形最值问题，解题核心是明确定底三角形的面积由高决定，结合圆的特征找到高的最大值的位置，能很好地考查几何定理的应用能力和最值问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
