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10. 如图，A,B,C是$\odot O$上的点，$OC⊥ AB$，垂足为点D，交$\odot O$于点C，$BC// OA$，若$BC=6$，则OD的长为 （
A.$3\sqrt{3}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
B
）A.$3\sqrt{3}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
答案
10. B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，OC垂直AB，首先想到垂径定理，可得到AB被D平分，即AD=BD，且出现两个直角∠ADO和∠BDC；再结合BC平行OA的条件，可得内错角∠OAD=∠CBD，由此可证明△AOD和△BCD全等；通过全等三角形的性质得到OA=BC、OD=CD，结合OA是圆的半径等于OC，即可求出OD的长度。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，OC为⊙O的半径，
∴根据垂径定理得：AD=BD，∠ADO=∠BDC=90°，
∵BC//OA，
∴∠OAD=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
在△AOD和△BCD中：
$\{\begin{array}{l}∠OAD=∠CBD \\AD=BD \\∠ADO=∠BDC=90°\end{array} $
∴△AOD≌△BCD（ASA），
∴OA=BC=6，OD=CD，
又
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OC=OA=6，
∴$OD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是结合垂径定理和平行线的性质找到全等三角形，进而推导线段之间的数量关系，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，OC垂直AB，首先想到垂径定理，可得到AB被D平分，即AD=BD，且出现两个直角∠ADO和∠BDC；再结合BC平行OA的条件，可得内错角∠OAD=∠CBD，由此可证明△AOD和△BCD全等；通过全等三角形的性质得到OA=BC、OD=CD，结合OA是圆的半径等于OC，即可求出OD的长度。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，OC为⊙O的半径，
∴根据垂径定理得：AD=BD，∠ADO=∠BDC=90°，
∵BC//OA，
∴∠OAD=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
在△AOD和△BCD中：
$\{\begin{array}{l}∠OAD=∠CBD \\AD=BD \\∠ADO=∠BDC=90°\end{array} $
∴△AOD≌△BCD（ASA），
∴OA=BC=6，OD=CD，
又
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OC=OA=6，
∴$OD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是结合垂径定理和平行线的性质找到全等三角形，进而推导线段之间的数量关系，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
11. 如图，这是某种瓷碗正面的形状示意图。$\overset{\frown}{AB}$是$\odot O$的一部分，过点O作$OD⊥ AB$，垂足为点C，交圆弧于点D，连结OA，OB。已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径OA为
13
cm。答案
11. 13
解析
【分析】
解题时首先利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，求出弦AB一半的长度；再设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，可表示出$OC$的长度为$(r-8)\ \mathrm{cm}$，此时$△ OAC$为直角三角形，结合勾股定理列关于$r$的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
解：$\because OD⊥ AB$，$OD$过圆心$O$，$AB=24\ \mathrm{cm}$
$\therefore$由垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，根据勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$
代入数据得：$r^2=12^2+(r-8)^2$
展开计算：$r^2=144+r^2-16r+64$
移项化简得：$16r=208$
解得：$r=13$
【答案】
13
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，通过垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解半径，是圆中线段计算的常见考法，掌握构造直角三角形的思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，求出弦AB一半的长度；再设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，可表示出$OC$的长度为$(r-8)\ \mathrm{cm}$，此时$△ OAC$为直角三角形，结合勾股定理列关于$r$的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
解：$\because OD⊥ AB$，$OD$过圆心$O$，$AB=24\ \mathrm{cm}$
$\therefore$由垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，根据勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$
代入数据得：$r^2=12^2+(r-8)^2$
展开计算：$r^2=144+r^2-16r+64$
移项化简得：$16r=208$
解得：$r=13$
【答案】
13
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，通过垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解半径，是圆中线段计算的常见考法，掌握构造直角三角形的思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于点E，若$BE=1$，$AE=5$，$∠ AEC=30°$，则CD的长为
$4\sqrt{2}$
。答案
12. $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
要求弦CD的长度，可借助垂径定理求解：先过圆心作CD的垂线，将CD转化为2倍的半弦长，再根据已知线段长度算出圆的半径和圆心到交点E的距离，结合30°角的直角三角形性质求出圆心到CD的距离，最后用勾股定理算出半弦长即可得到CD的长度。
【解析】
过点O作$OF⊥ CD$于点F，连接$OC$。
根据垂径定理可得：$CF=FD$，即$CD=2CF$。
已知$BE=1$，$AE=5$，则直径$AB=AE+BE=5+1=6$，因此$\odot O$的半径$OC=OB=3$。
则$OE=OB-BE=3-1=2$。
在$Rt△ OEF$中，$∠ AEC=30°$，即$∠ OEF=30°$，根据含30°角的直角三角形性质，可得$OF=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{OC^2-OF^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$
因此$CD=2CF=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，含30°角的直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，解题核心是通过作垂线构造符合垂径定理的直角三角形，结合特殊三角形的性质和勾股定理计算，解题的关键是正确作出辅助线，理清各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
要求弦CD的长度，可借助垂径定理求解：先过圆心作CD的垂线，将CD转化为2倍的半弦长，再根据已知线段长度算出圆的半径和圆心到交点E的距离，结合30°角的直角三角形性质求出圆心到CD的距离，最后用勾股定理算出半弦长即可得到CD的长度。
【解析】
过点O作$OF⊥ CD$于点F，连接$OC$。
根据垂径定理可得：$CF=FD$，即$CD=2CF$。
已知$BE=1$，$AE=5$，则直径$AB=AE+BE=5+1=6$，因此$\odot O$的半径$OC=OB=3$。
则$OE=OB-BE=3-1=2$。
在$Rt△ OEF$中，$∠ AEC=30°$，即$∠ OEF=30°$，根据含30°角的直角三角形性质，可得$OF=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}×2=1$。
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{OC^2-OF^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$
因此$CD=2CF=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，含30°角的直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，解题核心是通过作垂线构造符合垂径定理的直角三角形，结合特殊三角形的性质和勾股定理计算，解题的关键是正确作出辅助线，理清各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
13. 如图，$OA=OB$，$AB$交$\odot O$于点$C$，$D$，$OE$是半径，且$OE⊥ AB$于点$F$。
(1)求证：$AC=BD$。
(2)若$CD=8$，$EF=2$，求$\odot O$的半径。
(1)求证：$AC=BD$。
(2)若$CD=8$，$EF=2$，求$\odot O$的半径。
答案
13. 解:(1)证明:因为OE是半径,且$OE⊥AB$,所以CF=DF。
因为OA=OB,所以AF=BF,所以AF-CF=BF-DF,
所以AC=BD。
(2)如图,连结OC。设$\odot O$的半径为r，
因为$OE⊥AB,CD=8$,
所以CF=DF=4。
因为$CO^2=CF^2+OF^2$,
所以$r^2=4^2+(r-2)^2$,
所以r=5,所以$\odot O$的半径为5。
解析
【分析】
(1) 要证$AC=BD$，可通过线段差推导：首先$OA=OB$说明$△ OAB$是等腰三角形，结合$OE⊥ AB$，由等腰三角形三线合一可得$AF=BF$；再根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可得$CF=DF$，两式相减即可得到$AC=BD$。
(2) 求$\odot O$的半径可利用勾股定理列方程求解：连接$OC$构造直角三角形，设半径为$r$，则$OF=r-EF=r-2$，由垂径定理得$CF$为$CD$的一半即4，在$Rt△ OCF$中根据勾股定理列出关于$r$的方程，解方程即可求出半径。
【解析】
(1) 证明：$\because OE$是$\odot O$的半径，且$OE⊥ AB$，根据垂径定理，$\therefore CF=DF$。
$\because OA=OB$，$OE⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore AF=BF$。
$\therefore AF-CF=BF-DF$，即$AC=BD$。
(2) 解：连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，
$\because OE⊥ AB$，$CD=8$，由垂径定理得$CF=DF=\frac{1}{2}CD=4$。
又$\because OF=OE-EF=r-2$，在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得$CO^2=CF^2+OF^2$，
代入得$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开化简得$4r=20$，解得$r=5$。
【答案】
(1) 证明:因为OE是半径,且$OE⊥AB$,所以CF=DF。
因为OA=OB,所以AF=BF,所以AF-CF=BF-DF,
所以AC=BD。
(2)如图,连结OC。设$\odot O$的半径为r，
因为$OE⊥AB,CD=8$,
所以CF=DF=4。
因为$CO^2=CF^2+OF^2$,
所以$r^2=4^2+(r-2)^2$,
所以r=5,所以$\odot O$的半径为5。
【知识点】
垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，第一问结合等腰三角形性质证明线段相等，考查基础性质的掌握程度；第二问通过构造直角三角形，用方程思想结合勾股定理求解半径，是圆中求线段长度的常见考法，需熟练掌握此类解题思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AC=BD$，可通过线段差推导：首先$OA=OB$说明$△ OAB$是等腰三角形，结合$OE⊥ AB$，由等腰三角形三线合一可得$AF=BF$；再根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可得$CF=DF$，两式相减即可得到$AC=BD$。
(2) 求$\odot O$的半径可利用勾股定理列方程求解：连接$OC$构造直角三角形，设半径为$r$，则$OF=r-EF=r-2$，由垂径定理得$CF$为$CD$的一半即4，在$Rt△ OCF$中根据勾股定理列出关于$r$的方程，解方程即可求出半径。
【解析】
(1) 证明：$\because OE$是$\odot O$的半径，且$OE⊥ AB$，根据垂径定理，$\therefore CF=DF$。
$\because OA=OB$，$OE⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore AF=BF$。
$\therefore AF-CF=BF-DF$，即$AC=BD$。
(2) 解：连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，
$\because OE⊥ AB$，$CD=8$，由垂径定理得$CF=DF=\frac{1}{2}CD=4$。
又$\because OF=OE-EF=r-2$，在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得$CO^2=CF^2+OF^2$，
代入得$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开化简得$4r=20$，解得$r=5$。
【答案】
(1) 证明:因为OE是半径,且$OE⊥AB$,所以CF=DF。
因为OA=OB,所以AF=BF,所以AF-CF=BF-DF,
所以AC=BD。
(2)如图,连结OC。设$\odot O$的半径为r，
因为$OE⊥AB,CD=8$,
所以CF=DF=4。
因为$CO^2=CF^2+OF^2$,
所以$r^2=4^2+(r-2)^2$,
所以r=5,所以$\odot O$的半径为5。
【知识点】
垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，第一问结合等腰三角形性质证明线段相等，考查基础性质的掌握程度；第二问通过构造直角三角形，用方程思想结合勾股定理求解半径，是圆中求线段长度的常见考法，需熟练掌握此类解题思路。
【难度系数】
0.7
14. 如图,在半径为5的扇形OAB中,∠AOB=90°,C是$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为点D,E。
(1)当BC=6时,求线段OD的长。
(2)求DE的长。
(3)在△ODE中,是否存在度数不变的角?若存在,请直接指出是哪个角,并写出它的度数。
(1)当BC=6时,求线段OD的长。
(2)求DE的长。
(3)在△ODE中,是否存在度数不变的角?若存在,请直接指出是哪个角,并写出它的度数。
答案
14. 解:(1)因为$OD⊥BC$,所以$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
因为$∠BDO=90°,OB=5,BD=3$,
所以$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=4$,即线段OD的长为4。
(2)如图,连结AB。因为$∠AOB=90°,OA=OB=5$,
所以$AB=\sqrt{OB^2+OA^2}=5\sqrt{2}$。
因为$OD⊥BC,OE⊥AC$,
所以D,E分别是线段BC,AC的中点,
所以DE是△ABC的中位线,
所以$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
(3)$∠DOE$的度数不变,为$45°$。
解析
【分析】
(1)求OD的长时，已知OD垂直BC，首先根据垂径定理可得到BD是BC的一半，再观察△OBD是直角三角形，已知斜边OB和直角边BD的长度，用勾股定理即可求出OD的值。
(2)求DE的长时，由OD⊥BC、OE⊥AC，结合垂径定理可得D、E分别是BC、AC的中点，可判断DE是△ABC的中位线，根据中位线性质DE等于AB的一半，因此先计算Rt△AOB中斜边AB的长度，再除以2即可得到DE的长度。
(3)探究△ODE中不变的角时，根据垂径定理可知OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，因此∠DOE是∠AOB的一半，已知∠AOB固定为90°，即可得到固定不变的角的度数。
【解析】
(1)因为$OD⊥BC$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△ BDO$中，$∠BDO=90°$，$OB=5$，$BD=3$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
(2)如图，连结AB。
在$Rt△ AOB$中，$∠AOB=90°$，$OA=OB=5$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OB^2+OA^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
因为$OD⊥BC$，$OE⊥AC$，根据垂径定理，D、E分别是线段BC、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线。
根据三角形中位线性质，$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
(3)由垂径定理可得OD平分$∠BOC$，OE平分$∠AOC$，因此$∠DOE=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$，为定值。
【答案】
(1)线段OD的长为4；
(2)DE的长为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
(3)存在度数不变的角，是$∠DOE$，度数为$45°$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，结合了垂径定理、勾股定理、三角形中位线性质多个知识点，解题的关键是利用垂径定理得到线段中点、角平分线的结论，建立圆和三角形的关联，掌握相关基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1)求OD的长时，已知OD垂直BC，首先根据垂径定理可得到BD是BC的一半，再观察△OBD是直角三角形，已知斜边OB和直角边BD的长度，用勾股定理即可求出OD的值。
(2)求DE的长时，由OD⊥BC、OE⊥AC，结合垂径定理可得D、E分别是BC、AC的中点，可判断DE是△ABC的中位线，根据中位线性质DE等于AB的一半，因此先计算Rt△AOB中斜边AB的长度，再除以2即可得到DE的长度。
(3)探究△ODE中不变的角时，根据垂径定理可知OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，因此∠DOE是∠AOB的一半，已知∠AOB固定为90°，即可得到固定不变的角的度数。
【解析】
(1)因为$OD⊥BC$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
在$Rt△ BDO$中，$∠BDO=90°$，$OB=5$，$BD=3$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
(2)如图，连结AB。
在$Rt△ AOB$中，$∠AOB=90°$，$OA=OB=5$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OB^2+OA^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
因为$OD⊥BC$，$OE⊥AC$，根据垂径定理，D、E分别是线段BC、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线。
根据三角形中位线性质，$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
(3)由垂径定理可得OD平分$∠BOC$，OE平分$∠AOC$，因此$∠DOE=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$，为定值。
【答案】
(1)线段OD的长为4；
(2)DE的长为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
(3)存在度数不变的角，是$∠DOE$，度数为$45°$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，结合了垂径定理、勾股定理、三角形中位线性质多个知识点，解题的关键是利用垂径定理得到线段中点、角平分线的结论，建立圆和三角形的关联，掌握相关基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
