10. 如图，AB是$\odot O$的直径，AD，BC是$\odot O$的弦。若$∠ BAD=36°$，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ B$的度数为（）

A.$18°$
B.$36°$
C.$54°$
D.$64°$

10. C

【分析】
解题时先回忆圆周角定理的相关推论：首先等弧所对的圆周角相等，其次直径所对的圆周角为直角。思路第一步，由已知$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$，可得两段弧对应的圆周角$∠ BAD$和$∠ BAC$相等，先求出$∠ BAC$的度数；第二步，利用AB是直径的条件，得到$∠ ACB=90°$；最后在直角三角形ABC中，用三角形内角和计算$∠ B$的度数即可。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$，
根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ BAC=∠ BAD=36°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ACB=90°$，
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC=180°-∠ ACB-∠ BAC=180°-90°-36°=54°$。
【答案】
C
【知识点】
等弧对等圆周角、直径所对圆周角为直角、三角形内角和
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，核心是利用圆周角定理的推论转化角度关系，结合直角三角形的角度性质求解，熟练掌握推论内容就能快速解题。
【难度系数】
0.8

11. 如图，这是一张以O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在$\odot O$上。将该纸片沿直线CO对折，点B落在$\odot O$上的点D处（不与点A重合），连结CB，CD，AD。设CD与直径AB相交于点E。若$AD=ED$，则$∠ B$的度数为（）

A.$24°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$44°$

11. C

【分析】
解题时我们可先设∠B的度数为未知数，结合折叠的性质、同圆半径相等的性质推导相关角和∠B的数量关系，再根据AD=ED得到等腰三角形的底角相等，最后利用三角形内角和建立方程求解即可。具体思考路径：首先由折叠性质得对应角相等，结合OC=OB得到三个相等的角，推出∠BCD和∠B的关系；再由AD=ED得到∠DAE=∠AED，结合对顶角相等和三角形内角和表示出∠DAE；最后代入△ADE的内角和公式求解∠B的度数。
【解析】
设∠B=x，
∵ OC、OB都是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠OCB=∠B=x，
由折叠的性质可得：∠OCD=∠OCB=x，∠D=∠B=x，
∴ ∠BCD=∠OCB+∠OCD=2x，
∵ AD=ED，
∴ △ADE是等腰三角形，∠DAE=∠DEA，
又
∵ ∠DEA和∠BEC是对顶角，
∴ ∠DEA=∠BEC，
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BEC=180°-∠B-∠BCD=180°-x-2x=180°-3x，
∴ ∠DAE=∠DEA=180°-3x，
在△ADE中，根据三角形内角和为180°，得：
∠D+∠DAE+∠DEA=180°，
将各角代入得：$x+(180°-3x)+(180°-3x)=180°$，
整理得：$360°-5x=180°$，
解得：$x=36°$，即∠B=36°。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的性质；圆周角相关性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，融合了折叠、圆、等腰三角形的多个基础性质，解题的核心是找准角之间的等量关系，通过设未知数列方程的方法求解，能有效考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

12. 如图，AB为$\odot O$的直径，若$BC=4$，$AC=3$，$CD$平分$∠ ACB$，则$AD=$。

12. $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

【分析】
解题思路分三步展开：①先利用直径所对圆周角为直角的性质，确定△ABC是直角三角形，用勾股定理算出直径AB的长度；②根据角平分线的定义得到相等的圆周角，结合同圆中相等圆周角对应等弧、等弧对应等弦的性质，推出AD=BD；③再利用直径所对圆周角为直角，确定△ABD是等腰直角三角形，最后用勾股定理计算AD的长度。
【解析】
1. 由AB为$\odot O$的直径，根据圆周角定理推论，得$∠ ACB=∠ ADB=90°$。
2. 在$Rt△ ABC$中，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 已知CD平分$∠ ACB$，则$∠ ACD=∠ BCD=45°$。
4. 同圆中相等的圆周角所对的弧相等，故$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，由等弧对等弦得$AD=BD$。
5. 在$Rt△ ABD$中，设$AD=BD=x$，由勾股定理得：
$x^2+x^2=AB^2$，即$2x^2=25$，解得$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$（边长为正，舍去负解）。
【答案】
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础综合应用题，核心考查点是直径所对圆周角为直角这一常用推论，解题的突破口是通过角平分线和圆周角的性质推导得出$△ ABD$为等腰直角三角形，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7

13. 如图，A是$\odot O$上一点，BC是直径，点D在$\odot O$上且平分$\overset{\frown}{BC}$。
(1)连结AD，求证：AD平分$∠ BAC$。
(2)若$CD=5\sqrt{2}$，求BC的长。

13. 解:(1)证明:因为点D在$\odot O$上且平分$\overset{\frown}{BC}$,
所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$,
所以$∠BAD=∠CAD$,
即AD平分$∠BAC$。
(2)因为BC是$\odot O$的直径,
所以$∠BDC=90°$。
由(1)得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$。
所以$BD=CD=5\sqrt{2}$,
所以 $BC = \sqrt{BD^2+CD^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2}=10$。

【分析】
(1) 要证AD平分∠BAC，只需证明∠BAD=∠CAD，二者都是⊙O的圆周角，根据圆周角定理推论，同圆内相等的弧所对的圆周角相等，结合已知D平分$\overset{\frown}{BC}$，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$，即可推出两角相等。
(2) BC是直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得△BDC是直角三角形，再由等弧对等弦得BD=CD，最后用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵点D在$\odot O$上且平分$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$，
根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等，可得$∠BAD=∠CAD$，
即AD平分$∠BAC$。
(2) 解：
∵BC是$\odot O$的直径，
∴直径所对的圆周角$∠BDC=90°$，即△BDC为直角三角形。
由(1)得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$，根据等弧对等弦可得$BD=CD=5\sqrt{2}$，
在$Rt△ BDC$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BD^2+CD^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2}=\sqrt{50+50}=\sqrt{100}=10$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $BC=10$
【知识点】
圆周角定理推论，等弧对等弦，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，解题核心是熟练掌握圆周角定理的相关推论，结合弧、弦、圆周角的对应关系和勾股定理即可求解，是需要熟练掌握的基础题。
【难度系数】
0.8

14. 如图, 以 BC 为直径的$\odot O$经过$△ ABC$的顶点 A, 弦 BD 平分$∠ ABC$, E 是弦 BD 上一点, 且$∠ ACE=∠ BCE$。
(1)求证:$CD=DE$。
(2)若$AC=8$,$CE=2\sqrt{10}$,求$\odot O$的半径。

14. 解:(1)证明:由圆周角定理的推论可得,$∠ACD=∠ABD$。
因为BD平分$∠ABC$,
所以$∠ABE=∠EBC=∠ACD$。
因为$∠CED=∠BCE+∠EBC$,
$∠DCE=∠ACD+∠ACE$,$∠BCE=∠ACE$,
所以$∠CED=∠DCE$,
所以$CD=DE$。
(2)连结OA,AD,OD,设OD交AC于点F,如图。
由圆周角定理的推论可得,$∠BCA=∠BDA$,
由(1)知$∠ACD=∠CAD=∠ABD=∠CBD$,
所以$AD=DC$。
因为$OA=OC$,所以OD垂直平分AC。
因为CB为$\odot O$的直径,$CD=DE$,
所以$∠CDB=90°$,
则$△CDE$是等腰直角三角形。
因为$CE=2\sqrt{10}$,$CE^2=CD^2+ED^2=2CD^2$,
所以$CD=2\sqrt{5}$。
因为$AC=8$,所以$AF=FC=4$,
所以$DF=\sqrt{CD^2-CF^2}=2$。
设$\odot O$的半径为r,
所以$OC=OD=r$,$OF=r-2$,
在$Rt△OCF$中,$OC^2=OF^2+CF^2$,
即$r^2=(r-2)^2+4^2$,
解得$r=5$,所以$\odot O$的半径为5。

【分析】
（1）要证CD=DE，可通过证明两边所对的角相等即∠DCE=∠CED推导：首先利用同弧所对圆周角相等得∠ACD=∠ABD，结合BD平分∠ABC、CE平分∠ACB的条件，再利用三角形外角的性质，分别将∠CED、∠DCE拆分为两个角的和，通过等量代换即可证得两角相等，从而得到CD=DE。
（2）求⊙O的半径可通过构造含半径的直角三角形，用勾股定理列方程求解：首先由直径所对圆周角为直角得∠CDB=90°，结合（1）的结论可知△CDE是等腰直角三角形，可由CE的长度求出CD的长；再根据角平分线与圆周角推论可得AD=CD，结合OA=OC可知OD垂直平分AC，求出CF、DF的长度后，设半径为r，在Rt△OCF中利用勾股定理列方程即可解得半径长度。
【解析】
(1)证明：由圆周角定理的推论可得，同弧AD所对的圆周角相等，即∠ACD=∠ABD。
因为BD平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC=∠ACD。
根据三角形外角的性质，∠CED=∠BCE+∠EBC，∠DCE=∠ACD+∠ACE，又已知∠BCE=∠ACE，
所以∠CED=∠DCE，所以CD=DE。
(2)连结OA,AD,OD,设OD交AC于点F，如图。
由圆周角定理的推论可得，同弧AB所对的圆周角相等，即∠BCA=∠BDA，
由(1)知∠ACD=∠CBD，而∠CBD=∠CAD（同弧CD所对的圆周角相等），∠ABD=∠CBD，所以∠ACD=∠CAD，因此AD=DC。
因为OA=OC，所以OD垂直平分AC。
因为CB为⊙O的直径，所以直径所对的圆周角∠CDB=90°，又CD=DE，所以△CDE是等腰直角三角形。
已知CE=2√10，由勾股定理得CE²=CD²+ED²=2CD²，代入得$(2\sqrt{10})^2=2CD^2$，解得CD=2√5。
因为AC=8，OD垂直平分AC，所以AF=FC=4，
在Rt△CDF中，$DF=\sqrt{CD^2-CF^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=2$。
设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，OF=OD-DF=r-2，
在Rt△OCF中，由勾股定理得$OC^2=OF^2+CF^2$，即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得$r^2=r^2-4r+4+16$，化简得4r=20，解得r=5。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)⊙O的半径为5。
【知识点】
圆周角定理及推论、等腰三角形判定、勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，重点考察圆周角相关性质、等腰三角形的判定以及勾股定理的应用，解题的关键是灵活利用角的等量关系推导边的关系，求圆半径时可构造包含半径的直角三角形，通过勾股定理列方程求解。
【难度系数】
0.6